部分多媒体技术基础

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1、小波变换与应用一 、 小 波 变 换1.小 波2.小 波 变 换3. 离 散 小 波 变 换 二 、 Haar小 波 变 换1.哈 尔 函 数2.求 均 值 和 差 值3. 哈 尔 变 换 的 特 性4.一 维 哈 尔 小 波 变 换5. 二 维 哈 尔 小 波 变 换三 、 阅 读 和 练 习 作 业 一、Wavelet Transform 小 波 分 析 是 近 十 几 年 才 发 展 起 来 并 迅 速 应 用 到图 像 处 理 和 语 音 分 析 等 众 多 领 域 的 一 种 数 学 工具 。 它 是 继 110多 年 前 的 傅 里 叶 (Joseph Fourier)分 析 之

2、后 的 一 个 重 大 突 破 ， 无 论 是 对 古 老 的 自然 学 科 还 是 对 新 兴 的 高 新 技 术 应 用 学 科 都 产 生了 强 烈 冲 击 。 小 波 理 论 是 应 用 数 学 的 一 个 新 领域 。 要 深 入 理 解 小 波 理 论 需 要 用 到 比 较 多 的 数学 知 识 。 本 教 学 提 纲 企 图 从 工 程 应 用 角 度 出 发 ，用 比 较 直 观 的 方 法 来 介 绍 小 波 变 换 和 它 的 应 用 ，为 读 者 深 入 研 究 小 波 理 论 和 应 用 提 供 一 些 背 景材 料 1. What is wavelet一种函数具 有

3、 有 限 的 持 续 时 间 、 突 变 的 频 率 和 振 幅波 形 可 以 是 不 规 则 的 ， 也 可 以 是 不 对 称 的在 整 个 时 间 范 围 里 的 幅 度 平 均 值 为 零比 较 正 弦 波 部分小波波形 小波的定义 Wavelets are a class of a functions used to localize a given function in both space and scaling. A family of wavelets can be constructed from a function , sometimes known as a mot

4、her wavelet, which is confined in a finite interval. Daughter wavelets are then formed by translation (b) and contraction (a). Wavelets are especially useful for compressing image data, since a wavelet transform has properties which are in some ways superior to a conventional Fourier transform. ( )x

5、 ( , )( )a b x An individual wavelet can be defined by and Calderns formula givesThenA common type of wavelet is defined using Haar functions. 2. Wavelet Transform老 课 题函 数 的 表 示 方 法 新 方 法Fourier Haar wavelet transform (1) 1807: Joseph Fourier傅 里 叶 理 论 指 出 ， 一 个 信 号 可 表 示 成 一 系 列 正 弦和 余 弦 函 数 之 和 ， 叫

6、 做 傅 里 叶 展 开 式 。用 傅 里 叶 表 示 一 个 信 号 时 ， 只 有 频 率 分 辨 率 而 没有 时 间 分 辨 率 ， 这 就 意 味 我 们 可 以 确 定 信 号 中包 含 的 所 有 频 率 ， 但 不 能 确 定 具 有 这 些 频 率 的信 号 出 现 在 什 么 时 候 。 为 了 继 承 傅 里 叶 分 析 的 优 点 ， 同 时 又 克 服 它 的 缺点 ， 人 们 一 直 在 寻 找 新 的 方 法 。 傅 里 叶 变 换 的 定 义 ： A mathematical description of the relationship between fun

7、ctions of time and corresponding functions of frequency; a map for converting from one domain to the other. For example, if we have a signal that is a function of time-an impulse response- then the Fourier Transform will convert that time domain data into frequency data, for example, a frequency res

8、ponse. (http:/ (2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波哈 尔 (Alfred Haar)对 在 函 数 空 间 中 寻 找 一 个 与 傅里 叶 类 似 的 基 非 常 感 兴 趣 。1909年 他 发 现 了 小 波 ， 1910年 被 命 名 为 Haar wavelets他 最 早 发 现 和 使 用 了 小 波 。 (3) 1945: Gabor提出STFT 20世 纪 40年 代 Gabor开 发 了 STFT (short time Fourier transform)STFT的 时 间 -频 率 关 系 图 (4) 1980: Morlet提出了

9、CWTCWT (continuous wavelet transform) 20世 纪 70年 代 ， 当 时 在 法 国 石 油 公 司 工 作的 年 轻 的 地 球 物 理 学 家 Jean Morlet提 出 了小 波 变 换 WT(wavelet transform)的 概 念 。 20世 纪 80年 代 ,从 STFT开 发 了 CWT： Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construc

10、t any given signal.n where: u a = scale variable 缩 放 因 子u k = time shift 时 间 平 移u h* = wavelet function 小 波 函 数 u 用 y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet function,n 在 CWT中 ， scale和 position是 连 续 变 化 的 缩放(scaled)的概念例 1： 正 弦 波 的 算 法 缩放(scaled)的概念(续)例 2： 小 波 的 缩 放 平移(translation)

11、的概念 (5) CWT的变换过程可 分 成 如 下 5个 步 骤步 骤 1: 把 小 波 和 原 始 信 号 的 开 始 部 分 进 行 比 较步 骤 2: 计 算 系 数 c 。 该 系 数 表 示 该 部 分 信 号 与 小 波 的 近 似程 度 。 系 数 c 的 值 越 高 表 示 信 号 与 小 波 越 相 似 ， 因 此系 数 c 可 以 反 映 这 种 波 形 的 相 关 程 度步 骤 3: 把 小 波 向 右 移 ， 距 离 为 ， 得 到 的 小 波 函 数 为 ，然 后 重 复 步 骤 1和 2。 再 把 小 波 向 右 移 ， 得 到 小 波 ， 重复 步 骤 1和 2。

12、 按 上 述 步 骤 一 直 进 行 下 去 ， 直 到 信 号 结束步 骤 4: 扩 展 小 波 ， 例 如 扩 展 一 倍 ， 得 到 的 小 波 函 数 为 步 骤 5: 重 复 步 骤 14 (a) 二 维 图 (b) 三 维 图连 续 小 波 变 换 分 析 图 (6) 三种变换的比较 (7) 1984: subband coding (Burt and Adelson) SBC (subband coding)的 基 本 概 念 ：把 信 号 的 频 率 分 成 几 个 子 带 ， 然 后 对 每 个 子 带分 别 进 行 编 码 ， 并 根 据 每 个 子 带 的 重 要 性 分

13、 配不 同 的 位 数 来 表 示 数 据 20世 纪 70年 代 ， 子 带 编 码 开 始 用 在 语 音 编 码 上20世 纪 80年 代 中 期 开 始 在 图 像 编 码 中 使 用1986年 Woods, J. W.等 人 曾 经 使 用 一 维 正 交 镜 像 滤波 器 组 (quadrature mirror filterbanks， QMF)把信 号 的 频 带 分 解 成 4个 相 等 的 子 带 图(a) 正 交 镜 像 滤 波 器 (QMF) 图中的符号 表示频带降低1/2，HH表示频率最高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重复，直到符合应用要求为止。这样的滤

14、波器组称为分解滤波器树(decomposition filter trees)图(b) 表示其相应的频谱 (8) 20世纪80年代Mallat, Meyer等 人 提 出 multiresolution theory法 国 科 学 家 Y.Meyer创 造 性 地 构 造 出 具 有 一 定 衰 减 性 的光 滑 函 数 ， 他 用 缩 放 (dilations)与 平 移 (translations)均为 2的 j次 幂 的 倍 数 构 造 了 平 方 可 积 的 实 空 间 L2(R)的规 范 正 交 基 ， 使 小 波 得 到 真 正 的 发 展小 波 变 换 的 主 要 算 法 由 法

15、 国 的 科 学 家 Stephane Mallat提出 S.Mallat于 1988年 在 构 造 正 交 小 波 基 时 提 出 了 多 分 辨率 分 析 (multiresolution analysis)的 概 念 , 从 空 间 上 形象 地 说 明 了 小 波 的 多 分 辨 率 的 特 性 提 出 了 正 交 小 波 的 构 造 方 法 和 快 速 算 法 ， 叫 做 Mallat算 法 。 该 算 法 统 一 了 在 此 之 前 构 造 正 交 小 波 基 的所 有 方 法 ， 它 的 地 位 相 当 于 快 速 傅 里 叶 变 换 在 经典 傅 里 叶 分 析 中 的 地 位

16、 。 小波分解得到的图像 (9)著名科学家 Inrid Daubechies， Ronald Coifman和 Victor Wickerhauser等 著 名 科 学 家把 这 个 小 波 理 论 引 入 到 工 程 应 用 方 面 做 出 了 极 其重 要 的 贡 献Inrid Daubechies于 1988年 最 先 揭 示 了 小 波 变 换 和滤 波 器 组 (filter banks)之 间 的 内 在 关 系 ， 使 离 散小 波 分 析 变 成 为 现 实 在 信 号 处 理 中 ， 自 从 S.Mallat和 Inrid Daubechies发现 滤 波 器 组 与 小 波

17、 基 函 数 有 密 切 关 系 之 后 ， 小波 在 信 号 (如 声 音 信 号 ， 图 像 信 号 等 )处 理 中 得到 极 其 广 泛 的 应 用 。 经 过 十 几 年 的 努 力 ， 这 门 学 科 的 理 论 基础 已 经 基 本 建 立 ， 并 成 为 应 用 数 学 的 一个 新 领 域 。 这 门 新 兴 学 科 的 出 现 引 起 了许 多 数 学 家 和 工 程 技 术 人 员 的 极 大 关 注 ，是 国 际 科 技 界 和 众 多 学 术 团 体 高 度 关 注的 前 沿 领 域 。 小波变换 3. 离散小波变换在 计 算 连 续 小 波 变 换 时 ， 实 际

18、上 也 是 用 离散 的 数 据 进 行 计 算 的 ， 只 是 所 用 的 缩 放因 子 和 平 移 参 数 比 较 小 而 已 。 不 难 想 象 ，连 续 小 波 变 换 的 计 算 量 是 惊 人 的 。为 了 解 决 计 算 量 的 问 题 ， 缩 放 因 子 和 平 移参 数 都 选 择 ( j.0的 整 数 )的 倍 数 。 使 用 这样 的 缩 放 因 子 和 平 移 参 数 的 小 波 变 换 叫做 双 尺 度 小 波 变 换 (dyadic wavelet transform)， 它 是 离 散 小 波 变 换 (discrete wavelet transform， DW

19、T)的 一 种 形 式 。 使 用 离 散 小 波 分 析 得 到 的 小 波 系 数 、 缩 放因 子 和 时 间 关 系 如 图 所 示 。图 (a)是 20世 纪 40年 代 使 用 Gabor开 发 的短 时 傅 里 叶 变 换 (short time Fourier transform， STFT)得 到 的 时 间 -频 率 关系 图图 (b)是 20世 纪 80年 代 使 用 Morlet开 发 的小 波 变 换 得 到 的 时 间 -缩 放 因 子 (反 映 频率 )关 系 图 。3. 离散小波变换(续) 离 散 小 波 变 换 分 析 图 DWT变换方法执 行 离 散 小 波

20、 变 换 的 有 效 方 法 是 使 用 滤 波 器该 方 法 是 Mallat在 1988年 开 发 的 ， 叫 做 Mallat算 法这 种 方 法 实 际 上 是 一 种 信 号 的 分 解 方 法 ， 在 数 字 信 号处 理 中 称 为 双 通 道 子 带 编 码用 滤 波 器 执 行 离 散 小 波 变 换 的 概 念 如 图 所 示S表 示 原 始 的 输 入 信 号 ， 通 过 两 个 互 补 的 滤 波 器 产 生 A和 D两 个 信 号A表 示 信 号 的 近 似 值 (approximations)D表 示 信 号 的 细 节 值 (detail) 在 许 多 应 用 中

21、 ， 信 号 的 低 频 部 分 是 最 重 要 的 ， 而 高 频部 分 起 一 个 “ 添 加 剂 ” 的 作 用 。 犹 如 声 音 那 样 ， 把 高频 分 量 去 掉 之 后 ， 听 起 来 声 音 确 实 是 变 了 ， 但 还 能 够听 清 楚 说 的 是 什 么 内 容 。 相 反 ， 如 果 把 低 频 部 分 去 掉 ，听 起 来 就 莫 名 其 妙 。 在 小 波 分 析 中 ， 近 似 值 是 大 的 缩放 因 子 产 生 的 系 数 ， 表 示 信 号 的 低 频 分 量 。 而 细 节 值是 小 的 缩 放 因 子 产 生 的 系 数 ， 表 示 信 号 的 高 频

22、 分 量 。双 通 道 滤 波 过 程 离 散 小 波 变 换 可 以 被 表 示 成 由 低 通 滤 波 器 和 高 通滤 波 器 组 成 的 一 棵 树原 始 信 号 通 过 这 样 的 一 对 滤 波 器 进 行 的 分 解 叫 做 一 级分 解信 号 的 分 解 过 程 可 以 叠 代 ， 也 就 是 说 可 进 行 多 级 分 解 。如 果 对 信 号 的 高 频 分 量 不 再 分 解 ， 而 对 低 频 分 量 连 续进 行 分 解 ， 就 得 到 许 多 分 辨 率 较 低 的 低 频 分 量 ， 形成 如 图 所 示 的 一 棵 比 较 大 的 树 。 这 种 树 叫 做 小

23、 波 分解 树 (wavelet decomposition tree)分 解 级 数 的 多 少 取 决 于 要 被 分 析 的 数 据 和 用 户 的 需 要小波分解树 (a)信 号 分 解 (b)系 数 结 构 (c)小 波 分 解 树小 波 分 解 树 小波包分解树 小 波 分 解 树 表 示 只 对 信 号 的 低 频 分 量 进 行连 续 分 解 。 如 果 不 仅 对 信 号 的 低 频 分 量连 续 进 行 分 解 ， 而 且 对 高 频 分 量 也 进 行连 续 分 解 ， 这 样 不 仅 可 得 到 许 多 分 辨 率较 低 的 低 频 分 量 ， 而 且 也 可 得 到

24、许 多 分辨 率 较 低 的 高 频 分 量 。 这 样 分 解 得 到 的树 叫 做 小 波 包 分 解 树 (wavelet packet decomposition tree)， 这 种 树 是 一 个 完 整的 二 进 制 树 。 三 级 小 波 包 分 解 树图 表 示 的 是 一 棵 三 级 小 波 包 分 解 树 。 小 波 包 分 解方 法 是 小 波 分 解 的 一 般 化 ， 可 为 信 号 分 析 提 供更 丰 富 和 更 详 细 的 信 息 。 例 如 ， 小 波 包 分 解 树允 许 信 号 S表 示 为1 3 3 2S A AAD DAD DD 降采样过程n 在 使

25、 用 滤 波 器 对 真 实 的 数 字 信 号 进 行 变 换 时 ， 得到 的 数 据 将 是 原 始 数 据 的 两 倍 。 例 如 ， 如 果 原 始信 号 的 数 据 样 本 为 1000个 ， 通 过 滤 波 之 后 每 一 个通 道 的 数 据 均 为 1000个 ， 总 共 为 2000个 。n 根 据 尼 奎 斯 特 (Nyquist)采 样 定 理 就 提 出 了 降 采 样(downsampling)的 方 法 ， 即 在 每 个 通 道 中 每 两 个样 本 数 据 取 一 个 ， 得 到 的 离 散 小 波 变 换 的 系 数(coefficient)分 别 用 cD

26、和 cA表 示 降 采 样 过 程如 图 所 示 。 图 中 的 符 号 表 示 降 采 样 。 小波变换的定义A transform which localizes a function both in space and scaling and has some desirable properties compared to the Fourier transform. The transform is based on a wavelet matrix, which can be computed more quickly than the analogous Fourier matr

27、ix.An alternative to the discrete cosine transform (DCT), the wavelet transform changes data, such as video data, into the sum of varying frequency wavelets. Wavelets are sometimes used instead of the DCT because they are more versatile and dont slow down as much with larger images as the DCT does.

28、Intels Indeo technology makes use of wavelets. http:/ Haar Transform A one-dimensional transform which makes use of the Haar functions. H- Transform, Haar Function References Haar, A. 1999-2003 Wolfram Research, Inc. header.H-Transform A two-dimensional generalization of the Haar transform which is

29、used for the compression of astronomical images. The algorithm consists of dividing the image into blocks of pixels, calling the pixels in the block , , , and . For each block, compute the four coefficients Construct.二、Haar小波变换 1.哈尔函数哈 尔 基 函 数基 函 数 是 生 成 矢 量 空 间 V j 而 定 义 的 一 组 线 性无 关 的 函 数 ， 可 以 用

30、来 构 造 任 意 给 定 的 信 号 。也 称 尺 度 函 数 (scaling function)， 用 符 号 V j 表 示 。 哈 尔 小 波 函 数哈 尔 小 波 函 数 是 生 成 矢 量 的 一 组 线 性 无 关 的 函数 ， 用 符 号 W j表 示 。 矢 量 空 间 W j中 的 小 波 可用 来 表 示 一 个 函 数 在 矢 量 空 间 中 不 能 表 示 的 部分 。见 多 媒 体 技 术 基 础 第 2版 ， 8.2 jV 2. 哈尔变换原理假 设 两 个 信 号 的 数 值 分 别 为 a和 b， 计 算 它 们 的 和与 差 ，n 从 s和 d重 新 获 得

31、 a和 b， 哈尔变换举例【 例 】 假 设 有 一 幅 分 辨 率 只 有 4个 像 素 的 一 维 图像 ， 对 应 的 像 素 值 或 者 叫 做 图 像 位 置 的 系 数 分别 为 ： 9 7 3 5计 算 它 的 哈 尔 小 波 变 换 系 数步 骤 1： 求 均 值 (averaging)。 计 算 相 邻 像 素 对 的平 均 值 ， 得 到 一 幅 分 辨 率 比 较 低 的 新 图 像 ， 它的 像 素 数 目 变 成 了 2个 ， 即 新 的 图 像 的 分 辨 率是 原 来 的 1/2， 相 应 的 像 素 值 为 ： 8 4 哈尔变换举例(续)步 骤 2： 求 差 值

32、 (differencing)用 2个 像 素 表 示 这 幅 图 像 时 ， 图 像 的 信 息 已 经 部 分 丢失 。 为 了 能 够 从 由 2个 像 素 组 成 的 图 像 重 构 出 由 4个 像素 组 成 的 原 始 图 像 ， 就 需 要 存 储 一 些 图 像 的 细 节 系 数(detail coefficient)， 以 便 在 重 构 时 找 回 丢 失 的 信息 。 原 始 图 像 可 用 下 面 的 两 个 平 均 值 和 两 个 细 节 系 数表 示 ， 8 4 1 -1步 骤 3： 重 复 步 骤 1和 2把 由 第 一 步 分 解 得 到 的 图 像 进 一

33、步 分 解 成 分 辨 率 更 低的 图 像 和 细 节 系 数 。 在 这 个 例 子 中 ， 分 解 到 最 后 ， 就用 一 个 像 素 的 平 均 值 6和 三 个 细 节 系 数 2,1和 1表 示整 幅 图 像 ： 6 2 1 -1 哈尔变换过程分 辨 率 平 均 值 细 节 系 数4 9 7 3 52 8 4 1 -11 6 2n 把 由 4像 素 组 成 的 一 幅 图 像 用 一 个 平 均 像 素 值和 三 个 细 节 系 数 表 示n 这 个 过 程 就 叫 做 哈 尔 小 波 变 换 (Haar wavelet transform)， 也 称 哈 尔 小 波 分 解 (

34、Haar wavelet decomposition) n 这 个 概 念 可 以 推 广 到 使 用 其 他 小 波 基 的 变 换 3. 哈尔变换的特性从 这 个 例 子 中 我 们 可 以 看 到 ：变 换 过 程 中 没 有 丢 失 信 息 ， 因 为 能 够 从 所 记 录 的 数 据中 重 构 出 原 始 图 像 。对 这 个 给 定 的 变 换 ， 我 们 可 以 从 所 记 录 的 数 据 中 重 构出 各 种 分 辨 率 的 图 像 。 例 如 ， 在 分 辨 率 为 1的 图 像基 础 上 重 构 出 分 辨 率 为 2的 图 像 ， 在 分 辨 率 为 2的 图像 基 础

35、 上 重 构 出 分 辨 率 为 4的 图 像通 过 变 换 之 后 产 生 的 细 节 系 数 的 幅 度 值 比 较 小 ， 这 就为 图 像 压 缩 提 供 了 一 种 途 径 。 例 如 ， 去 掉 一 些 微 不足 道 的 细 节 系 数 并 不 影 响 对 重 构 图 像 的 理 解 4. 一维哈尔小波变换求 均 值 和 差 值 的 过 程 实 际 上 就 是 一 维 小 波变 换 的 过 程 ， 现 在 用 数 学 方 法 重 新 描 述小 波 变 换 的 过 程 (1) 哈尔基函数基 函 数 是 一 组 线 性 无 关 的 函 数 ， 可 以 用 来 构 造 任意 给 定 的

36、信 号 , 如 用 基 函 数 的 加 权 和 表 示 。 定义 了 基 和 矢 量 空 间 ， 就 可 以 把 由 2j 个 像 素 组 成的 一 维 图 像 看 成 为 矢 量 空 间 中 的 一 个 矢 量 。最 简 单 的 基 函 数 是 哈 尔 基 函 数 (Haar basis function)。 哈 尔 基 函 数 在 1909年 提 出 ， 它 是 由一 组 分 段 常 值 函 数 (piecewise-constant function)组 成 的 函 数 集 。 这 个 函 数 集 定 义 在 半 开 区 间 上 ，每 一 个 分 段 常 值 函 数 的 数 值 在 一

37、个 小 范 围 里 是“ 1”， 其 他 地 方 为 “ 0”以 图 像 为 例 并 使 用 线 性 代 数 中 的 矢 量 空 间 来 说 明哈 尔 基 函 数 。 这 4个 常 值 函 数 就 是 构 成 矢 量 空 间 V 2的 基 20 ( )x123 0 12 32 22 21, 0 1/4 1, 1/4 1/2( ) ( )0, 0,1, 1/2 3/4 1, 3/4 1( ) ( )0, 0,x xx xx xx x 其他其他其他其他20 ( )x 21 ( )x 22 ( )x 23 ( )x哈尔基函数(续1) 哈尔基函数(续2)为 了 表 示 矢 量 空 间 中 的 矢 量

38、， 每 一 个 矢 量空 间 V j 都 需 要 定 义 一 个 基 (basis)为 生 成 矢 量 空 间 而 定 义 的 基 函 数 也 叫 做 尺度 函 数 (scaling function)， 这 种 函 数 通 常用 符 号 表 示 。哈 尔 基 函 数 定 义 为( ) ji x 1 0 1( ) 0 xx 其他 哈尔基函数(续3)哈 尔 基 尺 度 函 数 定 义 为 ( )ji x( ) (2 ), 0,1, ,(2 1) j j ji x x i i 其 中 ， j 为 尺 度 因 子 ， 改 变 j 使 函 数 图 形 缩 小或 者 放 大 ； i为 平 移 参 数 ，

39、 改 变 i使 函 数 沿 轴方 向 平 移 。 n 空 间 矢 量 V j定 义 为 ( ) 0, ,2 1 j j jiV sp x i 其 中 ， 表 示 线 性 生 成 (linear span) (2) 哈尔小波函数小 波 函 数 通 常 用 表 示 。 与 框 函 数 相 对应 的 小 波 称 为 基 本 哈 尔 小 波 函 数 (Haar wavelet functions)， 并 由 下 式 定 义 ，n 哈 尔 小 波 尺 度 函 数 定 义 为 ，( )ij x1 0 1/2( ) 1 1/2 10 xx x 当当其他( ) ij x( ) (2 ), 0, ,(2 1)

40、ij j jx x i i 哈尔小波函数(续1)用 小 波 函 数 构 成 的 矢 量 空 间 用 W j表 示 为 ，n 根 据 哈 尔 小 波 函 数 的 定 义 ， 可 以 写 出 生成 ， W 0,W 1和 W 2 等 矢 量 空 间 的 小 波 函数 ( ) 0,1, ,2 1j j jiW sp x i 其 中 ， SP表 示 线 性 生 成 ； j为 尺 度 因 子 ， 改 变 j 使 函 数 图 形 缩 小 或 者 放 大 ； i为 平 移 参 数 ， 改 变i 使 函 数 沿 轴 方 向 平 移 哈尔小波函数(续2)生 成 矢 量 空 间 W 2 的 哈 尔 小 波 ： 2

41、20 1 2 22 31 0 1/8 1 2/8 3/8( ) 1 1/8 2/8 ( ) 1 3/8 4/80 01 4/8 5/8 1 6/8 7/8( ) 1 5/8 6/8 ( ) 1 7/8 10 0 x xx x x xx xx x x x 其他其他其他其他 哈尔小波函数(续3)生 成 矢 量 空 间 W 2 的 哈 尔 小 波 (3) 哈尔小波变换过程用 V2 中 的 哈 尔 基 表 示图 像 9 7 3 5有 2j =22=4个 像 素 ， 因 此 可以 用 生 成 矢 量 空 间 中 的 框 基 函 数 的 线 性组 合 表 示 ， 2 2 2 2 2 2 2 20 0 1

42、1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )I x c x c x c x c x 其 中 的 系 数 是 4个 正 交 的 像 素 值 9 7 3 5， 因 此 ， 2 2 2 20 1 2 3, ,c c c c和2 2 2 20 1 2 3( ) 9 ( ) 7 ( ) 3 ( ) 5 ( ) I x x x x x 哈尔小波变换过程(续1)图 I(x)用 V2中 的 哈 尔 基 表 示 用 V 0, W 0和 W1中 的 函 数 表 示 图 像生 成 矢 量 空 间 V 0的 基 函 数 为 ， 生 成 矢量 空 间 W 0的 小 波 函 数 为 ， 生 成 矢 量空 间

43、W1的 小 波 函 数 为 和 ， 根 据哈尔小波变换过程(续2)uI(x)可 表 示 成 00( )x00( )x10( )x 11( )x2 0 0 1V V W W 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )I x c x d x d x d x 其 中 ， 4个 系 数 ， ， 和 就 是 原 始 图 像 通 过哈 尔 小 波 变 换 所 得 到 的 系 数 ， 用 来 表 示 整 幅 图像 的 平 均 值 和 不 同 分 辨 率 下 的 细 节 系 数 。 4个函 数 , , 和 就 是 构 成 空 间 V2的 基 。 哈尔小波

44、变换过程(续3)n 用 图 表 示 为 00c 00d 10d 11d00( )x 00( )x 10( )x 11( )x 一 幅 图 像 是 一 个 二 维 的 数 据 阵 列 ， 进 行 小 波 变 换时 可 以 对 阵 列 的 每 一 行 进 行 变 换 ， 然 后 对 行 变换 之 后 的 阵 列 的 每 一 列 进 行 变 换 ， 最 后 对 经 过变 换 之 后 的 图 像 数 据 阵 列 进 行 编 码1. 求 均 值 与 求 差 值使 用 求 均 值 和 求 差 值 的 方 法 ， 对 矩 阵 的 每 一行 进 行 计 算3. 使 用 线 性 代 数由 于 图 像 可 用 矩

45、 阵 表 示 ， 使 用 N个 矩 阵 M1, M2， 和 MN 同 样 可 以 对 图 像 矩 阵 进 行 求 平 均值 和 求 差 值 。 这 N个 矩 阵 分 别 是 第 一 、 第 二和 第 N次 分 解 图 像 时 所 构 成 的 矩 阵5. 二维哈尔小波变换 二维哈尔小波变换(续1)用 小 波 对 图 像 进 行 变 换 有 两 种 方 法 ， 一 种叫 做 标 准 分 解 (standard decomposition)，另 一 种 叫 做 非 标 准 分 解 (nonstandard decomposition)。 标 准 分 解 方 法 是 指 首 先使 用 一 维 小 波

46、对 图 像 每 一 行 的 像 素 值 进行 变 换 ， 产 生 每 一 行 像 素 的 平 均 值 和 细节 系 数 ， 然 后 使 用 一 维 小 波 对 这 个 经 过行 变 换 的 图 像 的 列 进 行 变 换 ， 产 生 这 个图 像 的 平 均 值 和 细 节 系 数 。 标 准 分 解 的过 程 如 下 ， procedure StandardDecomposition(C: array 1. . . h, 1. . . w of reals) for row 1 to h do Decomposition(C row, 1 . . . w) end for for col 1

47、 to w do Decomposition(C 1 . . . h, col) end forEnd procedure二维哈尔小波变换(续2) 标 准 分 解 方 法 ， 使 用 MATLAB编 写 的 程 序 分解 得 到 二维哈尔小波变换(续3) 二维哈尔小波变换(续4)非 标 准 分 解 是 指 使 用 一 维 小 波 交 替 地 对 每一 行 和 每 一 列 像 素 值 进 行 变 换 。 首 先 对图 像 的 每 一 行 计 算 像 素 对 的 均 值 和 差 值 ，然 后 对 每 一 列 计 算 像 素 对 的 均 值 和 差 值 。这 样 得 到 的 变 换 结 果 只 有

48、1/4的 像 素 包 含均 值 ， 再 对 这 1/4的 均 值 重 复 计 算 行 和 列的 均 值 和 差 值 ， 依 此 类 推 。 非 标 准 分 解的 过 程 如 下 : 二维哈尔小波变换(续5)procedure NonstandardDecomposition (C: arrayof reals) (normalize input coefficients)while h 1 dofor row 1 to h do DecompositionStep(C row, 1 . . . h)end forfor col 1 to h doDecompositionStep(C 1 .

49、. . h, col)end forend whileend procedureC/C h 二维哈尔小波变换(续6)非 标 准 分 解 方 法 ， 使 用 MATLAB编 写 的 程 序 分 解得 到 三、阅读和练习作业Robi Polikar, The Engineers Ultimate Guide to Wavelet Analysis: The Wavelet Tutorial：http:/engineering.rowan.edu/polikar/WAVELETS/WTtutorial.html Scientific Computer Consulting, Information and Technology Services, University of Colorado at Boulder, Matlab tutorial, http:/amath.colorado.edu/scico/tutorials/matlab/，