《晶格振动》PPT课件

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1、第 13章 晶 格 振 动13.1 一 维 单 原 子 晶 格 振 动13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动13.3 周 期 边 界 条 件 与 格 波 数13.4 晶 格 振 动 的 量 子 化 和 声 子13.5 晶 格 比 热 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 第 13章 晶 格 振 动 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动一 维 单 原 子 晶 格 振 动 物 理 模 型 xn+1 xn+2xnxn-1xn-2 n n+1 n+2n-2 n-1n n+1 n+2 n+3n-3 n-2 n-

2、1 axn-3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3两 原 子 间 的相 对 位 移 ： =xn+1-xn 平 衡 时 两 原子 间 作 用 势U（ a）U(a+ ) 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论annnaa rUnrUrUaUaU )(!)(!2)()()( 222 1.将 偏 离 平 衡 位 置 后 的 势 能 在 平 衡 位 置 处 泰 勒 展 开arUaUaU )(!2)()( 222 高 阶略 去平 衡 时 势 能为 极

3、小 值2.将 U(a+ )对 求 偏 导 常 数 arUUF )( 22 ： 力 常 数 kxF 简 谐 运 动公 式简谐近似作 用 力 n n+1 n+2 n+3n-3 n-2 n-1axn-3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论3.相 邻 两 个 原 子 间 的 作 用 力 arUUF )( 22 n n+1 n+2 n+3n-3 n-2 n-1axn-3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn

4、+2 xn+3 )( )( 12 11 nn nn xxF xxF F1 F2)2(FF 1121 nnn xxxF )2( 11 nnnn xxxxm 对 时 间 的二 阶 导 数 牛 二 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论4.从 力 的 方 程 到 振 动 位 移 方 程 n n+1 n+2 n+3n-3 n-2 n-1axn-3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3F1 F2)2( 11 nnnn xxxxm )( tqnain A

5、ex n+2n-2 n+1n-1 n简 谐 波 的试 探 解在 简 谐 近 似 下 ， 晶 格 振 动 以 平 面 波的 形 式 在 晶 体 中 传 播 格 波2q波 矢 振 幅 a2a q相 邻 原 子相 位 差 振 动 角频 率 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论 n n+1 n+2 n+3n-3 n-2 n-1axn-3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3F1 F2 )( tqnain Aex n+2n-2 n+1n-1 n 格

6、波 ntqnaitqnaSitqmaim xAeAeAex )()2()( ma-na=S所 有 原 子 都 以 相 同 和 A做 简 谐 振 动简 谐 波 的 特 性 周 期 性 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论5.色 散 方 程 的 求 出 n n+1 n+2 n+3n-3 n-2 n-1axn-3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3F1 F2 or pq 色 散 关 系 之 讨 论)2( 11 nnnn xxxxm )( tqn

7、ain Aex )21(sin4 22 qam 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论 5.色 散 方 程 的 求 出 n n+1 n+2 n+3n-3 n-2 n-1axn-3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3F1 F2)21(sin4 22 qam m2 )21sin( max max qa 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的

8、解 x n色 散 方 程讨 论6.有 关 色 散 方 程 的 讨 论 )21sin(max qa max maxO /a-/a qI.周 期 性 &偶 对 称 只 有 在 第一 布 区 才能 找 到 唯一 波 矢 解 第 一 布 区 外 的波 矢 点 可 以 找到 其 在 第 一 布区 的 等 效 点q q/ anqq 2/ 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论6.有 关 色 散 方 程 的 讨 论 aaq 242 I.周 期 性 &偶 对 称 22/ qa

9、nqq aaq 255/42/ aqq 2 / 两 个 波 矢 等 效 等 效 点 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论6.有 关 色 散 方 程 的 讨 论 )21sin(max qa max maxO /a-/a qII.对 波 长 的 讨 论 长 波 极 限0 q 2max qa 讨 论 问 题 区 域 在 第 一布 区 原 点 附 近 qaqaq 21)21sin(0 q线 性 关 系 maaqqv p max222 相 速 度 与波 长 无 关 电

10、 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论6.有 关 色 散 方 程 的 讨 论 )21sin(max qa II.对 波 长 的 讨 论 长 波 极 限 maaqqv p max222相 速 度 与 波 长 无 关与 宏 观 弹 性 波 的 性 质 一 致 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.1一 维 单 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 xn色 散 方 程讨 论6.有 关 色 散 方 程 的 讨 论

11、 )21sin(max qa II.对 波 长 的 讨 论 短 波 极 限aaq 2 讨 论 问 题 区 域 在 第 一布 区 的 布 区 边 缘 max maxO /a-/a qaq 连 续 介 质 的 整 体 运 动 ， =0，恢 复 力 为 0相 邻 原 子 反 向 振 动 ， = max，恢 复 力 最 大 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动一 维 双 原 子 晶 格 振 动 物 理 模 型2a M m M MmM m 2n 2n+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3 电 子 科 技 大 学 光 电 信

12、息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论1.从 运 动 方 程 到 色 散 方 程 )2( )2( 212122 1222212 nnnn nnnn xxxxM xxxxm )tna2q(in2 )ta)1n2(q(i1n2 Bex Aex 2n 2n+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22 AqaBM BqaAm 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运

13、 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论1.从 运 动 方 程 到 色 散 方 程 2n 2n+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22 AqaBM BqaAm 振 幅 A&B有 非 零 解 02)cos(2 )cos(22 22 Mqa qam )2cos(2)( 222 qaMmmMmMMm 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动 简 谐 近 似运 动 方 程方 程 的 解 x n色 散 方 程讨 论1.从 运 动 方 程 到 色 散 方 程 2n 2n

14、+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3 )2cos(2)( 222 qaMmmMmMMm )2cos(2)( )2cos(2)( 222 222 qaMmmMmMMm qaMmmMmMMm a2 a2 )11(2max mM m 2min o q M 2max +:光 学 支 -:声 学 支 0 min 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动2.声 学 支 和 光 学 支 振 动 特 点 2n 2n+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3I.一 般 情 况 下 ， 声 学 波 相 邻 （ M&m） 原 子

15、沿 同 一 方 向 振 动 ； 光学 波 相 邻 原 子 沿 相 反 方 向 振 动声 学 波 光 学 波 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动2.声 学 支 和 光 学 支 振 动 特 点 2n 2n+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3II.长 波 极 限 下 ， 长 声 学 波 两 种 原 子 运 动 完 全 一 致 ， 且 振 幅 和位 相 都 无 差 别 ， 此 时 长 声 学 波 代 表 着 原 胞 质 心 的 运 动 ； 长 光学 波 ， 异 类 原 子 反 向 振 动 ， 原 胞 质 心 保 持 不

16、 动 ；0 q 长 声 学 波 长 光 学 波布 区 中心 附 近 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动2.声 学 支 和 光 学 支 振 动 特 点 2n 2n+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3III.短 波 极 限 下 ， 声 学 波 轻 原 子 不 振 动 ， 重 原 子 振 动 ； 光 学波 重 原 子 不 振 动 ， 轻 原 子 振 动 ； 短 波 极 限 下 声 学 波 短 波 极 限 下 光 学 波aaq 42 布 区 边缘 附 近 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13

17、.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动2.声 学 支 和 光 学 支 振 动 特 点 2n 2n+22n+12n-2 2n-1 2am M2n-3 声 学 波光 学 波0q 0q aq 2 声 学 波aq 2 光 学 波长 波 极 限短 波 极 限 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.2 一 维 双 原 子 晶 格 振 动关 于 声 学 支 和 光 学 支运 动 特 点 的 推 导 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 振 动 .一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .声 学 支 2122 212222 )(si

18、n)( 411)( )2cos(1(2)()( )2cos(2)( qamM MmmMMm qaMmmMmMMm qaMmmMmMMm )sin()2( 21 qamM xxxif qamM Mm 211)1(1. 1)(sin)( 4 2122 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .声 学 支 之 长 波 极 限)sin()2( 21 qamM qamM 21)2( )sin()2( 21 qamM 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22 AqaBM BqaAm 12 )cos(2)( 2 mqaBA

19、qaqa )sin( 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .声 学 支 之 短 波 极 限aq 2 M 2max M 2 max 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22 AqaBM BqaAm )2cos(2)( 222 qaMmmMmMMm 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .声 学 支 之 一 般 情 况 02 )cos(2)( 2 m qaBA 22max2 Mm 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22

20、AqaBM BqaAm 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .光 学 支 2122 212222 )(sin)( 411)( )2cos(1(2)()( )2cos(2)( qamM MmmMMm qaMmmMmMMm qaMmmMmMMm )(sin)(1)(2 222 qamMMmmMMm1)(sin)( 4 22 qamM Mm 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .光 学 支 .长 波 极 限0)(sin2 qa )(sin

21、)(1)(2 222 qamMMmmMMm 212121max 2)/(2)(2 umMMmMm mM 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22 AqaBM BqaAm mMm qamqaBA 2max2 2 )cos(22 )cos(2)( 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .光 学 支 .短 波 极 限aq 2 m 2min )2cos(2)( 222 qaMmmMmMMm m 2 min 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22 AqaBM BqaAm 电 子 科 技 大 学 光 电 信

22、息 学 院 陈 德 军 晶 格 振 动 .一 维 双 原 子 晶 格 的 振 动 .色 散 关 系 .光 学 支 .一 般 情 况 22min2 mm 02 )cos(2)( 2 m qaBA 0)cos(2)2( 0)cos(2)2( 22 AqaBM BqaAm 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.3 周 期 边 界 条 件 与 格 波 数玻 恩 -卡 门 条 件前 面 讨 论 的 是 一 维 无 限 长 的 原 子 链 ， 现 在 讨 论 有 N个 原 子 的有 限 长 链 1 2 3N N-1 .1 2 3 . . N-1 N基 本 假 设 ： 有 N个

23、原 子 的有 限 长 链 中 ， 可 首 尾 相 接 ，并 将 第 1个 原 子 看 成 是 第N+1个 原 子 ， 这 样 就 可 以用 之 前 讨 论 的 结 果 来 描 述有 限 长 的 原 子 链 模 型N+1 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.3 周 期 边 界 条 件 与 格 波 数1 2 3N N-1 .N+111 Nxx )1(1 )(1 taNqiN tqaiAex Aex 1 iqNaeqNa=2Saqa 22 NSN 结 论 ： S在 有 限 的 范 围 内 取整 数 ， 所 以 波 矢 q的 值 是 有限 并 离 散 的 。 与 无 限

24、长 原 子链 波 矢 连 续 形 成 对 比 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.3 周 期 边 界 条 件 与 格 波 数1 2 3N N-1 .N+122 NSN 结 论 ： 一 维 下 N个 原 子 的 晶 体 在 第 一 布 区 有 N个 独 立 的 振 动 波 矢N=1qNa=2SS=0 q=2S Na)21sin(m2 qa q=0 0N=2 S=0， 1 m 2,0aq ,0N=3 S=-1， 0， 1 mm 22,0 ，aq ,0 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.3 周 期 边 界 条 件 与 格 波 数1 2 3

25、N N-1 .N+1 结 论 延 伸 至 三 维几 个 重 要 的 概 念 和 结 论1、 晶 体 中 原 胞 个 数 ： N2、 每 个 原 胞 的 原 子 数 ： n3、 原 子 自 由 度 原 子 的 空间 维 数 ： k4、 原 胞 自 由 度 总 数 ： nk5、 晶 体 中 原 子 的 自 由 度 总 数 ：Nnk I.格 波 支 数 晶 体中 光 学 波 和 声 学 波的 支 数 之 和 ： nkII.每 支 格 波 的 格 波数 每 支 格 波 包 含的 波 矢 个 数 ： N II.晶 体 总 格 波 数 ： Nnkk支 频 率 最 低 的 格 波 为声 学 波 ， 其 余

26、为 光 学 波 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.3 周 期 边 界 条 件 与 格 波 数1 2 3N N-1 .N+1 结 论 延 伸 至 三 维一 维 布 拉 菲 格 子举 例 说 明 （ 以 下 晶 体 原 胞 的 个 数 为 N）晶 体 格 波 支 数（ 声 学 支 、 光 学 支 ） 每 支 格 波的 格 波 数 总 的 格波 数1（ 1、 0） N N一 维 双 原 子 格 子 2（ 1、 1） N 2N二 维 正 方 格 子 2（ 2、 0） N 2N 金 刚 石 结 构 6（ 3、 3） N 6N 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院

27、 陈 德 军 13.4 晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子由 玻 恩 卡 门 条 件 可 以 知 道 ： 在 有 限 的 晶 体 内 ， 振 动模 式 （ q， ） 是 分 立 的 ；每 一 个 独 立 的 振 动 模 式 ， 都 可 以 看 成 是 一 个 谐 振 子 ，总 能 量 为 N个 谐 振 子 能 量 之 和根 据 量 子 力 学 ， 一 个 谐 振 子 的 能 量 可 以 写 成 lll n )21( .2,1,021 lll nn Nnl llnE 3 1 )21( 声 子 ： 晶 格振 动 的 最 小单 位 零 点 能 格 波 数 电 子 科 技 大 学 光 电 信

28、息 学 院 陈 德 军 13.4 晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子q对 声 子 的 深 入 理 解1、 声 子 是 晶 格 振 动 格 波 的 能 量 量 子 ， 是 晶 格 振 动 能 量的 最 小 单 位 ； 声 子 越 多 ， 该 模 式 振 动 越 强 烈 ；2、 声 子 是 玻 色 子 ， 服 从 玻 色 -爱 因 斯 坦 统 计 分 布 ；5、 声 子 服 从 能 量 守 恒 和 准 动 量 守 恒 ：3、 声 子 不 是 一 种 真 实 的 粒 子 ， 不 携 带 物 理 量 ， 其 准 动量 为 q；4、 声 子 数 不 守 恒 ， 在 与 其 他 粒 子 碰 撞 时

29、 ， 可 产 生 ， 也可 湮 灭 ； hKqkk q 12 12 )( 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.4 晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子hKqkk q 12 12 )( 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子 .一 维 单 原 子 的 振 动 一 般 解 讨 论关 于 晶 格 振 动 简 正 坐 标的 表 示 ， 以 及 谐 振 子 能量 公 式 的 推 导 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子 .一 维 单 原 子

30、 的 振 动 一 般 解 讨 论 q tiiqnaqtqnaiq qn eeAeAx )( q nqqn baxNeb eANa iqnanq tiqq q iqnatiqn NeeANx N 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子 .一 维 单 原 子 的 振 动 一 般 解 讨 论 2 q nqqn bax q q nn)nn(iqa*nqqnn n qqan)qq(i*nqnq Nebb Nebb *nqn nn iqnanq bxNexa *nn xx *qq aa 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德

31、军 晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子 .晶 格 振 动 总 能 量 q qqnqq naqqiqq nqq naiqqiqnaqnn naam Neaam NeaNeamxxmxmmT 22 222 )(2 ij jiijii in xxxxUUxxxU 21)()( 021 0)( jiij xx U q qq nn nnnnij jiij aaqmxxxxU *2 )(22121 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 振 动 .晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子 .晶 格 振 动 总 能 量 2 q q*q2qq aa)q(aa2mUTH q

32、 qqaaqmH *2 )(qq aia *qq aia )(2 )( )(21 * qqq qqq aai qmP aaQ )(21 )(21* qmiPQa qmiPQa qqq qqq q qq QqmPmH )(2121( 222 q qq QQmH )(2 222 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 振 动 .晶 格 振 动 的 量 子 化 与 声 子 .声 子 q qq QQmH )(2 222 lll n )21( Nnl llnE 3 1 )21( l21 l21 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比

33、热比 热 的 定 义 ： 单 位 温 度 变 化 所 引 起 的 内 能 变 化VV TEC ）（ 以 下 对 比 热 的 讨 论 只 考 虑 晶 格 的 影 响 eVaV CC VC 晶 格 振 动 能 量引 入 比 热 电 子 运 动 能 量引 入 比 热 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热 VV TEC ）（ 1、 经 典 比 热 理 论 杜 隆 -珀 替 定 理经 典 能 量 均 分 原 理 ： E=3N KBT晶 体 振 动 总的 自 由 度 每 个 谐 振子 的 能 量比 热 与 温 度 无 关 ， 为 一 常 数 ： CV=3NK

34、B 在 低 温处 出 现矛 盾 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热 VV TEC ）（ 2、 晶 格 比 热 的 量 子 理 论谐 振 子 的 能 量 )(w谐 振 子 平 均 能 量 )(w )21( nn 0n B B0nn Tk )21n(exp Tk )21n(exp)21n( 00 expexp21 n Bn BTkn Tknn )exp(ln21 02 n BB TknTTk f(B) 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热 VV TEC ）（ 2、 晶 格 比 热 的 量 子 理 论谐

35、 振 子 的 能 量 )(w谐 振 子 平 均 能 量 )(w )exp(ln21 02 n BBn TknTTk 10 )exp1(2expexp1exp TkTkTkTkn BBBn B 1exp21 Tk B 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热 VV TEC ）（ 2、 晶 格 比 热 的 量 子 理 论谐 振 子 的 能 量 )(w谐 振 子 平 均 能 量 )(w 1exp21 TkB 总 的 平 均 能 量 E晶 体 的 比 热 VC Nl B llNl l TkE 3 13 1 1exp21 23 1 2 )1(expexp)(

36、Tk TkTkkTEC B lB lNl B lBV 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热 VV TEC ）（ 2、 晶 格 比 热 的 量 子 理 论谐 振 子 的 能 量 )(w谐 振 子 平 均 能 量 )(w 1exp21 TkB 总 的 平 均 能 量 E晶 体 的 比 热 VCE假 设 频 率 连 续 VC dTkE B )()1exp21(m0 dTk TkTkkC m B BBBV )()1(expexp)(0 22 频 率 分布 函 数 Ndm 3)(0 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶

37、格 比 热 VV TEC ）（ 2、 晶 格 比 热 的 量 子 理 论 dTk TkTkkC m B BBBV )()1(expexp)(0 22 可 以 证 明 该 公 式 在 T很 大 时 ， 趋 近3NKB； 在 T很 低 时 ， 趋 向 0；谐 振 子 的 能 量 )(w谐 振 子 平 均 能 量 )(w总 的 平 均 能 量 E晶 体 的 比 热 VCE假 设 频 率 连 续 VC 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热3、 爱 因 斯 坦 模 型假 设 ： 原 子 中 所 有 原 子 振 动 独 立 ， 且 频 率 相 同0 .con

38、st 即 ： 23 1 2 )1(expexp)( Tk TkTkkTEC B lB lNl B lBV 0 0022 )1(expexp)(3 Tk TkTkNkC B BBBV 爱 因 斯坦 比 热函 数 Bf爱 因 斯坦 温 度 EH 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热3、 爱 因 斯 坦 模 型 22 )1(expexp)(3 TH THTHNkC E EEBV BV NkC 3 )exp(3 TkTkNkC BBBV 高 温 时 低 温 时结 论 1： 高 温 时 与 实 验 相 符 趋 近 于 0结 论 2： 低 温 时 ， 趋 势

39、 与 实 验 相同 ； 但 是 实 验 表 明 比 热 与 T3成 正比 ， 而 爱 因 斯 坦 模 型 比 它 更 快 地趋 向 零 。 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热4、 德 拜 模 型假 设 ： 晶 体 是 各 向 同 性 的 连 续 介 质 ， 格 波 可 以 看 成 连 续 介质 中 的 弹 性 波 （ 长 声 学 波 ）.d c constq dq v 波 速 为 常 数经 过 推 导 ， 可 得 mx xxBBV e dxxeNTVkkC 0 2433 33 )1(43 TVNTkTkx DBB mm 31)43( D T D

40、DxxDBV D TRfe dxxeTNkC 0 243 )(3)1()(9 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 13.5 晶 格 比 热4、 德 拜 模 型结 论 1： 高 温 时 与 实 验 相 符 ， 但是 ， 为 了 接 近 实 验 结 果 ， 常 常 选取 随 温 度 变 化 的 德 拜 温 度结 论 2： 低 温 时 ， 比 热 与 温 度 T3成 正 比 ， 与 实 验 符 合 得 很 好 。 温度 越 低 ， 符 合 得 越 好 ； 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 比 热 .德 拜 模 型 dqqV 24 q dVd

41、2212)( d dTk TkTkkVC m B BBBV 20 222 )1(expexp)(12 mx xxBBV e dxxeNTVkkC 0 2433 33 )1(43 xTkB TVNTkTkx DBB mm 31)43( 电 子 科 技 大 学 光 电 信 息 学 院 陈 德 军 晶 格 比 热 .德 拜 模 型 2 mx xxBBV e dxxeNTVkkC 0 2433 33 )1(43 TVNTkTkx DBB mm 31)43( D T DDxxDBV D TRfe dxxeTNkC 0 243 )(3)1()(9 T xxDDD D e dxxeTTf 0 243 )1()(3)(DT 15161 41 40 2 nx ne dxx 24 )(512 DB TNk