《dddIIR数字滤波器》PPT课件

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1、 数 字 滤 波 器 (DF)的 定 义 输 入 和 输 出 均 是 数 字 信 号 ， 通 过 一 定 运 算 关 系 (数 值 运 算 )， 改变 输 入 数 字 信 号 所 含 频 率 成 份 的 相 对 比 例 或 滤 除 某 些 频 率 成 份的 器 件 。 如 何 用 数 字 滤 波 器 处 理 模 拟 信 号 ？通 过 A/DC和 D/AC， 用 数 字 滤 波 器 对 模 拟 信 号 进 行 处 理 。第 6章 无 限 脉 冲 响 应 数 字 滤 波 器 的 设 计数 字 滤 波 器 的 数 学 描 述 差 分 方 程 系 统 函 数T 频 率 变 量 以 数 字 频 率 表

2、示 2 2 s sf T 以 数 字 抽 样 频 率 为 周 期/2s 频 率 特 性 范 围 ： （ 采 样 定 理 ） 1、 数 字 滤 波 器 的 分 类(1) 一 般 分 类 经 典 滤 波 器 （ 选 频 滤 波 器 ） ： 适 用 于 信 号 中 有 用 的 频 率 成 分 和希 望 滤 除 的 频 率 成 分 占 用 不 同 的 频 带 的 情 况 ， 通 过 选 频 滤 波 器达 到 滤 波 的 目 的 。 现 代 滤 波 器 ： 适 用 于 信 号 和 干 扰 的 频 带 相 互 重 叠 的 情 况 ， 通 过现 代 滤 波 器 利 用 信 号 的 统 计 分 布 规 律 ，

3、 从 干 扰 中 最 佳 提 取 信 号 。如 ： 维 纳 滤 波 器 、 卡 尔 曼 滤 波 器 和 自 适 应 滤 波 器 等 。 本 书 只 讨 论 选 频 滤 波 器 的 设 计 。(2) 从 滤 波 器 的 功 能 上 来 分 类 分 为 低 通 、 高 通 、 带 通 、 带 阻 滤 波 器 理 想 滤 波 器 幅 度 特 性 低 通 (LP)频 率 响 应 w0 - |H(ejw)|2-2 w0 - |H(ejw)|高 通 (HP)频 率 响 应2-2w0 - |H(ejw)|带 通 BP频 率 响 应 2-2 w0 - |H(ejw)|带 阻 BS频 率 响 应 2-2特 点

4、： (1)h(n)非 因 果 且 无 限 长 ， 物 理 不 可 实 现 ， 只 能 尽 可 能逼 近 ； (2)DF的 频 率 响 应 以 2为 周 期 ， 低 频 区 域 处 于 的 偶 数倍 附 近 ， 高 频 区 域 处 于 的 奇 数 倍 附 近 。 (3)从 滤 波 器 的 实 现 网 络 结 构 或 从 单 位 脉 冲 响 应 来 分 类 无 限 脉 冲 响 应 (IIR)数 字 滤 波 器 有 限 脉 冲 响 应 (FIR)数 字 滤 波 器 ：0 11 0( ) 1( ) ( )M iii N iiiN nn b zH z a zH z h n z 0 110( ) 1( )

5、 ( )M rrr N kkkN nn b zH z a zH z h n z 在 数 字 滤 波 器 中 ， 一 般 考 察 其 半 个 周 期 =0， 的 频 域 特 性 ；在 模 拟 滤 波 器 中 ， 通 常 考 察 其 =0， 范 围 内 频 率 域 的 特 性 。 N阶 IIR滤 波器 系 统 函 数N 1阶 FIR滤波 器 系 统 函 数 2、 数 字 滤 波 器 的 技 术 要 求数 字 滤 波 器 的 传 输 函 数 H(ejw)|H(ejw)|系 统 的 幅 频 特 性 ： 表 示 信 号 通 过 该 滤 波 器 后 各频 率 成 分 衰 减 情 况 。 系 统 的 相 频

6、 特 性 ： 反 映 各 频 率 成 分 通 过 滤 波 器 后 在时 间 上 的 延 时 情 况 。 ( )( ) ( )j j jH e H e e ( ) 过 渡 带低 通 数 字 滤 波 器 的 幅 频 特 性 技 术 指 标|H(ejw)| 通 带 阻 带21-1 p0.70701 C S p： 通 带 截 止 频 率 ， 通 带 频 率 范 围 ： 0 p ；S ： 阻 带 截 止 频 率 ， 阻 带 频 率 范 围 ： s ； C ： 3dB截 止 频 率 ； P： 通 带 最 大 衰 减 ； S： 阻 带 最 小 衰 减1： 通 带 内 幅 度 响 应 误 差 范 围 ； 2：

7、 阻 带 内 幅 度 响 应 误 差 范 围 ；P S 00( )20lg ( )( )20lg ( )psjp jjs jH e dBH eH e dBH e 00( )20lg ( )( )20lg ( )psjp jjs jH e dBH eH e dBH e 如 将 |H(ej0)|归 一 化 为 1， 上 两 式 则 表 示 成20lg ( )20lg ( ) psjp js H e dBH e dB 20lg ( )20lg ( )psjp js H e dBH e dB 3. 数 字 滤 波 器 设 计 方 法 IIR滤 波 器 设 计 方 法 ： (1)先 设 计 模 拟 滤

8、波 器 (AF)的 系 统 函 数 Ha(s)； 然 后 按 某 种 变换 ， 将 Ha(s)转 换 成 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z)。 (2) 借 助 CAD(计 算 机 辅 助 设 计 )在 频 域 或 时 域 直 接 设 计 ； FIR滤 波 器 设 计 方 法 (1)经 常 采 用 的 是 窗 函 数 设 计 法 和 频 率 采 样 法 . (2)用 计 算 机 辅 助 的 切 比 雪 夫 最 佳 一 致 逼 近 法 设 计 。 6.3 模 拟 滤 波 器 (AF)的 设 计模 拟 滤 波 器 的 理 论 和 设 计 方 法 已 发 展 得 相 当 成 熟 ， 且

9、有 若 干 典 型的 模 拟 滤 波 器 可 以 选 择 。 如 ： 巴 特 沃 斯 (Butterworth)滤 波 器 、切 比 雪 夫 (Chebyshev)滤 波 器 、 椭 圆 (Kllipse)滤 波 器 、 贝 塞 尔(Bessel)滤 波 器 等 ， 这 些 滤 波 器 都 有 严 格 的 设 计 公 式 、 现 成 的 曲线 和 图 表 供 设 计 人 员 使 用 。 AF的 表 示 ： a aLa ah t H jh t H s( )( ) FAF的 设 计 ： 找 到 ha(t) 或 Ha(s)（ 更 多 时 候 ） , 即 找 到 典 型 滤 波 器公 式 中 的 阶

10、和 未 知 参 数 。 )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c 各 种 理 想 模 拟 滤 波 器 的 幅 度 特 性 C21 1 jH低 通 C1 jH21 高 通021 1 jH HL BW帶 通 21 1 jH 0 HL BW

11、帶 阻可 实 现 模 拟 滤 波 器 的 幅 度 特 性 滤 波 器 无 源 滤 波 器 （ 由 R、 L、 C等 元 件 组 成 ）有 源 滤 波 器 （ 由 运 放 、 R、 C等 元 件 组 成 ）有 源 滤 波 器 的 工 作 频 率 难 以 做 得 很 高而 无 源 滤 波 器 的 工 作 频 率 很 高 iUCjR CjU 11 RCjURRUR UURU iFOFO 1)1( 11设 为 某 一 频 率 正 弦 量iu 有 源 低 通 滤 波 器 iu 1RR ou_+ +C+_cu FR URCjUi1 为 改 善 滤 波 效 果 ， 常 采 用 二 阶 低 通 滤 波 器)(

12、 jT ufoA O 二 阶一 阶 1RR ouiu FRCCR 有 源 高 通 滤 波 器只 需 将 低 通 滤 波 器 的 R、 C 互 换 iu 1R R ou_+ +C FR 0111)( )()( jRRjU jUjT Fio 20 )(1)( oufAjT 10 1 RRA Fuf 0)( arctg 1.模 拟 低 通 滤 波 器 的 设 计 指 标 及 逼 近 方 法(1) 设 计 指 标 有 ： p、 s、 p、 s其 中 ： p和 s分 别 称 为 通 带 截 止 频 率 和 阻 带 截 止 频 率 ; p是 通 带 (0p)内 允 许 的 最 大 衰 减 系 数 ， s是

13、 阻 带 （ s） 内 允 许 的 最 小 衰 减 系 数 ，阻 带 p S1 |Ha(j)|0.707 p s通 带0 C过 渡 带 图 中 c称 为 3dB截 止 频 率 ， 因 ( ) 1/ 2 20lg ( ) 3a c a cH j H j dB ( ) 1/ 2, 20lg ( ) 3a c a cH j H j dB 如 果 =0处 幅 度 已 归 一 化 到 1， 即 :|Ha(j0)|=1技 术 指 标 高 指 ： p越 小 、 s越 大 、 过 渡 带 越 小 越 好 。阻 带 p S1 |Ha(j)|0.707 p s通 带0 C过 渡 带p a p a ps a s a

14、 sH j H jH j H j2210lg ( ) 20lg ( )10lg ( ) 20lg ( ) 技 术 指 标 可 归 纳 为 ：p ps s (2) 用 模 拟 滤 波 器 逼 近 方 法 设 计 滤 波 器 步 骤 ： 给 出 模 拟 滤 波 器 的 技 术 指 标 ； 设 计 传 输 函 数 Ha(s)： 使 其 幅 度 平 方 函 数 满 足 给 定 指 标 ap和as， |Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)|S=j 确 定 Ha(s)： 系 统 Ha(s)应 是 稳 定 的 系 统 ， 因 此 ， 极 点 应 位 于 特 点 ：(1)单

15、调 变 化 。 当 =0时 ， |H(j)|=1；(2)3dB点 必 通 过 。 当 =c时 ， |H(j)|=(3)N越 大 ， 曲 线 越 陡 峭 。 当 N= ,就 是 理 想 滤 波 器 。2、 Butterworth 低 通 滤 波 器 的 设 计 方 法巴 特 沃 斯 低 通 滤 波 器 的 模 方 函 数 |Ha(j)|2用 下 式 表 示 ：2 21( ) 1 ( )a NcH j ( ) 1/ 2, 20lg ( ) 3a c a cj H j dB N: 滤 波 器阶 数 。c是 3dB截 止 频 率 。Butterworth低 通 滤 波 器 的 幅 度 函 数 只 由

16、阶 数 N控 制 巴 特 沃 斯 滤 波 器 的 设 计 步 骤(1) 根 据 给 出 的 技 术 指 标 P、 S、 p、 S， 求 N， cp a p p Nc c a Ns a s cNs cH j N H jH j 2 2 2 22 2110lg ( ) 10lg1 ( ) 1, ( )1 1 ( )10lg ( ) 10lg1 ( ) N可 能 有 小 数 部 分 ， 取 大 于 等 于 N的 最 小 整 数 。(2) 由 模 方 函 数 |Ha(j)|2 Ha(s)k=0,1, ,(2N-1)a a a a a a a s j a aa a a NN N cc ckjN Nk c

17、cH j H j H j H j H j H s H s H s H sH j H j H j sj jjs j e22 22 21 1 2 1( )2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ( )1 ( ) 1 ( )( 1) ( ) k=0,1, ,(2N-1)2N个 极 点 等 间 隔 分 布 在 半 径 为 c的 圆上 ， 间 隔 是 /Nrad， 其 中 ， 一 半 是Ha(s)的 极 点 ， 另 一 半 是 Ha(-s)的 极 点 。则 左 半 平 面 的 N个 极 点 属 于 Ha(s) (稳定 系 统

18、)， 右 半 平 面 N个 极 点 属 于 H a(-s).10( ) ( )Nca N kkH s s s kjN Na a k c cNcH s H s s j esj 1 1 2 1( )2 2 221( ) ( ) ( 1) ( )1 ( ) N=3 设 N=3， 极 点 有 6个 ， 它 们 分 别 为2301 232 1 334 135 jc c jc jcc jcs ess es ess e 取 s平 面 左 半 平 面 的 极 点 s0,s1,s2组 成 Ha(s)： )()()( 32323 jcjcc ca esesssH 极 点 在 s平 面 呈 象 限 对 称 ， 分

19、布 在 Buttterworth圆 上 ， 共 2N点 极 点 间 的 角 度 间 隔 为 / N rad 极 点 不 落 在 虚 轴 上 N为 奇 数 ， 实 轴 上 有 极 点 ， N为 偶 数 ， 实 轴 上 无 极 点一 半 极 点 在 左 半 平 面 一 半 极 点 在右 半 平 面 kjN Nk c cs j e1 1 2 1( )2 2 2( 1) ( ) Nca N N kkk k c c a N kk kkc cH s sss s H p p pss p p1 10 0 101( ) ( ) ( ) 1( ) ( ), =/c， 称 为 归 一 化 频 率 ，可 知 ： 只

20、要 知 道 阶 数 N， 就 可 得 到 极 点 pk。查 表 P120 表 6.1可 直 接 得 到 极 点 pk和 归 一 化 系 统 函 数 Ha(p) a aN N NNkkH p H p b b p b p pp p1 10 1 10 1 1( ) ( )( ) 图 表 法 ： 为 使 滤 波 器 能 统 一 设 计 ， 将 所 有 的 频 率 对 3dB截 止 频 率 c归 一 化 ， 归 一 化 后 的 Ha(s)表 示 为 ： ( ) ( ) csa a pH s H p 将 Ha(p)去 归 一 化 ， 得 到 系 统 函 数 Ha(s) 表 6. 1 巴 特 沃 斯 归 一

21、 化 低 通 滤 波 器 参 数 表 示 两 极 点 P1、 PN-2 阶 数 N的 确 定 阶 数 N的 大 小 主 要 影 响 幅 度 特 性 下 降 的 速 度 ， 它 应 该由 技 术 指 标 确 定 。 将 =p代 入 幅 度 平 方 函 数 中 : 220lg ( ) 10lg ( )p a p p a pH j H j Ncppa jH 22 1 1)( 102 101 pNcp 将 =s代 入 幅 度 平 方 函 数 中 : 220lg ( ) 10lg ( )s a p s a pH j H j Ncssa jH 22 1 1)( 102 101 sNcs 102 101 p

22、Ncp 102 101 sNcs 110 110 1010 spNsp ,pssp 令 ： 110 1101010 spspk spspkN lglg用 上 式 求 出 的 N可 能 有 小 数 部 分 ， 应 取 大 于 等 于 N的 最 小 整 数 。 关 于 3dB截 止 频 率 c， 如 果 技 术 指 标 中 没 有 给 出 ，可 以 按 照 下 面 两 式 求 出 ：102 101 pNcp 102 101 sNcs Npc p 2110 )110( Nsc s 2110 )110( 通 常 是 用 一 个 算 出 c， 然 后 用 另 一 个 (反 过 来 )来 检验 。 总 结

23、 以 上 ， 低 通 巴 特 沃 斯 滤 波 器 的 设 计 步 骤 如 下 ：(1) 根 据 技 术 指 标 p,p,s, s， 求 出 滤 波 器 的 阶 数 N。(2) 求 出 归 一 化 极 点 pk， 得 到 归 一 化 传 输 函 数 Ha(p)。 (3) 将 H a(p)去 归 一 化 。 将 p=s/c代 入 Ha(p)， 得 到 实 际 的 滤 波 器 传 输 函 数 Ha(s)。 spsplgkN lg cspaa pHsH )()( ssp p , 110 1101010 spspk 解 ： (1) 设 计 模 拟 滤 波 器 的 指 标 为 p=2fp=104(rad/

24、s)， ap=2dB s=2fs=2.4 104(rad/s)， as=30dB (2) 确 定 阶 数 N和 c0.10.1 spsp10 1 0.0242 lgk lg0.024210 1 4.25lg lg2.42 2.42 p sasp assp pk Nff 【 例 】 通 带 截 止 频 率 fp=5kHz， 最 大 衰 减 p=2dB， 阻 带 截 止 频 率fs=12kHz， 最 小 衰 减 s=30dB， 设 计 巴 特 沃 斯 低 通 滤 波 器 。 5 4 3 24 3 2 1 01( )aH p p b p b p b p b p b (3) 由 N， 查 表 确 定

25、Ha(p)b0=1.0000、 b1=3.2361、 b2=5.2361、 b3=5.2361、b4=3.2361N=5 (4) 将 p=s/c 代 入 Ha(p)去 归 一 化 ， 得 Ha(s)55 4 2 3 3 2 4 54 3 2 1 0( ) ca c c c c cH s s b s b s b s b s b (3) 为 将 Ha(p)去 归 一 化 ， 先 求 3dB截 止 频 率 c。 )/(2755.52)110( 2110 sradkNpc p )/(525.102)110( 2110 sradkNcs s 检 验 ： 可 以 看 出 ， 满 足 s=30dB 的 真

26、实 fs在 10.525kHz处 ， 与12kHz比 ， 还 有 富 裕 量 。 6.3.4 Chebyshev低 通 滤 波 器 的 设 计 方 法提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 切 比 雪 夫 多 项 式x 21 1-xcosh(x)=(e + e ) / 2arccosh(x)=ln(x+ x 1)co

27、s( cos ) 1( ) cos ( cos ) 1N N x xC x h N h x x 等 波 纹 幅 度 特 性单 调 增 加当N=0时，C0(x)=1当N=1时，C1(x)=x当N=2时，C 2(x)=2x2-1当N=3时，C3(x)=4x3-3x当N=4时，C3(x)=8x4-8x2+ 1 切比雪夫多项式的递推公式为C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) 切 比 雪 夫 型 与 巴 特 沃 斯 低 通 的 幅 度 函 数 平 方 曲 线2 2 21( ) 1 ( )a N pH j C 2( 0) 1/ 1aH j ( 0) 1aH j 2( ) 1/ 1p aH

28、 j 通 带 内 ： 在 1和 间 等 波 纹 起 伏p 21/ 1 p N为 奇 数 N为 偶 数通 带 外 ： 迅 速 单 调 下 降 趋 向 02 21( ) 1a N pH j C Chebyshev滤 波 器 的 三 个 参 量 ： p ：给定; ; N2 22 102 2 20.12 20lg ( ) 10lg ( ) 10lg(1 )1 1( ) 101 (1) 110 1 p pp a p a p pa p NH j H jH j C 2 2 20.12 2 0.12 2 0.10.12 0.1 0.1 0.0.1 110lg ( ) 10lg1 ( )( ) 10 1 10

29、1( )=cosh ( arccosh ) 10 110 1 10 1arccosh10 1 10arccosh arccosh 10 1s sp p ssps a s sN Pas aN s sP N P P aasPa H j CC C NN N 已 知 1 1arccosh psP 滤 波 器 阶 数 N 的 确 定阻 带 衰 减 越 大 所 需 阶 数 越 高 x -xx -x 2sinh(x)=(e - e ) / 2cosh(x)=(e + e ) / 2arccosh(x)=ln(x+ x 1) 滤 波 器 的 设 计 步 骤 : 1 1p sp sp p 归一化：p p s s

30、a a 0.10.1 0.1 210 1arccos 10 1 10 1arccos sp pas PhN h 2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：2 2 2 2 2 2 22 2 21 1 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) 1 ( )a N p N p N p s ja a a a a a a s ja a N pH j C C j j C s jH j H j H j H j H j H s H sH s H s C s j 2 21 1 (2 1) 1 1 (2 1)(cosh sin ( ) )sin

31、(cosh sin ( ) )cos 2 21( ) ( ) 1 ( )ka a N p k kp ar h j ar hN NH s H s Ns j NC /1 1( ) ( ) ( )( ) pa a aN p skkH p H s H pp p 计 算 传 函 ： 极 点 法 计 算 传 函 ： 查 表 法N b 0 b1 b2 b3 b4 b51 1.96522 1.1025 1.09973 0.4913 1.2384 0.98834 0.2756 0.7426 1.4539 0.93685 0.1228 0.5805 0.9744 1.6888 0.93686 0.0689 0.3

32、071 0.9393 1.2021 1.9308 0.92832. 通 带 波 纹 1dB 0.508847 2 3000 / 1 2 120000 / 30p p s srad s a dB rad s a dB 例 ： 设 计 切 比 雪 夫 低 通 滤 波 器 ： 0.10.13 2 3 2 2 1 033 2 2 310 1 31.607arccos arccos10 1 0.50885 2.3369 3arccos arccos 41 1( ) 0.9883 1.2384 0.4913( ) 0.9883 1.2384 0.4913spas Pa pa p p ph hN Nh hH

33、 p p b p b p b p p pH s s s s 6.4 用 模 拟 滤 波 器 设 计 IIR数 字 滤 波 器利 用 模 拟 滤 波 器 设 计 IIR数 字 滤 波 器 设 计 过 程 ：设 计 技 术 成 熟有 相 当 简 便 的公 式 和 图 表 模 拟 滤 波 器)(sHaAF 由 此 设 计 数 字 滤 波 器)(zHDF 要 求 DF特 性模 仿 AF的 特 性实 际 上 是 个 映 射 问 题Mapping 离 散 时 间 域 (Z平 面 )转 换 关 系连 续 时 间 域 (S平 面 ) Re(z)jIm(z)0 z平 面1z1z2若 转 换 后 的 H(z)稳

34、定 且 满 足 技 术 要 求 ， 则 设 计 过 程 要 满 足 ：(1) 因 果 稳 定 的 模 拟 滤 波 器 转 换 成 数 字 滤 波 器 ， 仍 是 因 果 稳 定 的 。 (2) 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应 模 仿 模 拟 滤 波 器 的 频 响 ， s平 面 的 虚 轴映 射 到 z平 面 的 单 位 圆 上 。 j0 S平 面S 1xS 2x满 足 上 述 转 换 关 系 的 映 射 方 法 有 ： 脉 冲 响 应 不 变 法 和 双 线 性 变 换 法 一 、 脉 冲 响 应 不 变 法 的 基 本 思 想 使 h(n)模 仿 ha(t)， 让 h(n)正 好

35、等 于 ha(t)的 采 样 值二 、 变 换 方 法设 模 拟 滤 波 器 Ha(s)只 有 单 阶 极 点 ， 且 分 母 多 项 式 的 阶 次 高 于 分子 多 项 式 的 阶 次 ， 将 Ha(s)用 部 分 分 式 表 示 ： Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时 域 采 样 h(n)ZTh(n)H(z)所 以 说 脉 冲 响 应 不 变 法 是 一 种 时 域 上 的 变 换 方 法 1( ) N ia i iAH s s s si为 Ha(s)的 单 阶 极 点1( ) ( )iN s nta iih t A e u t1( ) )iN s n ta iih t A e u

36、 LT-1Ha(s) U(t)为 单 位 阶 跃 函 数 对 ha(t)进 行 等 间 隔 采 样 ， 采 样 间 隔 为 T， 得 到 ：对 上 式 进 行 Z变 换 ， 得 到 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z)：结 论 :(1) S平 面 的 单 极 点 s=s i映 射 到 Z平 面 的 极 点 z=esiT。 (2) Ha(s)部 分 分 式 的 系 数 与 H(z)部 分 分 式 的 系 数 相 同 。 （ 3） 左 半 平 面 映 射 到 单 位 圆 内 ， 模 拟 滤 波 器 稳 定 则 数 字 滤 波 器 稳 定 1( ) ( ) ( )iN s nTa iih

37、 n h nT Ae u nT 11( ) 1 iN is Ti AH z e z ( )aH s( )ah t ( )h n ( )H z1( ) N ka k kAH s s s 1( ) ( )kN s ta kkh t A e u t 1( ) ( ) ( )kN s nTa kkh n h nT A e u n 0 111( ) ( ) 1 kk N s nTn nkn n kN ks TkH z h n z A e zAe z 1( ) N ka k kAH s s s 11 ( ) 1 kN ks Tk AH z e z 三 、 S平 面 和 Z平 面 之 间 的 映 射 关 系

38、1、 采 样 信 号 的 拉 氏 变 换 与 相 应 的 序 列 的 Z变 换 之 间 的 映 射 关 系 ：(1) 设 ha(t)的 采 样 信 号 表 示 为 :(2) 对 进 行 拉 氏 变 换 ， 得 到 ( ) ( ) ( )a anh t h t t nT ( )ah t ( ) ( ) ( )( ) sta a stan snTH s h t e dth t nT e dtnT e n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n snTn snTan sta stn aa enh e

39、nTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n nznhzH )()( )()( sHzH aez sT )()( szH aez sT sTz e 2、 模 拟 信 号 的 拉 氏 变 换 与 相 应 的 序 列 的 Z变 换 之 间 的 映 射 关 系 ：模 拟 信 号

40、ha(t)的 傅 里 叶 变 换 Ha(j)和 其 采 样 信 号 的 傅 里 叶变 换 之 间 的 关 系 满 足 ：结 论 ： 采 样 信 号 的 拉 氏 变 换 是 原 模 拟 信 号 的 拉 氏 变 换 在 S平 面 沿虚 轴 以 s=2/T为 周 期 进 行 的 周 期 延 拓 ； ( )ah t ( )ah t 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) sT a a ska a sk a sz e k H j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) sT a a ska a sk a sz e k H j

41、 H j jkTH s H s jkTH z H s jkT ( )aH j 将 s=j代 入 上 式 ， 得 ： 说 明 ： 采 用 脉 冲 响 应 不 变 法 将 AF变 换 为 数 字 DF时 Ha(s)沿 虚 轴 以 s=2/T为 周 期 进 行 周 期 延 拓 ; 再 经 过 Z=eST的 映 射 关 系 映 射 到 Z平 面 上 ， 从 而 得 到 H(z)上 面 的 这 种 转 换 是 否 满 足 对 转 换 关 系 提 出 的 2点 要 求 :设 ： S=j， Z=rejw 脉 冲 响 应 不 变 法 标 准 映 射 关 系 ： Z=eST rejw=e(j)T=eTe jT得

42、 到 ： r= eT； w=T 频 率 域 的 坐 标 变 换 是 线 性 的 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTa a ska a sk a sz e kH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 因 果 稳 定模 仿 频 响由 采 样 信 号 的 拉 氏 变 换 与 相 应 的 序 列 的 Z变 换 之 间 的 映 射 关 系 ： 0时 ， S平 面 的 左 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 单 位 圆 内 (r=|z|0时 ， S平 面 的 右 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 单 位 圆 外 (r=|z|1)以 上 分 析 结 论 ：

43、若 Ha(s)是 因 果 稳 定 的 ， 则 转 换 后 的 H(z)也 是 因果 稳 定 的 。 r= eT因 果 稳 定 的 分 析 j0-/T3/T-3/T/TS平 面 1 Re(z)jIm(z)0Z平 面 当 不 变 ， 模 拟 角 频 率 变 化 2/T整 数 倍 ， 映 射 值 不 变 ， S平面 上 每 一 条 宽 度 为 2/T的 水 平 横 带 都 重 迭 地 映 射 到 Z平 面 的 整个 全 平 面 上 每 条 水 平 横 带 的 左 半 部 分 映 射 到 Z平 面 单 位 圆 内 ； 水 平 横 带 右 半 部 分 映 射 到 Z平 面 的 单 位 圆 外 j虚 轴

44、上 每 2/T段 都 对 应 着 单 位 圆 一 周j0-/T3/T-3/T/T S平 面 1 Re(z)jIm(z)0 Z平 面 2( ) ,j M TsT T j T T Te e e e e M z=esT是 周 期 函 数 由 上 面 分 析 结 果 ： S平 面 与 Z平 面 的 映 射 关 系 满 足 转 换 条 件 ； 但 存 在 着 多 值 (s)单 值 (z)映 射 关 系(3) DF的 频 响 是 AF频 响 的 周 期 延 拓 )( jeH 0 T0T )( jHa 频 率 混 叠sTez (1)虽 然 )(sHa )(zH直 接 映 射但 并 非 )( sH a而 是

45、)(zH映 射注 意 ：只 有 AF频 响 限 于 /T之 内 ， DF频 响 才 不 失 真 地 复 现 AF频 响 ， 否 则 ，设 计 出 来 的 DF在 w= 附 近 产 生 频 率 混 叠 。(2) 采 样 信 号 的 拉 氏 变 换 是 其 模 拟 信 号 的 拉氏 变 换 以 2/T为 周 期 ， 沿 虚 轴 进 行 周 期 化 。 脉 冲 响 应 不 变 法 的 应 用 受 限只 适 合 设 计 带 限 滤 波 器 ， 如 ： 低 通 、 带 通 滤 波 器 的 设 计 ， 不 适合 高 通 、 带 阻 滤 波 器 的 设 计 。假 设 没 有 频 率 混 叠 现 象 ， 即

46、满足 ： ( )aH j ( ) 0, /aH j T 按 照 上 式 ， 并 将 关 系 式 s=j代 入 ， =T， 代 入 得 到 ： 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) sT a a ska a sk a sz e k H j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 1 ( ) ( ),j aH e H jT T 数 字 滤 波 器 的 频 响 可 以 很 好模 仿 模 拟 滤 波 器 的 频 响 四 、 脉 冲 响 应 不 变 法 的 优 缺 点优 点 ： 1、 频 率 变 换 是 线 性 关 系 ; w=T ， 模 数 字 滤 波 器 可 以 很

47、好 重现 模 拟 滤 波 器 的 频 响 特 性 ； 2、 数 字 滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应 完 全 模 仿 模 拟 滤 波 器 的 单 位 冲激 响 应 ， 时 域 特 性 逼 近 好 ；缺 点 ： 1. 有 频 谱 混 迭 失 真 现 象 ； (S平 面 到 Z平 面 有 多 值 映 射 关 系 ) 2. 由 于 频 谱 混 迭 ， 使 应 用 受 到 限 制 。 (T失 真 ， 但 运 算 量 ,实 现 困 难 ) 冲 激 响 应 不 变 法 将 模 拟 滤 波 器 转 换 为 数 字 滤 波 器 ， 采 样 间 隔 为 0.1s。132 3)( 2 ss ssHa 013

48、2 2 ss S平 面 极 点 5.01 s 12 s115.05.0)( sssH a 115.0 1 11 5.0)( zezezH ss TT 21 17214.17121.32 9928.23 zz zZ平 面 极 点 sTez 5.01 sTez 2 例：已知模拟低通滤波器的系统函数为 ,用脉冲响应不变法将 转换成数字滤波器的系统函数 。2 3( ) 4 3aH s s s ( )aH s ( )H z3 1 1( ) 2 1 3aH s s s ( )aH s解 ： 首 先 将 展 为 部 分 分 式 的 形 式1 1s 2 3s 极 点 为 ： 1 31 1 3 1 3 2 43

49、3 1 1 2( ) 2 1 1 1 T TT T T T Tz e eH z z e z e z e e z e 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 为 ： 11 1 20.47714( ) 1 0.41767 0.018316zH z z z 设 T=1s， 得 ： 1 2 1 20.24603( ) 1 1.64566 0.67032zH z z z 设 T=0.1s， 得 ： 1( )jH e 2( )jH e ( )aH s将 三 者 的 幅 度 特 性 用 它 们 的 最 大 值 归 一 化 后 的幅 度 特 性 如 图 所 示 。 AF的 幅 度 特 性 DF的 幅 度 特

50、性 【 例 】 已 知 模 拟 滤 波 器 的 传 输 函 数 Ha(s)为用 脉 冲 响 应 不 变 法 将 Ha(s)转 换 成 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z)解 ： 首 先 将 Ha(s)写 成 部 分 分 式 ：极 点 为 ：根 据 ： ， H(z)的 极 点 为 ：2 0.5012( ) 0.6449 0.7079aH s s s 0.3224 0.3224( ) 0.3224 0.7772 0.3224 0.7772 a j jH s s j s j 1 2(0.3224 0.772), (0.3224 0.7772)s j s j sTz e 1 21 2,s

51、T s Tz e z e 按 照 ： ， 经 过 整 理 ， 得 到当 ： T=1s时 用 H1(z)表 示 ， T=0.1s时 用 H2(z)表 示 ， 则 ：将 H a(j) 、 H1(ejw)、 H2(ejw)的 幅 度 特 性 用 它 们 最 大 值 归 一化 后 ， 得 到 它 们 的 幅 度 特 性 曲 线 ， 如 下 图 所 示 ： 11( ) 1 iN is Ti AH z e z 1 1 1 212 1 20.3276( ) 1 1.0328 0.2470.0485( ) 1 1.9307 0.9375zH z z zzH z z z 11 1 212 1 20.3276(

52、) 1 1.0328 0.2470.0485( ) 1 1.9307 0.9375zH z z zzH z z z 26449.01 1T3224.0 ze)T7772.0cos(z1 z)T7772.0sin(3224.0.e2)z(H - -+2-= 很 轻 的 混叠 现 象严 重 的 混叠 现 象 例 ： 用 脉 冲 响 应 不 变 法 设 计 巴 特 沃 思 数 字 低 通 滤 波 器 ， 要 求 在 频 率小 于 的 通 带 内 ， 幅 度 特 性 下 降 小 于 等 于 1dB； 在 频 率 到 之 间 的 阻 带 衰 减 大 于 等 于 15dB。0.2 rad 0.3 radr

53、ad 0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s srad a rad a 解 ： （ 1） 待 设 计 的 数 字 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 为 ：0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s sr d a rad a 0.2 , 1dB, 0.3 , 15dB p p s srad s a rad s a （ 2） 模 拟 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 为 （ 设 T=1s） ：0.3 1.50.2ssp p 0.1 1.50.1 0.110 1 10 1 10.87510 110 1spasp ak lg lg10.875 5.886lg lg1

54、.5sp spkN 取 N=6 （ 3） 设 计 模 拟 butterworth低 通 滤 波 器 查 表 得 到 归 一 化 系 统 函 数 为 2 3 4 5 61( ) 1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637aH p p p p p p p ( ) ( ) csa a pH s H p 66 5 2 4 3 3 4 2 5 62 2 23.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.86370.12090.3640 0.4945 0.9945 0.4945 1.3585 0.4945cc c c c c cs s s s s ss s s s

55、 s s 1 1 11 2 1 2 1 20.2871 0.4466 2.1428 1.1455 1.8557 0.6303( ) 1 1.2971 0.6949 1 1.0691 0.3699 1 0.9972 0.2570z z zH z z z z z z z 求 3dB截 止 频 率 1 10.10.1 2 2 60.2 0.7032 /10 110 1p pc a N rad s 去 归 一 化（ 4） 求 相 应 的 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 （ 5） 检 查 设 计 的 数 字 滤 波 器 是 否 满 足 给 定 的 指 标 要 求 脉 冲 响 应 不 变 法 的

56、主 要 缺 点 :产 生 频 率 谱 混 迭 现 象 。 原 因 ： 模 拟 低 通 的 最 高 频 率 超 过 了 折 叠 频 率 /T， 数 字 化 后在 w= 形 成 频 谱 混 叠 现 象 。 解 决 方 法 ： 采 用 非 线 性 压 缩 方 法 ， 将 整 个 频 率 轴 上 的 频 率 范围 压 缩 到 /T 之 间 ， 而 后 再 用 Z=eST 转 换 到 Z 平 面 上 。 6.4.4 用 双 线 性 变 换 法 设 计 IIR数 字 低 通 滤 波 器一 双 线 性 变 换 法 消 除 频 谱 混 迭 的 原 理1、 非 线 性 压 缩 ： (S平 面 S1平 面 映 射

57、 )双 线 性 变 换 法 用 正 切 变 换 实 现 非 线 性 频 率 压 缩 ，设 Ha(s)， s=j， 经 过 非 线 性 频 率 压 缩 后 用 Ha(s1)， s1=j1 表 示 。 则 ：上 式 表 明 ： 当 1从 /T经 过 0变 化 到 -/T时 ， 则由 经 过 0变 化 到 - ， 这 样 实 现 了 s平 面 上 整 个 虚轴 完 全 压 缩 到 s1平 面 上 虚 轴 的 /T之 间 的 转 换 。12 1tan( )2 TT 0 /T-/T 1T： 时 域 采 样 间 隔 ； 由 上 面 可 得 ： (-， +)， 1(-/T， +/T) ； )2(11)2ta

58、n(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCeejjTjC TS TSTjTj TjTj 12 1tan( )2 TT )2(11)2tan(S 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj )2(11)tj 12/2/ 1111 TSthCeeeeCjjj TS TSjTj jTj 12 1tan( )2 TT )2(11)2t (jS 12/2/ 2/2/1 1111

59、11 TSthCeeCee eeCjjT TS TSTjTj TjTj )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj 12 1tan )2 TT )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj 12 1tan( )2 TT )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TStheeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj 2、 S1平 面 到 Z平 面 的 映 射将 S1平 面

60、映 射 到 Z平 面 上 ， 用 标 准 映 射 Z=eS1T。 代 入 上 式 SC SCzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即 SC SCzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即12 1tan( )2 TT SC SzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即12 1tan( )2 TT SC SCzzzeeCS TSezTS TS ,11 11111 即 112 1122 zs T zsTz sT 推 出双 曲 正 切 ： th(x)=sh(x)/ch(x) 11 20 1 2 20 1 2 1 20 1 21 221

61、 1 21( )( ) ( ) 1 kka kk kka kzs kT zA As A s A sH s B B s B s B sa a z a z a zH z H s b z b z b z 3、 双 线 性 不 变 法 的 映 射 关 系映 射 过 程 ： 从 s平 面 映 射 到 s1平 面 ， 再 从 s1平 面 映 射 到 z平 面 。 S平 面 与 Z平 面 是 一 一 对 应 的 单 值 映 射 关 系 ， 消 除 了 脉 冲 响 应不 变 法 的 多 值 映 射 关 系 ， 消 除 了 频 谱 混 迭 现 象 。 只 要 模 拟 滤 波 器 Ha(s)因 果 稳 定 ， 其

62、 极 点 应 位 于 S左 半 平 面 ，转 换 成 的 H(z)也 是 因 果 稳 定 的 ， 位 于 单 位 圆 内 。0 0 1j1j /T-/T2/T tan(1T) Z=es1TS平 面 S1平 面 Re(z)jIm(z)0 z平 面 二 、 模 拟 频 率 和 数 字 频 率 之 间 的 关 系将 ： Z=ej ， S=j， 代 入 SZ平 面 映 射 关 系 式 ： 1121122 zs T zsTz sT - 0 W )2(2 wtgT说 明 ： s平 面 上 与 z平 面 的 成 非 线 性 正 切 关 系 ， 当增 加 时 ， 增 加 得 很 快 ， 当 趋 于 时 ， 趋

63、 于 ，由 于 这 种 非 线 性 关 系 ， 消 除 了 频 率 混 叠 现 象 。代 价 ： 影 响 数 字 滤 波 器 频 响 逼 真 模 拟 滤 波 器 的 频 响 的逼 真 度 ， 存 在 幅 度 失 真 和 相 位 失 真 。2112 1tan2 jjej T eT )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTjS jwjwjwjw )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTjS jwjwjwjw )2/cos(2 )2/sin(22112 2/ 2/ wwjeeTeeTjS jwjwjwjw )2/cos(2 )2/sin

64、(22112 2/2/ wwjeeTeeTjS jjjwjw )2(2)2( wtgTwtgTj 211 1tan2 jjej T e 2arctan2 sT 2tan2 sT0 0 频 率 关 系 非 线 性 三 、 双 线 性 变 换 法 特 点1、 优 点 消 除 了 频 谱 混 迭 失 真 ； 频 率 映 射 表 明 S平 面 与 Z平 面 是 一 一 对 应 的 单 值 映 射 关 系 ， 避 免 了 脉冲 响 应 不 变 法 的 频 谱 “ 混 迭 ” 现 象 。2.缺 点 以 频 率 变 换 的 非 线 性 为 代 价 ， 模 拟 域 和 数 字 域 进 行 非 线 性映 射 ，

65、 其 瞬 时 响 应 不 如 脉 冲 响 应 不 变 法 好 。2112 1tan2 jjej T eT 四 、 双 线 性 变 换 法 的 幅 度 失 真 和 相 位 失 真 情 况 如 果 的 刻 度 是 均 匀 的 ， 通 过 非 线 性 正 切 关 系 ， 映 射 到 z平 面 的刻 度 不 均 匀 ， 随 增 加 越 来 越 密 ， 即 边 界 频 率 发 生 畸 变 。 如 果 模 拟 滤 波 器 具 有 片 段 常 数 特 性 ， 则 转 换 到 z平 面 仍 具 有 片段 常 数 特 性 。 适 于 片 段 常 系 数 滤 波 器 的 设 计 。幅 度 特 性 失 真 相 位

66、特 性 失 真 2 2Tarctan 例：已知模拟滤波器的系统函数 ，试用双线性变换法将 转换成数字滤波器的系统函数 。1( ) 1aH s s ( )aH s ( )H z 11 121 1 11 1( ) ( ) 2 1 1za s T z T zH z H s z T z 111( ) 3 zH z z 设 T=1s， 则 ：解 ： 数 字 滤 波 器 的 幅 频 特 性 模 拟 滤 波 器 的 幅 频 特 性 双 线 性 变 换 法 设 计 的 数 字 滤 波 器 的 频 响 限 制 在 0和 之 间 ， 不 存 在 频 率 响 应的 混 叠 现 象 。 例 ： 已 知 Ha(s)=a/(a+s)， a=1/(RC)， 求 H(z)。解 ： 1、 用 脉 冲 响 应 不 变 法 时 ， 先 确 定 极 点 ： s= a， 则 2. 用 双 线 性 不 变 法 时 11)( ze azH aT T为 采 样 间 隔 1111112 )2()2( )1(112)()( 11 zaTaT zaTzzTa aSHazH zzTS 11112 )2()2 )1(112)()( 11 za