信号系统第二章连续时间系统的时域分析

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1、2021-5-2 1 第2章 连续时间系统的时域分析v2.1 引言v2.2 微分方程的建立与求解v2.3 起始点的跳变从0到0状态的改变v2.4 零输入响应和零状态响应式v2.5 冲激响应与阶跃响应v2.6 卷积v2.7 卷积的性质 2021-5-2 2 本章学习重点通过本章学习，应达到以下要求：（1）掌握连续时间系统微分方程的建立与求解（2）掌握零输入响应与零状态响应、冲激响应与阶跃响应的求解。（3） 掌握卷积及卷积的性质 2021-5-2 3 2.1 引言时域分析的两种方法方法： 1）微分方程的求解 2） 已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积，求出系统输出响应。返 回 首

2、 页 2021-5-2 4 2.2 微分方程式的建立与求解一：微分方程式的建立 方法：对于给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特性及系统结构的约束特性来建立对应的微分方程。 )(tv)(ti s例2-1 按如图所示RLC并联电路，求并联电路的端电压 与激励源 间的关系。)(tis RRi L C )(tvLi Ci 2021-5-2 5 解： 根据元件关系列方程： 据基尔霍夫电流定律：)()( )()( )()( tvdtdCti dvLti tvRti C tLR 11 )()()()( titititi sCLR 整理后得：)()(1)(1)(22 tidtdtvLtvdtdRtvdtd

3、C s 2021-5-2 6 对于复杂系统，设激励信号为 ，系统响应为 ，则可以用一高阶的微分方程表示： )(te)(tr )(d(t)d d )(d )(d )(d d )(dd )(d teEteEt teE trCttrCt trCt trC mmmm nnnnnn 10 11110 由时域经典法，上式的完全解由两部分组成：齐次解与特解。 2021-5-2 7 其中，齐次解满足齐次方程： 而齐次解的形式是形如 函数的线性组合，将 带入上式并整理得到原方程的特征方程如下： 对应的n个 称为微分方程的特征根。011110 )(d )(d d )(dd )(d trCttrCt trCt tr

4、C nnnnnn tAe tAetr )( 0 1110 nnnn CCCC n , 21 齐次解 2021-5-2 8 根据特征根的不同，齐次解有如下形式：u 无重根时： u 有重根时，则对应k阶重根部分将有k项，形如： ni ti tntth i neA eAeAeAtr 1 21 21 )( tki iki tkkkk etA eAtAtAtA 1 11 12211 )( )( 2021-5-2 9 例2-3 求微分方程的齐次解。 解：系统的特征方程为： 因而齐次解为：)()()()()( tetrtrdtdtrdtdtrdtd 12167 2233 32 032 012167 21 2

5、 23 重根），( )()( tth eAeAtAtr 33221 )()( 2021-5-2 10 l 自由项：将激励代入原微分方程右端，化简后右端函数式称为“自由项”。l 特解：通过观察自由项来试选特解形式，然后代入方程后求得特解的待定系数。特解 2021-5-2 11 例2-4 给定微分方程式， 如果已知：（1） （2） 分别求两种情况下此方程的特解。解：（1）将 代入方程右端，得到 为使等式两端平衡，试选特解函数式 代入原方程得：)()()()()( tedttdetrdttdrdt trd 3222 2tte )( tete )( tt 22 3221 BtBtBtrp )( 2tt

6、e )( ttBBBtBBtB 2322343 23212121 )()( 2021-5-2 12 等式两端各对应幂次系数相等，有： 联解得到： 所以，特解为： 0322 234 13 321 211 BBB BBB 27109231321BBB 27109231 2 tttrp )( 2021-5-2 13 以上简单回顾了线性常系数微分方程的经典解法。 齐次解称为系统的自由响应。特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与系统的激励的形式有关。整个系统的完全响应即为自由响应与强迫响应之和。 ni pti treAtr i1 )()( 完全响应=自由响应+强迫响应 2021-5-2 14 2.3 起始

7、点的跳变从0到0状态的转换 在系统分析中，把响应区间确定为激励信号加入后系统状态变化区间。一般激励都是从t0时刻加入，因此系统的响应区间定义为 t0 2021-5-2 15 2.3 起始点的跳变从0到0状态的转换初始条件：t=0+时刻的一组状态，用来确定全响应表示式中常数Ai。起始状态：系统在激励信号加入之前瞬间的一组状态,t=0- )(,),(),()()( 0000 11 rdtdrdtdrr nnk )(,),(),()()( 0000 11 rdtdrdtdrr nnk 2021-5-2 16 例2-5 给定如图所示电路，t=0+时的变化。 解：1）列写微分方程： vte 4)( 21

8、 s 11R vte 2)( FC 1 )(tic )(tiL HL 41 32 2R)(ti )()()( )()()( )()()( 21 titvdtdCti RtitidtdLtv tetvtiR Lc LLc c 2021-5-2 17 整理后得：把参数代入得：)()()( )()()()()( teLCRtedtdLRRtedtdR tiLCRRLCtidtdLRCRtidtd 112221 1 22122 11 11 )()()( )()()( tete dtdtedtd titidtdtidtd 46 1072222 2021-5-2 18 2） 求系统的完全响应 齐次解： 所

9、以齐次解为：52 052 0107 212 ,)( )()( 05221 teAeAti tth 2021-5-2 19 特解：由于 ， 所以方程右端的自由项为44，因此另特解为： 代入方程： 所以系统的完全响应为： 0t vte 4)( Btip )( 4410 B 58 B 585221 tt eAeAti )( 2021-5-2 20 （3） 确定换路后的 和 换路前： 换路后： )( 0i )( 0idtd ARRii L 542)0()0( 21 0)0( idtd vv C 5632540 )( AveRi C 514564110010 1 )()()()( vte 4)( 21

10、s 11R vte 2)( FC 1 )(tic )(tiL HL 41 322R)(ti 2021-5-2 21 sA iiCedtdRvdtdedtdRidtd Lc/2 )0()0(1)0(1)0()0(1)0( 11 （4） 求 在 时的完全响应由 的表达式)(ti 0t)(ti 2121 520 580 AAidtd AAi )()( 1523421AA 2021-5-2 22 所以要求的完全响应为： 上面分析方法是在系统的电容电压和电感电流从0状态到0状态没有发生跳变的情况。 当系统已经用微分方程表示时，判断系统是否发生跳变的方法是看微分方程右端的自由项是否包含 及其导数。如果包含

11、 及其各阶导数，说明系统从0到0状态发生了跳变。)()( Aeeti tt 5815234 52 )(t)(t 2021-5-2 23 v 状态有跳变时求初始条件（冲激函数匹配法） 原理：根据 时刻微分方程左右两端的 及其各阶导数应该平衡相等。例如： 对于给定的0时刻的初始值，如何确定0时刻状态 。 分析：由于方程右端有 ，所以方程左端的最高次项必然含有 。 不妨假设 ， 则方程左端为：0t )(t)()()( ttrtrdtd 33 )( 0r)(3 t )(3 t )(3)()(3)( ttrttr 则)()()(*)( tttt 93333 2021-5-2 24 上面得到的方程的左端与

12、方程的右端并不相等，而是相差一个 项。因此重新假设 则原方程左端变为： 这里， 表示从0到0相对单位跳变函数。即 现在方程的左端又多了一个 项，因此还需重新假设 则左端为：)(t9 )(9)(3)( tttr )(tu 100 )()( uu )()()()()()( tuttuttt 27327993 )(tu27)()()()( tutttr 2793 )(3)(27)(3 00 tdttut 2021-5-2 25 可见，当 时，能够满足方程左右两端已经平衡。因此 是满足要求的。 所以： 在这个式子中，有一项跳变项 ，它是产生跳变的原因。 所以： 即初始条件与原始状态之间的关系只由 系数

13、决定。)()()()( tutttr 2793 )()()()( tutttr 2793 )(9)(3 )(27)(9)(3)( 00tut dttututtr )(tu 900 )()( rr )(tu这个积分为0 2021-5-2 26 数学方法描述冲激函数匹配法： 按照上面的原理分析，我们总结冲激函数匹配法如下： 已知方程右端含有 ，因此它一定属于 因此，设： 上面两式代入原来的微分方程：)(t )(trdtd)()()()( tuctbtatrdtd 注意只定义到 就够了。)(tu)()()( tubtatr )()()()()()( ttubtatuctbta 33 2021-5-2

14、 27 整理并比较方程两端系数得到：所以： 03 033bc aba 27 93cba所以：9 0909 09090303 09030903 00 )()( )()()()( )()()()( )()( uu uu uurr )()( 090 rr 2021-5-2 28 例题：2-6 用冲激函数匹配法求解例2-5中的完全响应。解（1）根据给定的 ，考虑到 在换路过程中的变化如下图所示：则求得 时刻由2v跳变到4v，即 ， 所以微分方程为： （2）已知 和 ，用冲激函数匹配法，求 和 。v2v4 )(te0 t)(te )(te0t)()()( )()()( tutt titidtdtidtd

15、 8122 1072 )()( tute 2 Ai 540 )( sAidtd /)( 00 )( 0i )( 0idtd 2021-5-2 29 由于得到的微分方程的最高阶次为 ，因而假设： 代入原来的微分方程得：)(t )()( )()()( )()()()( tuati tubtatidtd tuctbtatidtd 2 00 t )()()( )()( )()()()( tutt tuatub tatuctbta 8122 10 7 2021-5-2 30 求得：其余求解步骤与例2-5相同。 2 22cba 200 200 200 22 cidtdidtd bidtdidtd aii

16、)()( )()( )()(所以要求的0状态为：sAidtdidtd AAii /)()( )()()( 2020 5145142020 因而： 2021-5-2 31 2.4 零输入响应与零状态响应v1零输入响应v2零状态响应 2021-5-2 32 例题2-7：设有RC电路如图，电容两端有起始 电压 ，激励源为 ,求 时 系统响应电容两端电压 解：由电路图可以得到系统 的微分方程： 解该微分方程得：)(te R )( 0cv )(tvc)( 0cv )(te 0t)(tvc )()()( teRCtvRCtvdtd cc 11 deeRCvetv t tRCcRCtc )()()( )(

17、0 110 2021-5-2 33 分析上面的结果可以看到，完全响应由两部分组成，其中第一部分只和电容两端的电容的起始储能有关，与输入的激励无关，被称为零输入响应。第二部分与起始储能无关，只与输入激励有关，被称为零状态响应。 2021-5-2 34 1零输入响应v所谓零输入，是指系统无外加激励，即激励信号 ，这时仅由系统的初始储能产生的响应称为零输入响应。 并记为 。它是满足方程0)( te )(trzi 0 11110 )(d )(d d )(dd )(d trCttrCt trCt trC zinzinnzinnzin 及起始状态 的解，可见它是齐次解中的一部分，即：),()()( 110

18、0 nkr k nk tzikzi keAtr 1 )(特征根 2021-5-2 35 2零状态响应v所谓零状态，是指系统没有初始储能（系统的起始状态为零），仅由系统的外加激励所产生的响应。记为 。它满足方程： 及起始状态 ，其形式为)(trzs )(d(t)d d )(d )(d )(d d )(dd )(d teEteEt teE trCttrCt trCt trC mmmm zsnzsnnzsnnzsn 10 11110 ),()()( 11000 nkr k nk tzszs tBeAtr k1 )()( 特解 2021-5-2 36)( )()( 111 tBeAeA tBeAtr

19、nk tzsknk tziknk tk kkk 自由响应 强迫响应零输入响应零状态响应 2021-5-2 37vte 4)( 21 s 11R vte 2)( FC 1 )(tic )(tiL HL 41 322R)(ti例题2-8 对例2-5中的电路，把 电路看作起始状态，分别求 时 的零输入响应和零状态响应。 解：0t0t )(ti 11R )(tiFC 1vvc 560 )( HL 41 AiL 54)0( 232R原电路零输入电路 2021-5-2 38 )(tizs11R FC 1 HL 41 232R)(4)( tute 零状态电路)(4)(6)()(10)(7)( 2222 te

20、tedtdtedtdtitidtdtidtd 11R )(tizi )0( Li 232R AiL 54)0( )0( Ci vvC 56)0( 初始值等效电路 2021-5-2 39 1、零输入响应：是系统满足 和0状态的 和 的解。0)(10)(7)(22 titidtdtidtd zizizi )0( zii )0( ziidtd AvRi czi 56)0(1)0( )0()0()0()0()0( 1 LzizicC iiiRdtdCvdtdCi sAiiCRidtd Lzizi /2)0()0(1)0( 1 2021-5-2 40 由于前面已经求过，系统的特征根为-2和5，所以零输入

21、响应的形式为： 将 和 代入齐次微分方程得： 所以零输入响应为：tzitzizi eAeAti 5221)( )0( t)0( zii )0( ziidtd 15234 21ziziAA Aeeti ttzi )15234()( 52 2021-5-2 41 v 2 零状态响应：是满足微分方程 及起始状态 和 的解。 由例2-5求得： 其中， 和 由 和 确定。 1zsA )(4)(6)()(10)(7)( 2222 tetedtdtedtdtitidtdtidtd zszszs 0)0()0( zszs idtdi )(4)( tute )0(58)( 5221 teAeAti tzstzs

22、zs 2zsA )0( zsi )0( zsidtd 2021-5-2 42 把 代入方程右端的自由项得： 利用冲激函数匹配法，设： 代入原方程得：vte 4)( 16)(24)(4)(4)(6)(22 tttetedtdtedtd )00()()( )()()( )()()()(22 ttuati tuvtatidtd tuctbtatidtdzs zszs 2021-5-2 43 解得： 所以：)(16)(24)(4 )(10)()(7)()()( tutt tuatubtatuctbta 4724)0()0( 4)0()0( aidtdidtd aii zszs zszs 4)0(4)0

23、( 4)0(4)0( zszs zszs idtdidtd ii 代入零状态响应形式得： 1543821zszsAA 2021-5-2 44 所以，系统的零状态响应为： 系统的全响应为：)0()5815438()( 52 tAeeti ttzs )0(58)15234( )5815438()15234( )()()( 52 5252 tee eeee tititi tt ttttzszi零状态响应零输入响应自由响应强迫响应 2021-5-2 45 3瞬态响应与稳态响应v全响应还可以分解为瞬态响应与稳态响应之和。当 时，响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应； 时，保留下来的那部分分量称为稳态响

24、应。t t 0 )(tya tb原稳态 新稳态暂态 0 )(tya tb原稳态新稳态暂态 （a） （b） 图2-42 系统响应的过渡过程示意图返 回 本 节 2021-5-2 47 2.4 冲激响应与阶跃响应冲激响应阶跃响应返 回 首 页 2021-5-2 48 1.冲激响应v以单位冲激信号 作为激励，LTI连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为 。冲激响应示意图如图2-44所示。)(t )(th 0 t )(t(1) 0 t )(thLTI系统)(t )(th图2-44 冲激响应示意图 2021-5-2 50 v2阶跃响应 以单位阶跃信号 作为激励，LTI连续系统产生的

25、零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为 。阶跃激励与阶跃响应的关系表示为： )(tg)(tu )()( tuHtg 或 )()( tgtu 2021-5-2 51 冲激响应与阶跃响应之间的关系： 由于冲激信号与单位阶跃信号存在微分与积分关系，因而，对于响应也存在如下微分与积分关系： ( ) ( )( ) ( ) tdh t g tdtg t h d 2021-5-2 52 l冲激响应 满足微分方程：及起始状态 。 当nm时， 可以表示成： 注意：特解为0 当n=m时，则表达式还将有 及其各阶导数项。( )h t 10 1 1110 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (

26、 ) ( )n n n nn nm m m md d dC h t C h t C h t C h tdt dt dtE t E t E t E t )1,1,0(0)0()( nkh k )(th )()()( 1 tueAth nk tk k )(t 2021-5-2 53 例题2-9 对图所示电路，求电流 对激励 的冲激响应 。 解：vte 4)( 21 s 11R vte 2)( FC 1 )(tic )(tiL HL 41 32 2R)(ti )(ti )()( tte )(th )(4)(6)( )(10)(7)( 2222 tetedtdtedtd titidtdtidtd 20

27、21-5-2 54 系统冲激响应满足方程：它的齐次解形式：利用冲激函数匹配法求 和设：)(4)(6)( )(10)(7)(22 ttt ththdtdthdtd )0()( 5221 teAeAth tt )0()0( hdtdh )()()( )()()()( )()()()()(22 tubtath tuctbtathdtd tudtctbtathdtd 2021-5-2 55 解得：所以：代入 得： 1 11cba 110)0()0( 1)1(0)0()0( chdtdhdtd bhh)(th 31 34 21AA 2021-5-2 56 因为m=n，所以h(t)中有一项 ，而又因为 ，

28、所以要求的冲激响应为：)(t1a )(3134)()( 52 tueetth tt 2021-5-2 57 l 阶跃响应系统的阶跃响应满足方程 及起始状态 。可以看出方程右端的自由项 含有 及其各阶导数，同时还包含阶跃函数 ，因此阶跃响应包含齐次解和特解。 具体解法见p60 )(d(t)d d )(d )(d )(d d )(dd )(d 10 11110 tuEtuEt tuE tgCttgCt tgCt tgC mmmm nnnnnn )1,.,1,0(0)0( )( nkg k )(t)(tu 2021-5-2 58 2.6卷积v卷积的定义：对于任意两个信号 和 ，两者做卷积运算定义为：

29、v 注意：v 是卷积的简写符号，也可以写成 )(1 tf )(2 tf dtfftf )()()( 21 )()()()( 1221 tftftftf )()( 21 tftf )()( 21 tftf 2021-5-2 59 dtfftf )()()( 21分析该式发现，卷积积分的计算过程中有反褶和位移的过程，所以得出卷积计算的5个步骤： 2021-5-2 60 v卷积的原理：卷积方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应 ，求解系统对任意激励信号的零状态响应。 v 假设系统的冲激信号为 ，冲激响应为 ，则系统的零状态响应为： )(te )(th dthethtetr )()

30、()()()( )(th 2021-5-2 61 l卷积的图解法： 卷积图解法是借助于图形计算卷积积分的一种基本计算方法。与解析法相比，图解法使人更容易理解系统零状态响应的物理意义和积分上下限的确定。从几何意义来说，卷积积分是相乘曲线下的面积。采用图解法可以使枯燥的数学符号生动活泼起来，图形的加入起到画龙点睛的奇妙效果。 2021-5-2 622 )( h01 或t 1 )( th0 或tt )()( ete或1 或t21 0 2)()( hth或01 或t1 2021-5-2 63 t21 1 e th 0 21)( ta th t21 1 e 0 121)( tb0)()( thte 16

31、144 )(211)()( 221 tt dtthte t 2021-5-2 64231)( tc th t21 1 e 323)( td tht21 e 116343 )(211)()( 1 21 t dtthte 4324 )(211)()( 21 2 tt dtthte t 2021-5-2 650)()( thte te 3)( tht21 e 1 2021-5-2 6616 9 )()( thte 161521 0 1 23 32卷积积分结果 2021-5-2 67 2.7 卷积的性质v1交换律v2分配律)()()()( 1221 tftftftf )()()()()()()( 31

32、21321 tftftftftftftf 2021-5-2 68 )(ty)(tx )(1 th )(2 th图2-53 两个子系统并联 2021-5-2 69 v3结合律v4卷积的微分与积分)()()()()()( 321321 tftftftftftf )()()()()()( 212121 tfdt tdfdt tdftftftfdtd dftf dftfdff ttt )()( )()()()( 12 2121 2021-5-2 70 一般化，卷积的高阶导数或多重积分得运算规律为： 设： 则： 例如： )()()( 21 tftfts )()()( )(2)(1)( tftfts jiji t tftfdfdttdf )()()()( 2121 2021-5-2 71 v5 与任意信号的卷积)(t )()()( )1()1( tfttf )()()()()( )1()1( tftutfttf )()()( tfttf 2021-5-2 72 表2-6 卷积性质一览表