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1、Copyright 2006 Li Liang. All rights reserved. 诚 信 求 是 笃 学 致 公一 、 微 分 的 概 念1.问 题 的 提 出 2 0, ,S x x x S 例 .正 方 形 面 积 当 边 长 有 了 一 个 误 差 相 应 面 积 有 一误 差 S.2.定 义 y则 称 函 数 ,xxfy处可微在00 0 .x x x xdy A x df A x 或 xA ,xo 0 0, ,y f x x x x x 设 函 数 若 从 变 化 至 时 函 数 改 变 量 0 0y f x x f x 可 表 达 为,A x其 中 是 与 无 关 的 常
2、数0 .A x f x 称 为 在 处 的 微 分 记 作2020 )( xxx 202 xxx Copyright 2006 Li Liang. All rights reserved. 诚 信 求 是 笃 学 致 公定 义 分 析i 0, .x dy dy y y dy （ ） 当 充 分 小 ， 只 要 是 的 主 要 部 分 ，(ii) .dy x dy y 是 的 线 性 函 数 ， 因 此 比 计 算 方 便 得 多3.可 导 与 可 微 的 关 系定 理 0 0 0y f x x y f x x A f x 在 处 可 微 在 处 可 导 ， 且 = 0 0 x xdy f x
3、x 该 定 理 表 明 ， 可 导 性 与 可 微 性 是 等 价 的 ， 且4.可 微 函 数 ( )y f x I若 在 区 间 上 每 一 点 都 可 微 ， ( )y f x I则 称 是 上 的 . .f I dy f x x 可 微 函 数 在 上 的 微 分 记 作注 ： ,dx x 因 此 0 0 ,x xdy f x dx dy f x dx 导数符号的意义 Copyright 2006 Li Liang. All rights reserved. 诚 信 求 是 笃 学 致 公5.微 分 的 几 何 意 义0 0 0 x x x在 附 近 ， 可 用 处 的 切 线 段 来
4、 近 似 代 替 处 的 曲 线 段 .“ 以 直 代 曲 ”二 、 微 分 的 运 算 法 则1 ( ) 0d C （ ） (2) ( )d C f C df(3) ( )d f g df dg (4) ( )d f g g df f dg 2(5) ( ) ( ( ) 0)f g df f dgd g xg g Copyright 2006 Li Liang. All rights reserved. 诚 信 求 是 笃 学 致 公(6) ( ( ) ( ) ( )d f g x f u g x dx ( )f u du .dy,ey. bxax求设例 21. ( )dy f x dx 解
5、解 2： 利 用 微 分 形 式 不 变 性 bxaxdedy 2 bxaxde bxax 22 .dxbaxe bxax 221 3. sin2 ,xy e x dy例 求 Copyright 2006 Li Liang. All rights reserved. 诚 信 求 是 笃 学 致 公.dy,yarccosxy.求例2）法解：1 .,dxydy,y从略再代入隐函数求导法求出）法2则两边取微分， ,yarccosxdyd 2,dyydxydy 21 12 ,dxdyyy 21 122 21 .1 2 1y dxy y 从 而 dy Copyright 2006 Li Liang. A
6、ll rights reserved. 诚 信 求 是 笃 学 致 公三 、 微 分 在 近 似 计 算 上 的 应 用 ,xxfxfxxf. 0002 ,xxfdyy. 01 可 用 于 误 差 估 计 0 0( )f x f x f x x 或 近 似 计 算 函 数 值0. sin 29 .例 求 的 近 似 值 :)()75.(4 求 下 列 函 数 的 微 分可 微设书 上 例 ，ufyP )()2();12()1( xexfyxfy 说明一阶微分形式的不变性作 业 : P76 1. 3. 4.(2),(4). 5. 6.(提 示 )参数方程导数.02.1. 的 近 似 值求例 Copyright 2006 Li Liang. All rights reserved. 诚 信 求 是 笃 学 致 公nnn nx，x xxx lim ,2222,22,2.1 21 并 求收 敛证 明设 0111)(.3 axaxaxxf nnn 2 nn xx 单 调 递 增 且只 须 证 明 exxex 1lnlim.2 求 ;),()(,)1(: 存 在 最 小 值在为 偶 数 时当证 明 xfn .),()(,)2( 存 在 零 点在为 奇 数 时当 xfn
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