《类曲线积分》PPT课件

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1、1 第 二 节 第 二 类 曲 线 积 分-向 量 值 函 数 在 定 向 曲 线 上 的 积 分一 、 对 坐 标 的 曲 线 积 分 的 概 念二 、 对 坐 标 的 曲 线 积 分 的 计 算三 、 两 类 曲 线 积 分 之 间 的 联 系 2 o xy A BL问 题 的 提 出 1nMiM1iM2M1M ix iy实 例 : 变 力 沿 曲 线 所 作 的 功,: BAL jyxQiyxPyxF ),(),(),( 常 力 所 作 的 功分 割 .),(,),(, 1111110 BMyxMyxMMA nnnn .)()(11 jyixMMMM iiiiii 弧 .ABFW 3求

2、和 .),(),(1 ni iiiiii yQxP 取 极 限 .),(),(lim 10 ni iiiiii yQxPW 近 似 值精 确 值 ,),(),(),( jQiPF iiiiii 取 ,),( 1 iiiii MMFW .),(),( iiiiiii yQxPW 即 ni iWW 1 o xy A BL 1nMiM1iM2M1M ),( iiF ix iy 4 一 、 对 坐 标 的 曲 线 积 分 （ 第 二 类 曲 线 积 分 ） 的 概 念,0 . ),(, ).,;,2,1( ),(, ),(),(. ),(),(,1 11 01 111 222111时长 度 的 最 大

3、 值 如 果 当 各 小 弧 段上 任 意 取 定 的 点 为点设 个 有 向 小 弧 段分 成把上 的 点用上 有 界 在函 数向 光 滑 曲 线 弧 的 一 条 有到 点面 内 从 点为设 ii iiiiiiii nii nnnMM yyyxxx BMAMniMM nLyxM yxMyxML LyxQyxP BAxoyL 1.定 义 5 .),(lim),( ,( ),( ,),( 101 iini iLni iii xPdxyxP xLyxPxP 记 作或 称 第 二 类 曲 线 积 分 ）曲 线 积 分 的上 对 坐 标在 有 向 曲 线 弧则 称 此 极 限 为 函 数的 极 限 存

4、 在类 似 地 定 义 .),(lim),( 10 iini iL yQdyyxQ ,),(),( 叫 做 被 积 函 数其 中 yxQyxP .叫 积 分 弧 段L 6 2.存 在 条 件 ： ., ),(),(第 二 类 曲 线 积 分 存 在上 连 续 时 在 光 滑 曲 线 弧当 LyxQyxP3.组 合 形 式 LL dyyxQdxyxP ),(),( ., jdyidxdsjQiPF 其 中 . L dsF L dyyxQdxyxP ),(),(为 简 便 起 见或 者 向 量 形 式 7 4.推 广 空 间 有 向 曲 线 弧 .),(lim),( 10 iiini i xPdx

5、zyxP . RdzQdyPdx .),(lim),( 10 iiini i yQdyzyxQ .),(lim),( 10 iiini i zRdzzyxR 8 5.性 质 . ,)2( 21 21 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx LLL 则和分 成如 果 把 则方 向 相 反 的 有 向 曲 线 弧是 与是 有 向 曲 线 弧设 , ,)3( LL L即 对 坐 标 的 曲 线 积 分 与 曲 线 的 方 向 有 关 . LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(1) 线 性 性 质 9 二 、 对 坐 标 的 曲 线 积 分 的 计 算 ,),(

6、),( ,0)()(, )(),( ,),(, ),( ),(, ),(),( 22 存 在则 曲 线 积 分且续 导 数 一 阶 连为 端 点 的 闭 区 间 上 具 有及在 以 运 动 到 终 点沿的 起 点从点时到 变单 调 地 由当 参 数的 参 数 方 程 为续 上 有 定 义 且 连在 曲 线 弧设 L dyyxQdxyxP tttt BLALyxM tty txL LyxQyxP 定 理 10 dttttQtttP dyyxQdxyxPL )()(),()()(),( ),(),( 且证 明 : 下 面 先 证 L xyxP d),( tttP d )(),( )(t根 据 定

7、义 L xyxP d),( ni iii xP10 ),(lim 对 应 参 数设 分 点 ix ,it ),( ii 点 ,i 由 于1 iii xxx )()( 1 ii tt ii t )(对 应 参 数 11 L xyxP d),( tttP d )(),( ni iiP10 )(,)(lim ii t )( ni iiP10 )(,)(lim ii t )()(t 连 续所 以 )(t因 为 L 为 光 滑 弧 ,同 理 可 证 L yyxQ d),( tttQ d )(),( )(t 12 特 殊 情 形 .)(:)1( baxxyyL ， 终 点 为起 点 为 .)()(,)(,

8、 dxxyxyxQxyxPQdyPdx baL 则 .)(:)2( dcyyxxL ， 终 点 为起 点 为 .),()(),( dyyyxQyxyyxPQdyPdx dcL 则 13 .,)( )( )(:)3( 终 点起 点推 广 ttz ty tx dtttttR ttttQ ttttP dzyxRdyyxQdxyxP )()(),(),( )()(),(),( )()(),(),( ),(),(),( 14 例 1: .)1,1()1,1( , 2的 一 段 弧到 上 从为 抛 物 线其 中计 算 BA xyLxydxL 解 : 的 定 积 分 ， 化 为 对方 法 x1 .xy OB

9、AOL xydxxydxxydx 1001 )( dxxxdxxx 10 232 dxx .54 xy 2 )1,1( A )1,1(B 15 的 定 积 分 ， 化 为 对方 法 y2 ,2yx ABL xydxxydx 11 22 )( dyyyy .11到从 y 11 42 dyy .54 xy 2 )1,1( A )1,1(B 16 .)0,()0,()2( ;)1( ,2 的 直 线 段轴 到 点沿从 点的 上 半 圆 周 针 方 向 绕 行、 圆 心 为 原 点 、 按 逆 时半 径 为 为其 中计 算 aBxaAa LdxyL 例 2:解 : ,sincos:)1( ay axL

10、 ，变 到从 0 )0,(aA)0,( aB 0原 式 daa )sin(sin22 03a )(cos)cos1( 2 d .34 3a 320 222 34)(2)( adxxadxxa aaa 或 17 )0,(aA)0,( aB ,0:)2( yL ，变 到从 aax aa dx0原 式 .0本 题 结 论 ： 被 积 函 数 相 同 ， 起 点 和 终 点 也 相 同 ， 但 路 径 不 同 积 分 结 果 不 同 . 18 例 3: ).1,1(),0,1( )0,0(,)3( ;)1,1()0,0()2( ;)1,1()0,0()1( ,2 222 依 次 是 点， 这 里有 向

11、 折 线 的 一 段 弧到上 从抛 物 线 的 一 段 弧到上 从抛 物 线 为其 中计 算 BAOOAB BOyx BOxy LdyxxydxL 2xy )0,1(A )1,1(B解 : .)1( 的 积 分化 为 对 x ,10,: 2 变 到从xxyL 10 22 )22( dxxxxx原 式 10 34 dxx .1 19)0,1(A )1,1(B 2yx .)2( 的 积 分化 为 对 y ,10,: 2 变 到从yyxL 10 42 )22( dyyyyy原 式 10 45 dxy .1 )0,1(A )1,1(B)3( ABOA dyxxydx dyxxydx 2222原 式 2

12、0 ,上在 OA ,10,0 变 到从xy 10 22 )002(2 dxxxdyxxydxOA .0,上在 AB ,10,1 变 到从yx 102 )102(2 dyydyxxydxAB .110原 式 .1 )0,1(A )1,1(B本 题 结 论 ： 被 积 函 数 相 同 ， 起 点 和 终 点 也 相 同 ， 但 路 径 不 同 而 积 分 结 果 相 同 . 21 三 、 两 类 曲 线 积 分 之 间 的 联 系 ： ,)( )( ty txL ：设 有 向 平 面 曲 线 弧 为 ,),( 为处 的 切 线 向 量 的 方 向 角上 点 yxL LL dsQPQdyPdx )c

13、oscos( 则其 中 2 2( )cos ,( ) ( )tt t 2 2( )cos ,( ) ( )tt t 当 L的 方 向 是 t增 加 的 方向 时 取 正 号 ， 是 t减 少的 方 向 时 取 负 号 。 22 类 似 地 , 在 空 间 曲 线 上 的 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 是zRyQxP ddd sRQP dcoscoscos 令 tA sA t d ,),( RQPA )d,d,(dd zyxs )cos,cos,(cos t sA d sA d stA d记 A 在 t 上 的 投 影 为 23 例 4.将 积 分 yyxQxyxPL d),(d),( 化

14、 为 对 弧 长 的 积分 , 0222 xyx ).0,2()0,0( BO 到从解 ： oy xB,2 2xxy xxx xy d21d 2sd xy d1 2 xxx d2 1 2sxddcos ,2 2xx syddcos x1 yyxQxyxPL d),(d),( syxQyxP L d),(),( 22 xx )1( x其 中 L 沿 上 半 圆 周 24 (2,0) (0,0).B O到若 改 成 从( , )d ( , )d =L P x y x Q x y y syxQyxPL d),(),( 22- x x（ ） (1 )- x（ ） 25 小 结1、 对 坐 标 曲 线 积 分 的 概 念2、 对 坐 标 曲 线 积 分 的 计 算3、 两 类 曲 线 积 分 之 间 的 联 系 26 思 考 题答 ： 曲 线 方 向 由 参 数 的 变 化 方 向 而 定 . 例 如 L： tax cos ， tay sin ， 2,0 t 中