高等数学课件D3-3泰勒公式

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1、二 、 几 个 初 等 函 数 的 麦 克 劳 林 公 式 第 三 节一 、 泰 勒 公 式 的 建 立 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 泰 勒 公 式 的 应 用 应 用用 多 项 式 近 似 表 示 函 数 理 论 分 析近 似 计 算泰 勒 ( Taylor )公 式 第 三 章 特 点 : )( 01 xp )( 0 xf )( 0 xf一 、 泰 勒 公 式 的 建 立)(xf xy )(xfy o)()( 000 xxxfxf )(1 xp 以 直 代 曲0 x )(1 xp)( 01 xp在 微 分 应 用 中 已 知 近 似 公 式 :需 要 解 决 的

2、 问 题 如 何 提 高 精 度 ?如 何 估 计 误 差 ? xx 的 一 次 多 项 式 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 1. 求 n 次 近 似 多 项 式 要 求 :,)(xpn)( 0!212 xpa n ,)( 0 xf , )( 0)(!1 xpa nnnn )( 0)( xf n故 )(xpn )( 0 xf )( 00 xxxf !21 !1nnn xxxf )( 00)( !1n 200 )( xxxf !21 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 令 )(xpn则 )(xpn )(xpn nan!)()( xp nn )( 00 xpa n ,)

3、( 0 xf ,)()( 00 xfxpn )( 01 xpa n ,)( 0 xf1a )(2 02 xxa 10)( nn xxan2!2 a 20)()1( nn xxann,)()( 00 xfxpn )()(, 0)(0)( xfxp nnn 0a nn xxaxxaxxa )()()( 020201 )0( 之 间与在 nx )( )( 10 nn xx xR )(2)1( )( 0)( xnR nnnn 2. 余 项 估 计 )()()( xpxfxR nn 令 (称 为 余 项 ) ,)( 0 xRn )( 0 xRn 0)( 0)( xR nn10)( )( nnxx xR

4、nn xn R )(1( )( 011 )(1( )( 011 nn xnR 1022 )()1( )( nn xnn R !)1( )()1( nR nn 则 有)( 0 xRn 0 )( 0 xRn 0 )( 0)( xR nn 0 x )01( 之 间与在 xx )1 02( 之 间 与在 x机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )()()( xpxfxR nn 10)( )( nnxx xR !)1( )()1( nR nn )0( 之 间与在 xx,0)()1( xp nn 10)1( )(!)1( )()( nnn xxnfxR )()( )1()1( xfxR nnn

5、时的 某 邻 域 内当 在 Mxfx n )()1(0 )0( 之 间与在 xx10!)1()( nn xxnMxR )()()( 00 xxxxoxR nn 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 公 式 称 为 的 n 阶 泰 勒 公 式 .)(xf公 式 称 为 n 阶 泰 勒 公 式 的 拉 格 朗 日 余 项 .泰 勒 中 值 定 理 : 内 具 有的 某 开 区 间在 包 含若 ),()( 0 baxxf 1n直 到 阶 的 导 数 , ),( bax 时 , 有)(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 200 )(!2 )( xxxf nn xxn xf )(! )

6、( 00)( )(xRn 其 中 10)1( )(!)1( )()( nnn xxnfxR 则 当 )0( 之 间与在 xx 泰 勒 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 公 式 称 为 n 阶 泰 勒 公 式 的 佩 亚 诺 (Peano) 余 项 .在 不 需 要 余 项 的 精 确 表 达 式 时 , 泰 勒 公 式 可 写 为 )(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 200 )(!2 )( xxxf nn xxn xf )(! )( 00)( )( 0 nxxo )()( 0 nn xxoxR 注 意 到 * 可 以 证 明 : 阶 的 导 数有 直 到在 点 nxxf 0)

7、( 式 成 立 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 特 例 :(1) 当 n = 0 时 , 泰 勒 公 式 变 为)(xf )( 0 xf )( 0 xxf (2) 当 n = 1 时 , 泰 勒 公 式 变 为给 出 拉 格 朗 日 中 值 定 理)(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 20)(!2 )( xxf 可 见 )(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 201 )(!2 )()( xxfxR 误 差 )(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 10)1( )(!)1( )( nn xxnf 200 )(!2 )( xxxf nn xxn xf )(!

8、 )( 00)( fd )0( 之 间与在 xx )0( 之 间与在 xx )0( 之 间与在 xx )0( 之 间与在 xx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 称 为 麦 克 劳 林 （ Maclaurin ） 公 式 . ,)10(,00 xx 则 有)(xf )0(f xf )0( 1)1( !)1( )( nn xn xf 2!2 )0( xf nn xnf ! )0()(在 泰 勒 公 式 中 若 取)(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 10)1( )(!)1( )( nn xxnf 200 )(!2 )( xxxf nn xxn xf )(! )( 00)(

9、 )0( 之 间与在 xx)(xf )0(f xf )0( ,)()1( Mxf n 则 有 误 差 估 计 式1!)1()( nn xnMxR 2!2 )0( xf nn xnf ! )0()(若 在 公 式 成 立 的 区 间 上 麦 克 劳 林 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 此 得 近 似 公 式 二 、 几 个 初 等 函 数 的 麦 克 劳 林 公 式xexf )()1( ,)()( xk exf ),2,1(1)0()( kf kxe 1 x !33x !nxn )(xRn!22x其 中 )(xRn !)1( n )10( 1nxxe 机 动 目 录 上 页 下 页

10、返 回 结 束 )sin( xxxf sin)()2( )()( xf k xsin x !33x !55x !)12( 12 mx m )(2 xR m其 中 )(2 xR m )sin( 2 12 mx 2k2sin)0()( kf k mk 2,0 12 mk,)1( 1 m ),2,1( m 1)1( m )10( 12 mx!)12( m )cos()1( xm 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 !)2( 2mx mxxf cos)()3( 类 似 可 得xcos 1 !22x !44x )(12 xR m其 中 )(12 xR m !)22( m )cos()1( 1

11、 xm )10( m)1( 22 mx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )1()1()()4( xxxf )()( xf k )1( x 1 x 2x nx )(xRn其 中 )(xRn 11)1(!)1( )()1( nn xxn n )10( kxk )1)(1()1( )1()1()0()( kf k ),2,1( k!2 )1( ! n )1()1( n 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )1()1ln()()5( xxxf已 知 )1ln( x x 22x 33x nxn )(xRn其 中 )(xRn 11)1(1)1( nnn xxn )10( 1)1

12、( n类 似 可 得 )()( xf k kk xk )1( !)1()1( 1 ),2,1( k 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 泰 勒 公 式 的 应 用1. 在 近 似 计 算 中 的 应 用 误 差 1!)1()( nn xnMxRM 为 )()1( xf n 在 包 含 0 , x 的 某 区 间 上 的 上 界 .需 解 问 题 的 类 型 :1) 已 知 x 和 误 差 限 , 要 求 确 定 项 数 n ;2) 已 知 项 数 n 和 x , 计 算 近 似 值 并 估 计 误 差 ;3) 已 知 项 数 n 和 误 差 限 , 确 定 公 式 中 x

13、的 适 用 范 围 .)(xf )0(f xf )0( 2!2 )0( xf nn xnf ! )0()( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 已 知例 1. 计 算 无 理 数 e 的 近 似 值 , 使 误 差 不 超 过 .10 6解 : xe !)1( n xe 1nx令 x = 1 , 得e )10(!)1(!1!2111 nen )10( 由 于 ,30 ee 欲 使)1(nR !)1( 3 n 610由 计 算 可 知 当 n = 9 时 上 式 成 立 , 因 此e !91!2111 718281.2xe 1 x !33x !nxn!22x的 麦 克 劳 林 公 式

14、 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 说 明 : 注 意 舍 入 误 差 对 计 算 结 果 的 影 响 .本 例若 每 项 四 舍 五 入 到 小 数 点 后 6 位 ,则 各 项 舍 入 误 差 之 和 不 超 过 ,105.07 6总 误 差 为 6105.07 610 6105 这 时 得 到 的 近 似 值 不 能 保 证 误 差 不 超 过 .10 6因 此 计 算 时 中 间 结 果 应 比 精 度 要 求 多 取 一 位 .e !91!2111 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 用 近 似 公 式 !21cos 2xx 计 算 cos x

15、 的 近 似 值 ,使 其 精 确 到 0.005 , 试 确 定 x 的 适 用 范 围 .解 : 近 似 公 式 的 误 差 )cos(!4)( 43 xxxR 244x令 005.0244 x解 得 588.0 x即 当 588.0 x 时 , 由 给 定 的 近 似 公 式 计 算 的 结 果能 准 确 到 0.005 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 利 用 泰 勒 公 式 求 极 限例 3. 求 .43443lim 20 x xxx 解 : 由 于x4312 43 x 21)1( 43x 2 )(1 4321 x !21 )1(2121 243 )( x )

16、( 2xo用 洛 必 塔 法 则不 方 便 !2x用 泰 勒 公 式 将 分 子 展 到 项 , 11)1(!)1( )()1( nn xxn n nx! n )1()1( n )1( x 1 x 2x !2 )1( )10( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x34 21)1(2 43x 220 lim xx 原 式 )( 2216921 xox 329x43 )( 2216941 xox 2 x43 )( 2216941 xox 11)1(!)1( )()1( nn xxn n nx! n )1()1( n )1( x 1 x 2x !2 )1( )10( 3. 利 用 泰

17、勒 公 式 证 明 不 等 式例 4. 证 明 ).0(8211 2 xxxx证 : 21)1(1 xx 21 x 2)121(21!21 x 325)1)(221)(121(21!31 xx )10( 32 25)1(161821 xxxx )0(8211 2 xxxx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 泰 勒 公 式其 中 余 项 )( 0 nxxo 当 00 x 时 为 麦 克 劳 林 公 式 .)(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 200 )(!2 )( xxxf nn xxn xf )(! )( 00)( )(xRn10)1( )(!)1(

18、 )()( nnn xxnfxR )0( 之 间与在 xx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 常 用 函 数 的 麦 克 劳 林 公 式 ( P140 P142 ),xe ,)1ln( x ,sinx ,cosx )1( x3. 泰 勒 公 式 的 应 用(1) 近 似 计 算(3) 其 他 应 用 求 极 限 , 证 明 不 等 式 等 .(2) 利 用 多 项 式 逼 近 函 数 , xsin例 如 例 如 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 42246 4 2 0 2 4 6 12!)12( )1(9!917!715!513!31 1sin nn xxxxxxx

19、n )( 2nxo!33xxy !5!3 53 xxxy !7!5!3 753 xxxxy xy sinxy xsin泰 勒 多 项 式 逼 近 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 12!)12( )1(9!917!715!513!31 1sin nn xxxxxxx n )( 2nxoxsin 42246 4 2 0 2 4 6 xy sin!9!7 !5!3 97 53 xx xxxy !11!9 !7!5!3 119 753 xx xxxxy 泰 勒 多 项 式 逼 近 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 与 练 习 计 算 .3cos2lim 40 2

20、x xexx )(!211 4422 xoxxex )(!4!21cos 542 xoxxx )()!412!21(3cos2 442 xoxxex 127)(lim 4 441270 x xoxx解 : 原 式 第 四 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 作 业 P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2) 泰 勒 (1685 1731)英 国 数 学 家 , 他 早 期 是 牛 顿 学 派 最优 秀 的 代 表 人 物 之 一 , 重 要 著 作 有 : 正 的 和 反 的 增 量 方 法 (1715) 线 性 透 视 论 (1719) 他 在 1712 年 就

21、得 到 了 现 代 形 式 的 泰 勒 公 式 .他 是 有 限 差 分 理 论 的 奠 基 人 . 麦 克 劳 林 (1698 1746)英 国 数 学 家 , 著 作 有 : 流 数 论 (1742) 有 机 几 何 学 (1720) 代 数 论 (1742)在 第 一 本 著 作 中 给 出 了 后 人 以 他 的 名 字 命 名 的麦 克 劳 林 级 数 . 2021-5-3 高 等 数 学 ,1,0)( 上 具 有 三 阶 连 续 导 数在设 函 数 xf ,0)(,2)1(,1)0( 21 fff .24)(, f使一 点 )(xf )( 21 之 间与在其 中 x,1,0 x由

22、题 设 对证 :备 用 题 1. 321)(!31 xf )(21f 221)( x)(!21 21f )( 2121 xf 有)(21f 221)( x)(!21 21f 321)(!31 xf 内 至 少 存 在证 明 )1,0(且 得分 别 令 ,1,0 x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2021-5-3 高 等 数 学 ),0( 211)(21f )1,( 2123211 )(!3 )( f 3212 )(!3 )(f )0(1 f )(21f 22121 )(!2 )( f)1(2 f 22121 )(!2 )(f 1下 式 减 上 式 , 得 )()(481 12 ff )()(481 12 ff )(241 f )10( 令 )(,)(max)( 12 fff 24)( f 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 e )10(!)1(!1!2111 nen两 边 同 乘 n !en! = 整 数 + )10(1 ne假 设 e 为 有 理 数 qp ( p , q 为 正 整 数 ) ,则 当 时 ,qn 等 式 左 边 为 整 数 ;矛 盾 !2. 证 明 e 为 无 理 数 . 证 : 2n 时 ,当故 e 为 无 理 数 .等 式 右 边 不 可 能 为 整 数 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束