高等数学方明亮66空间直线及其方程

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1、返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 1 第 六 节 空 间 直 线 及 其 方 程 第 六 章 ( Space Straight Line and Its Equation)四 、 直 线 与 平 面 的 夹 角一 、 空 间 直 线 方 程 的 一 般 方 程 二 、 空 间 直 线 方 程 的 对 称 式 方 程 和 参 数 方 程三 、 两 直 线 的 夹 角五 、 平 面 束六 、 小 结 与 思 考 练 习 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 2 x yzo 01111 DzCyBxA 02222 DzCyBxA 1 2 L因 此

2、其 一 般 式 方 程(General Equation of a Space Straight Line)直 线 可 视 为 两 平 面 交 线 ，(不 唯 一 )一 、 空 间 直 线 方 程 的 一 般 方 程 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 3 (Symmetric Expression) 1. 对 称 式 方 程 （ 点 向 式 方 程 ) ),( 0000 zyxM故 有说 明 : 某 些 分 母 为 零 时 , 其 分 子 也 理 解 为 零 .mxx 0 设 直 线 上 的 动 点 为 则 ),( zyxMnyy 0 pzz 0此 式 称 为 直

3、线 的 对 称 式 方 程 (也 称 为 点 向 式 方 程 )直 线 方 程 为 s已 知 直 线 上 一 点 ),( 0000 zyxM ),( zyxM例 如 , 当 ,0,0 时 pnm 和 它 的 方 向 向 量 ,),( pnms sMM /0 二 、 空 间 直 线 方 程 的 对 称 式 方 程 和 参 数 方 程 00yy xx 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 4 设得 参 数 式 方 程 : tpzznyymxx 000 tmxx 0 tnyy 0 tpzz 03. 参 数 式 方 程 (Parametric Form ) 返 回上 页 下 页

4、目 录2021年 5月 3日 星 期 一 5 解 :先 在 直 线 上 找 一 点 .1 02 3 4 0 x y zx y z 63 2 zy zy再 求 直 线 的 方 向 向 量 2,0 zy令 x = 1, 解 方 程 组 ,得交 已 知 直 线 的 两 平 面 的 法 向 量 为是 直 线 上 一 点 .)2,0,1( 故 .s,)1,1,1(1 n )3,1,2(2 n21 ns,ns 21 nns 例 1 用 对 称 式 及 参 数 式 表 示 直 线 （ 补 充 题 ） 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 6 故 所 给 直 线 的 对 称 式 方 程

5、 为参 数 式 方 程 为 tz ty tx 32 41 t41x 1 y 32 z解 题 思 路 : 先 找 直 线 上 一 点 ;再 找 直 线 的 方 向 向 量 .)3,1,4( 21 nns 312 111 kji (自 学 课 本 例 1) 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 7 例 2 求 与 两 平 面 x 4y = 3 和 2x y 5z = 1 的 交 线 平行 且 过 点 ( 3, 2, 5)的 直 线 的 方 程 .解 ： 因 为 所 求 在 直 线 与 两 平 面 的 交 线 平 行 ， 也 就 是 直线 的 方 向 向 量 s 一 定 同

6、时 与 两 平 面 的 法 线 向 量 n1、 n2垂 直 ， 所 以 可 以 取 1 2 1 0 4 (4 3 )2 1 5i j ks n n i j k 因 此 所 求 直 线 的 方 程 为 3 2 54 3 1x y z 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 8 例 3 求 直 线 2 3 41 1 2x y z 与 平 面 2x y z 6=0的 交 点 . 解 ： 所 给 直 线 的 参 数 方 程 为x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代 入 平 面 方 程 中 ， 得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t) 6=0. 解 上

7、列 方 程 ， 得 t = 1. 把 求 得 的 t值 代 入 直 线 的 参 数方 程 中 ， 即 得 所 求 交 点 的 坐 标 为 x=1, y=2, z=2. （ 由 课 本 例 3改 编 ） 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 9 2L1L则 两 直 线 夹 角 满 足21, LL设 直 线 两 直 线 的 夹 角 指 其 方 向 向 量 间 的 夹 角 (通 常 取 锐 角 )的 方 向 向 量 分 别 为 212121 ppnnmm 212121 pnm 222222 pnm ),(,),( 22221111 pnmspnms 21 21cos ss s

8、s 1s 2s（ The Angle between Two Straight Lines）三 、 两 直 线 的 夹 角 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 10 特 别 地 有 :21)1( LL 21/)2( LL 0212121 ppnnmm 212121 ppnnmm 21 ss 21/ss 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 11 解 : 直 线直 线二 直 线 夹 角 的 余 弦 为 13411:1 zyxL 2 2 0: 2 0 x yL x z cos 22从 而 4 的 方 向 向 量 为1L的 方 向 向 量 为2L )

9、1,2,2( )1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 )1()2(2 )1,4,1(1 s 201 0112 kjis 例 4（ 由 课 本 例 4改 编 ） 求 以 下 两 直 线 的 夹 角 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 12 （ The Angle between a Straight Lines and a Plane）当 直 线 与 平 面 垂 直 时 ,规 定 其 夹 角线 所 夹 锐 角 称 为 直 线 与 平 面 间 的 夹 角 ; L当 直 线 与 平 面 不 垂 直 时 ,设 直 线 L 的 方 向 向 量 为 平 面 的 法

10、向 量 为则 直 线 与 平 面 夹 角 满 足 .2 222222 CBApnm pCnBmA 直 线 和 它 在 平 面 上 的 投 影 直),( pnms ),( CBAn ),cos(sin ns ns ns sn四 、 直 线 与 平 面 的 夹 角 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 13 特 别 有 :L)1( /)2( L 0 pCnBmA pCnBmA ns/ns例 5 求 过 点 (1, 2 , 4) 且 与 平 面解 : 取 已 知 平 面 的 法 向 量 421 zyx则 直 线 的 对 称 式 方 程 为 0432 zyx直 的 直 线 方

11、程 .为 所 求 直 线 的 方 向 向 量 . 132 垂 )1,3,2( n n 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 14 五 、 平 面 束 有 时 用 平 面 束 的 方 程 解 题 比 较 方 便 ， 现 在 我 们 来 介绍 它 的 方 程 .设 直 线 L由 方 程 组1 1 1 1 2 2 2 2 0,0,Ax B y C z DA x B y C z D 所 确 定 ， 其 中 系 数 A1、 B1、 C1与 A2、 B2、 C2不 成 比 例 . 我 们 建 立 三 元 一 次 方 程 ： 1 1 1 1 2 2 2 2( ) 0Ax B y Cz

12、 D A x B y C z D ( III )其 中 为 任 意 常 数 . 因 为 A1、 B1、 C1与 A2、 B2、 C2不 成 ( II ) ( I )（ Pencil of Planes） 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 15 比 例 ， 所 以 对 于 任 何 一 个 值 ， 方 程 (III)的 系 数 ： 1 2 1 2 1 2A A B B C C 、 、 不 全 为 零 ， 从 而 方 程 (III)表 示 一 个 平 面 ， 若 一 点 在 直 线 L上 ， 则 点 的 坐 标 必 同 时 满 足 方程 (I)和 (II)， 因 而 也

13、满 足 方 程 (III)， 故 方 程 (III)表 示 通 过直 线 L的 平 面 ， 且 对 于 于 不 同 的 值 ， 方 程 (III)表 示 通 过直 线 L的 不 同 的 平 面 . 反 之 ， 通 过 直 线 L 的 任 何 平 面 (除 平 面 (II)外 )都 包 含在 方 程 (III)所 表 示 的 一 族 平 面 内 . 通 过 定 直 线 的 所 有 平面 的 全 体 称 为 平 面 束 ， 而 方 程 (III)就 作 为 通 过 直 线 L的平 面 束 的 方 程 (事 实 上 ， 方 程 (III)表 示 缺 少 平 面 (II)的 平面 束 ). 返 回上

14、页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 16 例 6 求 直 线 1 0,1 0 x y zx y z 在 平 面 x+y+z=0上 的 投 影 直 线 的 方 程 . 解 ： 过 直 线 1 0,1 0 x y zx y z 的 平 面 束 的 方 程 为 (x +y- z-1) + (x y+z+1)=0,(1+ )x+(1- )y+(-1+ )z+(-1+ )=0, 即 (*) 其 中 为 待 定 常 数 . 这 平 面 与 平 面 x+y+z=0垂 直 的 条 件 是 01)1(1)1(1)1( 即 1 0 由 此 得 =-1 代 入 (*)式 ， 得 投 影 平 面 的

15、方 程 为 2y-2z-2 =0 即 y-z-1=0所 以 投 影 直 线 的 方 程 为 1 0,0.y zx y z 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 17 解 ： 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 18 解 ： 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 19 1. 空 间 直 线 方 程一 般 式对 称 式参 数 式 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA tpzz tnyy tmxx 000 pzznyymxx 000 )0( 222 pnm内 容 小 结 返 回上 页 下 页目 录2021年

16、5月 3日 星 期 一 20 ,1 11 11 11 p zzn yymxxL ：直 线 0212121 ppnnmm,2 22 22 22 p zzn yymxxL ： 212121 ppnnmm 直 线夹 角 公 式 : ),( 1111 pnms ),( 2222 pnms 021 ss21 LL 21/LL 021 ss 21 21cos ss ss 2. 线 与 线 的 关 系 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 21 ,0 DzCyBxA CpBnAm 平 面 :L L / 夹 角 公 式 ： 0 CpBnAmsin ,p zzn yymxx 直 线 L

17、: ),( CBAn ),( pnms 0ns 0ns ns ns L3. 面 与 线 间 的 关 系4. 平 面 束 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 22 课 外 练 习习 题 6 6 1（ 偶 数 题 ） ； 3； 4（ 2） （ 4） ； 6（ 2） ； 7 （ 偶 数 题 ） ； 10； 12思 考 与 练 习D 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 23 CC 面面 面面 ； xoyQDxozQC yozQBxoyQA )(;)( ;)()( 面面 面面 ； xoyQDxozQC yozQBxoyQA )(;)( ;)()( A

18、返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 24 BB 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 25 )1,2,1(A ,11231:1 zyxLiL设 直 线解 ： ,2上在因 原 点 LO 12:2 zyxL 相 交 ,求 此 直 线 方 程 .的 方 向 向 量 为 过 A 点 及 的 平2L面 的 法 向 量 为 则 所 求 直 线 的 方 向 向 量方 法 1 利 用 叉 积 . ),2,1( isi,n ,1 nss 所 以OAsn 2 121 112 kji kji 333 且 垂 直 于 直 线 又 和 直 线 nO A 2L2s2. 一

19、 直 线 过 点 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 26设 所 求 直 线 与 的 交 点 为 512231 zyx 12 000 zyx 0000 ,2 yzyx 待 求 直 线 的 方 向 向 量方 法 2 利 用 所 求 直 线 与 L2 的 交 点 .即故 所 求 直 线 方 程 为 2L ),( 000 zyxB则 有 2L )1,2,1(Anss 1 333 123 kji )523(3 kji ),( 000 zyxB 返 回上 页 下 页目 录2021年 5月 3日 星 期 一 27 0)1()2(2)1(3 000 zyx 78,716,78 000 zxy 512231 zyx 0000 ,2 yzyx 将 代 入 上 式 , 得由 点 法 式 得 所 求 直 线 方 程而 )1,2,1( 000 zyxAB )5,2,3(73 1L)715,76,79( AB 2L )1,2,1(A ),( 000 zyxB