解析几何中的定点定值问题含答案

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1、解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象,探究、证明其不变性质(定点、定值等),体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用【教学难、重点】解题思路的优化【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习1、过直线上动点作圆的切线,则两切点所在直线恒过一定点此定点的坐标为_【答案】 【解析】设动点坐标为，则以OP直径的圆C方程为:，故是两圆的公共弦，其方程为.注:部分优秀学生可由 公式直接得出令 得定点.、已知是过椭圆中心的任一弦,是椭圆上异于的任意一点若分别有斜率 ，则=_.【答案】-【解析】设，则,又由、均在椭圆上，故有：，两式相减得，3、

2、椭圆，过右焦点作不垂直于轴的直线交椭圆于、两点,的垂直平分线交轴于,则等于_. 【答案】【解析】设直线斜率为，则直线方程为,与椭圆方程联立消去整理可得,则，所以，则中点为.所以中垂线方程为,令，则，即,所以.,所以.、已知椭圆,是其左顶点和左焦点，是圆上的动点，若=常数，则此椭圆的离心率是 【答案】e=【解析】因为,所以当点P分别在（b,0)时比值相等,即，整理得：，又因为,所以同除以2可得e2+e-1=0,解得离心率e=二、典例讨论例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的左顶点为,过原点O的直线（与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M,N两点 试问以

3、M为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关）?请证明你的结论分析一:设的方程为,设点()，则点联立方程组消去得所以，则. 所以直线的方程为.从而 同理可得点所以以N为直径的圆的方程为整理得:由，可得定点分析二:设（0，),则Q(x0,y0),代入椭圆方程可得由直线PA方程为：，可得,同理由直线Q方程可得,可得以MN为直径的圆为，整理得:由于,代入整理即可得此圆过定点.分析三：易证：,故可设直线斜率为,则直线斜率为直线方程为,从而得,以代得故知以MN为直径的圆的方程为整理得:由，可得定点.分析四、设，则以N为直径的圆的方程为即再由得,下略例2、已知离心率为的椭圆恰过两点和(1) 求椭圆的方程;(

4、2) 已知为椭圆上的两动弦,其中关于原点对称，过点,且斜率互为相反数. 试问：直线的斜率之和是否为定值?证明你的结论解析：(1) 由题意：所以椭圆的方程为.(2) 设方程为，则方程为又设，则整理得: 由消元整理得：,所以 又由消元整理得：，所以 将、代入式得:.例2(变式)、已知离心率为的椭圆恰过两点和.(3) 求椭圆的方程;(4) 已知为椭圆上的两动弦,其中关于原点对称，过定点，且斜率互为相反数. 试问:直线的斜率之和是否为定值?证明你的结论解析：(3) 由题意:所以椭圆的方程为(4) 设方程为,则方程为又设，则整理得: 由消元整理得:,所以 又由消元整理得:，所以 将、代入式得：三、课外作

5、业1、已知椭圆，A、B是其左、右顶点，动点M满足MAB,连结M交椭圆于点P，在轴上有异于点、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点的坐标为_【答案】(0，）【解析】试题分析:设则,与椭圆方程联立消得,所以,因此,即，点Q的坐标为O(0，0)2、已知P是椭圆上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线A，PB的斜率分别为的值为 .【答案】【解析】设，则 ,因为在椭圆上,所以,即把代入,得、已知椭圆的离心率=，A，B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点,直线PA,PB的倾斜角分别为，则= .【答案】7【解析】试题分析:因为A,是椭圆的左右顶点,P为椭圆上不同于AB的动点

6、,，,、如图所示,已知椭圆:,在椭圆C上任取不同两点A，B,点关于x轴的对称点为,当A，变化时,如果直线AB经过x轴上的定点（1，0），则直线经过x轴上的定点为_.【答案】(4，0）【解析】设直线B的方程为=my+1,由得(my1)2+42=4,即(m2+4)y2+23=0.记A(x1,y1)，B(x2,2）,则A(x1,y1)，且y12=，y1y2-，当m0时,经过点（x1，y1),B(2，)的直线方程为.令=0，得1+x1=1+my11+1=4,所以y0时,x4.当m=时,直线AB的方程为x,此时，重合，经过A,B的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，)的直线.当直线AB为x轴时,直线

7、A就是直线B，即x轴，这条直线也经过点(4,0).综上所述，当点A，变化时,直线AB经过x轴上的定点（4，0).5、 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于于两点，令,则【答案】【解析】试题分析：不失一般性，不妨取垂直x轴的情况，此时M:=,联立,得M（1，）,N（1，-），=n=,6、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为,左焦点为,点在椭圆上，直线与椭圆交于,两点,直线，分别与轴交于点,.()求椭圆的方程；(）以为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标；若不经过,请说明理由解析:（）解法一：设椭圆的方程为,因为椭圆的左焦点为，所以.设椭圆的右焦点为,已知点在椭圆上，由椭圆的定义知,所以

8、. 所以，从而.所以椭圆的方程为 解法二:设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为,所以 因为点在椭圆上,所以 由解得，,.所以椭圆的方程为. （）解法一：因为椭圆的左顶点为,则点的坐标为 因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设），则点联立方程组消去得.所以，则 所以直线的方程为 因为直线,分别与轴交于点，令得，即点同理可得点. 所以 设的中点为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为,即. 令，得，即或.故以为直径的圆经过两定点，.解法二：因为椭圆的左端点为,则点的坐标为. 因为直线与椭圆交于两点，设点，则点.所以直线的方程为.因为直线与轴交于点,令得,即点 同理可得点 所以.因为点在椭圆上,所以.所以

9、. 设的中点为，则点的坐标为.则以为直径的圆的方程为.即令,得，即或.故以为直径的圆经过两定点，.解法三：因为椭圆的左顶点为,则点的坐标为. 因为直线与椭圆交于两点,，设点（)，则点.所以直线的方程为 因为直线与轴交于点,令得，即点. 同理可得点. 所以.设的中点为，则点的坐标为 则以为直径的圆的方程为,即.令，得,即或.故以为直径的圆经过两定点，.7、已知椭圆:=(a0，b0)的离心率为,点(1，)在椭圆C上.()求椭圆C的方程； ()设动直线l与椭圆有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点为圆心的圆,满足此圆与l相交于两点P，P2(两点均不在坐标轴上),且使得直线OP，OP2的斜率之积为定值

10、？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由()解:由题意,得, 又因为点在椭圆上,所以， 解得,， 所以椭圆的方程为. （）结论:存在符合条件的圆，且此圆的方程为 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.当直线的斜率存在时，设的方程为. 由方程组 得， 因为直线与椭圆有且仅有一个公共点, 所以，即. 由方程组 得， 则. 设，则, 设直线， 的斜率分别为，, 所以 ， 将代入上式,得 要使得为定值，则，即,验证符合题意. 所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值. 当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为， 此时,圆与的交点也满足.8、已知椭圆C1：的离心率为，且过定点M(1,)(1)求椭圆的方程;(2)已知直线:与椭圆C交于、B两点,试问在y轴上是否存在定点，使得以弦AB为直径的圆恒过P点?若存在,求出点的坐标，若不存在,说明理由(1)解：由已知椭圆C的方程为（2)解：由得: 设A（x1,),(2，y2)，则x1、2是方程的两根设P（0,)，则 若,则即对任意kR恒成立此方程组无解，不存在定点满足条件