阶常系数线性微分方程

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1、第 四 节 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程教 学 内 容 ： 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 解 的 结构 及 解 法 （ 特 征 方 程 法 ， 待 定 系 数 法 ）一 .二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构二 . 方 程 的 解 法 特 征 方程 法 0y py qy 三 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 解 的 结构 及 其 求 解 方 法 待 定 系 数 法 教 学 重 点 ： （ p,q为 常 数 ） 的 解法 ； 的 特 解 求 法 0y py qy ( ) xmy py qy p x e 教 学 方 法 ： 讲

2、 授 与 练 习 结 合教 学 难 点 ： ( ) xmy py qy p x e 的 特 解 求 法教 学 手 段 ： 多 媒 体 课 件 与 面 授 讲 解 相 结 合 一 一 . 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构定 义 1 形 如 （ 其 中 p,q为 常 数 （ 41）的 方 程 称 为 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 ， 称 为 自 由 项 ， 特别 地 ， 当 = 0时 ， （ 42） 称 为 二 阶常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 ， 否 则 称 为 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 。定 理 1 如 果 是 方 程 （ 42）

3、的 两个 解 ， 那 么 也 是 （ 42） 的 解 ， 其 中是 任 意 常 数 。 ( )y py qy f x ( )f x( )f x 0y py qy 1 2( ), ( )y x y x 0y py qy 1 1 2 2( ) ( )y c y x c y x 1, 2C C 例 1验 证 都 是 二 阶 常 系 数 线 性 齐次 微 分 方 程 的 解 ， 并 说 明 是 原方 程 的 通 解 。证 ： 将 代 入 方 程左 端 = - -2e-x=e-x+e-x-2e-x=0=右 端所 以 y1=e-x是 方 程 的 解同 理 ， y2=e2x,y3=e1-x也 是 方 程 的

4、 解由 定 理 1可 知 ， 是 原 方 程 的 解 。 因 c 1,c2不 能 合 并为 一 个 常 数 （ 即 c1,c2是 独 立 的 ） 而 方 程 是 二阶 的 ， 因 此 是 方 程 的 通 解 ； 是 方 程的 解 ， 但 =e-x( +C3e)=Ce-x( 其 中 C=C1+C3)即 C 1 , C 3 可 合 并 为 一 个 常 数 ， 因 此 不 是 方程 的 通 解 2 11 2 3, ,x x xy e y ey e 2 0y y y 21 2x xce c e 1 xy e 2 0y y y ( )xe ( )xe 2 0y y y 2 0y y y 21 2x xc

5、e c e 2 0y y y 21 2x xce c e 11 2x xC e C e 11 2x xC e C e 1C 2 0y y y 定 理 2（ 的 解 的 结 构 ） 如 果 函 数 是 方 程 的 两 个 线 性 无 关（ 即 常 数 ） 的 特 解 ， 则 的 通 解 为 （ 其 中 C1,C2为 任 意 常 数 ） 二 . 方 程 的 解 法 特 征 方 程 法由 定 理 2可 知 ， 要 想 求 出 方 程 的 通 解 ， 只需 求 出 它 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 即 可 1 2,x xy y1( )2( )xxyy 0y py qy 1 1( ) 2 2(

6、 )x xy C y C y 0y py qy 0y py qy 设 方 程 的 特 解 为 ： y=erx（ 道 理 阐 明 ）由 =rerx, =r2erx,代 入 方 程 ， 得 (r2+pr+q)erx=0由 erx 0 r2+pr+q=0 可 见 ， r只 要 满 足 r2+pr+q=0， 函 数 y=erx就 是 方 程 的 解 。称 方 程 为 方 程 的 特 征 方程设 为 特 征 方 程 的 两 个 根 。 0y py qy y y 0y py qy 2 0r pr q 0y py qy 1, 2r r 2 0r pr q 若 ,则 就 是 的两 个 线 性 无 关 的 解

7、， 此 时 方 程 的 通解 为若 , 即 r 为 重 根 ， 这 时 得 到 方 程 的 一 个 解 还 需 求 出 一 个 与线 性 无 关 的 解 ， 即 满 足 常 数 ,于 是 可 设 则 代 入 方 程 得 ： 1 2r r 1 21 2,r x r xy e y e 1 21 2r x r xy c e c e 1 2r r r 1 rxy e 1y2y 2y 2 ( )rxy u xe 2 ( ) rxxy u e2 ( ) ( ) 22 ( ) ( ) ( ) rxx x rxx x xy u ru ey u ru r u e 2( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) 0r

8、xx x xu r p u r pr q u e 0y py qy 0y py qy 0y py qy (ii)由 r为 特 征 方 程 的 重 根 及 根 与 余 数 的 关系 ,得这 样 , 数 ， 是 方 程 的 两个 线 性 无 关 的 特 解 ， 因 此 方 程 的 通 解 为 y=(C1x+C2)erx (iii)当 p2-4q0时 ， 特 征 方 程 无 实 根 ， 而 有 一对 共 轭 的 复 数 根 ， 这 时 , 是 方 程 的 两 个 线 性 无 关的 特 解 。 因 此 ， 方 程 的 通 解 为 ： y= = 2 0r pr q 2 02 0r pr qr p 1 1

9、 2( ) 0 ( ) ( )u x u x C u x C x C 2 1 21y C x Cy 常 1, 2y y 2 0r pr q 21 ,i r ir )(, 21)(2)(1 常 数 yyeyey xixi ( ) ( )1 2i x i xC e C e 1 2( cos sin )xe C x C x 0y py qy 例 1 求 + -2y=0的 通 解 解 特 征 方 程 r2+r-2=0特 征 根 为 r1=1,r2=-2因 此 ， 通 解 为 y=C1ex+C2e-2x例 2 求 +6 +9y=0的 满 足 y|x=0,=0, |x=0=-2的 特解 解 特 征 方 程

10、 为 ： r2+6r+9=0 , r1=r2=-3通 解 为 ： y=(C1+C2x)e-3x =(C2-3C1-3C2x)e-3x由 初 始 条 件 ： y| x=0=0 得 C1=0 |x=0=-2 得 C2=2因 此 所 求 特 解 为 ： y=2xe-3x y yy y yy 例 3 求 解 -2 +5y=0 解 ： 特 征 方 程 ： r2-2r+5=0 r=1 2i通 解 为 ： y=ex(C1cox2x+C2sin2x)综 上 ， 求 二 阶 常 系 数 齐 次 微 分 方 程 步 骤 如 下 ：（ 1） 写 出 特 征 方 程 r2+pr+q=0（ 2） 求 出 特 征 根（

11、3） 按 下 表 写 出 通 解 y y 1, 2r r , , 0y py qy 1 21 2r x r xC e C e1 2C C x 1 2( cos sin )xe C x C x r2+pr+q=0的 两 个 根 r1,r2 微 分 方 程 的通 解两 个 不 等 实 根 r1,r2 y=两 个 相 等 实 根 r1=r2=r y=( )erx一 对 共 轭 复 根 r1,2= i y= 三 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 解 的 结 构 方 程 f (x ) （ 41） ( f (x) )的 解 具有 下 列 性 质定 理 3 设 函 数 y是 方 程 （

12、 4-1） 的 一 个 特 解 ， 而 是 相 应的 齐 次 微 分 方 程 0的 通 解 ， 则 方 程 （ 4-1）的 通 解 为 ： y=y*+由 此 定 理 可 得 求 解 方 程 （ 4-1） 的 步 骤 如 下（ 1) 求 相 应 的 齐 次 微 分 方 程 0的 通 解 ;（ 2 )求 f (x )的 一 个 特 解 y*;（ 3)写 出 f (x )的 通 解 ： y= +y* 可 见 ： 求 f (x )通 解 的 关 键 是 求 某 一 个特 解 y*. yy py y y py y y y py y y py y y py y y y py y 下 面 就 自 由 项f

13、(x ) = 给 出 求 特 解 的 方 法 （ 特 定 系 数 法 )设 的 特 解 为 ： y*=Q (x) ，将 其 代 入 原 方 程 ， 可 得(i) 若 不 是 特 征 方 程 的 特 征 根 ，则 应 为 x的 m次 多 项 式 ， 即(其 中 是 待定 系 数 )。将 代 入 方 程 中 ， 比 较 等 式 两 端 x的 同 次 幂 系 数 ， 即可 定 出 待 定 系 数 ,从 而 求 出 2m 0 1 2( ) ( P (x)=a )x mm me P x a x a x a x 其 中y py y ( )x me P x 2(2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) mQ

14、p Q x p p Q x P x xe 2 0r pr q ( )Q x * ( ) xm xy Q e( ) 0 1 ,mm x mQ b b x b x 0 1, , , mb b b 将 代 入 方 程 中 ， 比较 等 式 两 端 x的 同 次 幂 系 数 ， 即 可 定 出 待 定 系数 ,从 而 求 出( )若 是 特 征 方 程 的 单 根 ， 则 满 足这 样 应 为 x的 m次 多 项 式 ， 因 此 可 设 方 程 （ 4-1）的 特 解 为 ： 使 用 （ ） 所 述 方 法 ，求（ ） 若 是 特 征 方 程 的 二 重 根 ，则 ， 是 x的 m次 多 项 式 ，

15、可 设 （ 用 上 述 方 法确 定 的 系 数 ）* * *, ,y y y ( )m xy py qy p e 0 1, , , mb b b y 2 0r pr q ( ) ( ) mQ x P x ( )Q x ( ) (2 ) ( ) ( )mQ x p Q x P x ( )Q x * ( ) xmy x Q x e *y 2 0r pr q ( )Q x* 2 ( ) xmy x Q x e ( )mQ x 综 上 ： 方 程 的 特 解 ： 0 ， 不 是 特 征 根（ 其 中 k= 1， 是 特 征 单 根 2， 是 二 重 根下 面 通 过 例 题 ， 说 明 如 何 用

16、待 定 系 数 法 求的 解 。例 4、 求 的 通 解 。分 析 ： ( ) xmy py qy P x e * ( )k xmy x Q x e ( ) xmy py qy P x e 3 2 3 xy y y x e ( ) 3 , ( x ) 1mP x x 是 的 一 次 多 式 解 ： 是 单 根 ， 设代 入 原 方 程 ， 得 比 较 系 数 ， 得 （ 3） 原 方 程 通 解 为 ： 2 3 2 0r r 1 1r 2 2r 1 * ( ) xy x Ax B e (2 2 ) 3x xAx A b e x e 2 32 0AA B 32A 3B * 23( 3 )2 xy

17、 x x e * 2 21 23( 3 )2 x x xy y y x x e C e C e 例 5 求 的 一 个 特 解 .解 ： （ 1） （ 2） 是 特 征 单 根 ， 设 代 入 方 程 ， 得 比 较 系 数 ， 得 （ 3） 2 1y y x 2 0.r r 1 20, 1r r 0 * 2( )y x Ax Bx C 2 23 2(3 ) 2 1Ax A B x B C x 3 13 02 1AA BB C 1, 1, 33A B C * 3 21 33y x x x 小 结 ： 重 点 （ 1） 的 解 的 结 构 与 求 解方 法 特 征 方 程 法 。 （ 2） 的 求 解 方 法 待定 系 数 法 。 0y py qy ( ) xm xy py qy P e 返 回 第 一 张 幻灯 片