粒子群优化算法是

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1、粒子群优化算法(panicle swarm optimization, PSO)是 kennedy 和 Eberhart 在 研究鸟类和鱼类的群体行为基础上于 1995 年提出的一种群智能算法，其思想米 源予人工生命和演化计算理论,模仿鸟群飞行觅食行为,通过鸟集体协作使群体 达到最优。1. 粒子群算法的原理PSO 中,每个优化问题的解看作搜索空间中的一只鸟(即粒子),所有的粒子 都有一个被优化的函数决定的适应值,并且有一个速度决定它们飞翔的方向和速 率,粒子们追随当前的最优粒子在解空间中搜索。算法首先初始化一群随机粒子, 然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中,粒子通过跟踪两个“极值”即个体

2、极值和全局极值来更新自己的速度与位置。在 D 维目标搜索空间中,由种群数 为m的粒子组成粒子群，其中第f个粒子在第d维的位置为Xid,其飞行速度为 Vid，该粒子当前搜索到的最优位置为Pid(goodvalue)和整个粒子群当前的最优位 置 Pgd(bestvalue)。每维的速度与位置更新公式如下Vid + 1X Vid + C1 X Tand (I)% ( Pid - Xid ) + C 2 X Tand (I)% ( gid - Xid) (JXid + 1二 Xid+vid + 1(2)W为惯性权重，C1和C2为学习因子，rand ()0,1 范围内变化的随机数。2. 参数介绍与设置(

3、 1) ww 是保持粒子运动惯性的参数,能使种群扩展搜索空间,获得较好的求解效 果。较大的 w 有利于群体在更大的范围内进行搜索。而较小的 w 能够保证群体 收敛到最优位置,所以 w 的选择及在迭代中的变化对搜索能力和跳出局优能力 具有重要影响。一般将 w 设定为 0.8 左右。(2)加速因子 c1 和 c2c1 和 c2 用于调整粒子自身经验和社会经验在其运动中的作用,表示将每个 粒子拉向 pbest 和 gbest 位置的随机加速项的权重,低的值允许粒子在被拉回前 可以在目标区域外徘徊 , 而高的值则导致粒子突然冲向或越过目标区域。如果 c1=0, 则粒子没有认知能力。在粒子的相互作用下,

4、能到达新的搜索空间, 但容易 陷入局部极值点; 如果 c2=0, 粒子间没有社会信息共享, 其算法变成一个多起点 的随机搜索; 如果 c1=c2=0, 粒子将一直以当前的速度飞行, 直到到达边界。恰当 地选择 c1 与 c2 能较好的得到最优解,一般都设定为 2。( 3)最大速度 vmaxvmax 决定当前位置与最好位置之间的区域的分辨率(或精度)。如果 vmax 太高, 微粒可能会飞跃最优解; 如果 vmax 太小, 则微粒易陷入局部最优。引入惯 性权重 w 可消除对 vmax 的需要, 因为两者的作用都是维护全局和局部搜索能力 的平衡。当 vmax 增加时, 可通过减小 w 来平衡搜索,

5、而 w 的减小可使得所需的 迭代次数变小。但常常将设定一个最大的 vmax。较好地选择和调整参数能够加大搜索能力,避免 PSO 的早熟现象。3. 算法步骤及设计PSO 的算法框架如下所述:(1) 初始化所有的个体(粒子)，初始化它们的速度和位置，并且将个体的历史 最优 goodvalue 设为当前位置，而群体中最优的个体历史位置作为当前 的全局最优 bestvalue。(2) 在当代的进化中，计算各个粒子的适应度函数值。(3) 如果该粒子当前的适应度函数值比其历史最优值要好，那么历史最优将 会被当前位置所替代。(4) 如果该粒子的历史最优比全局最优要好，那么全局最优将会被该粒子的 历史最优所替

6、代。(5) 对每个粒子按照公式(1)和公式(2)对速度和位置进行更新。(6) 进化代数增加 1，如果还没有到达结束条件，转到(2)步，否则输出全局 最优 bestvalue 并结束。4. 程序设计与仿真(1)程序设计说明采用 MATLAB 软件编程，程序粒子种群个数设定为 20 个，搜索范围为全局版本 终止条件是粒子都到达最优点。(2)函数f i = (x + 2)x(x-3) + (y-4)x(y-2)，其图形如图 2 所示，其在 x=0.5, y=3.处有最小值f=-7.25.运行程序大约迭代220步,就可以让所有的粒子到达最优 点。图3中坐标图从左到右从上到下分别为初始化种群的位置、k=

7、50的粒子位 置、 k=100 的粒子位置及迭代结束粒子的位置.从图中可见能够搜索到最优点。图 2 f1 三维图形图 3 仿真粒子位置图(3)Rastrigin 函数 f 2 = (x.- 1A2-10xcos(2x兀 xx.) +10)，当 n=2 时，为二维图1=1形如图4所示，在x1=0，x2=0.处有最大值f=0；在程序中取相反数求其最小值， 迭代 k=670 步左右将可以将所有的粒子推向一点最优点。取前十个粒子的位 置如图 5，可知可以快速地得到满意的最优解，且能够跳出局优。-4-4图 4 f2 函数 n=2 三维图形粒子 1 位置：x=0. 0083, y=0. 0038 粒子2位

8、置；x=-0. 0000, y=0. 0000 粒子3位置；x=0. 0000, v=0. 0000 粒子4位置；x=-0. 0000, v=0. 0000 粒子5位置：x=-0. 0000, v=0. 0000 粒子6位置：x=0. 0000t v=0. 0000 粒子了位置：x=0. 0000, v=0. 0000 粒子8位置：x=0. 0000, v=-0. 0000 粒子9位置：x=0. 0000, v=0. 0000 粒子 10位置：x=-0. 0000, v=0. 0000图 5 粒子位置坐标(4)rosenbrock 函数：f 3 = (100匕_ 1 -x.)2 + (x._

9、1)2),x. g-10,10.当 n=2 时，函数i=1x 10-10 -10为二维，当x1=x2=1时有最小值f=0,其图形如图6,可知在最优点附近，函数 值下降很慢，利用将所有粒子推向一点终止条件，大约迭代 k=1200 次左右结束。 可以从坐标图中（图 7）看到粒子的在迭代过程中位置。图 6 f3 函数 n=2 三维图形图 7 粒子坐标位置当 n=5 时，即是 5 维的 rosenbrock 函数，当 x1=x2=x3=x4=x5=1 时有最小值 f=0. 采用粒子推向一点作为终止条件，运行程序迭代 10 万次（人为设定）后，全局 最优值已到了理想值（f=o）但此时粒子的位置还是相离较

10、远，且运行时间较长（大约一分钟），考虑程序目的就是找到最优值，而不是让所有粒子到达一点， 因此采用迭代次数作为程序终止条件。依次增大设定的迭代次数观察运行结果， 如下表1表 1 取不同迭代次数最优点迭代次数k全局最优点位置x1 x2 x3 x4 x5最优解10000.07940.28190.52540.72670.85300.841530000.37180.61260.78320.88510.94070.215150000.57510.75830.87100.93280.96450.0816100000.70640.84130.91650.95720.97840.0348500000.9937

11、0.99690.99840.99920.99960.00001000000.99991.00001.00001.00001.00000.0000由表中可知，随着维数的增加，虽然迭代过程也是收敛的，但寻找最优点很难， 前已述及，PSO的搜索能力与参数设置有关，且全局版本相对局部版本有较差的 跳出局优的能力。为此若要增加搜索能力、提高迭代次数需要考虑改进参数和更 换局部版本搜索方式。5. 程序代码(1)主函数：clearclchold offpsize=20;%粒子个数的设置pd=5;%粒子的维数lz=zeros(psize,pd);for i=1:psize%粒子群随机生成。psize行pd列，

12、pd维。lz(i,:)=rand(1,pd).*20-10;%【-1010 之间】endlv=lz;lzfigure=lz;%画初始图用goodvalue=lz;%每个粒子自己历史最好值初始化,psize行pd列vmax=20;%速度上限c1=2;c2=2;%学习因子w=0.729;%随机因子和惯性因子。ri=0;bestvalue=zeros(1,pd);%全局最好值初始化，1行pd列for j=1:pdbestvalue(1,j)=goodvalue(1,j);endfnew=zeros(1,psize);for j=1:psizefnew(j)=fpso(lz(1,:);endfold=

13、fnew;flagstop=0;%终止标志k=0;%迭代次数记录fO=fpso(bestvalue);%适应值初始化(默认)while flagstop=0%*.1.*for i=1:psize%适应值比较，更新各自历史最好值(位置)fn ew(i)=fpso(lz(i,:);%记录每次每个粒子的适应值，便于以后设置终止条件if fnew(i)fold(i)fold(i)=fnew(i);%fold 记录每个粒子的最好历史值for j=1:pdgoodvalue(i,j)=lz(i,j);endendendfor i=1:psize%每个粒子历史最好值相比较，更新全局最好值(及各维) f1=f

14、old(i);if f1f0f0=f1;for j=1:pdbestvalue(1,j)=goodvalue(i,j); endendend%* 粒子趋一点终止条件*%flagstopO=max(abs(fold);%比较当次的所有粒子的适应值，%flagstop1=mi n(abs(fold);%若它们之间差别较小，则可停止。% if (flagstop0-flagstop1)1000 %迭代次数过大，强制终止，以防陷入死循环flagstop=1; end%*速度和位置更新 *for j=1:pdfor i=1:psize lv(i,j)=w.*lv(i,j)+(c1*rand(1).*(g

15、oodvalue(i,j)-lz(i,j).+(c2*ra nd(1).*(bestvalue(1,j)-lz(i,j);% 更新速度 if lv(i,j)vmax%速度最大值约束lv(i,j)=vmax;endlz(i,j)=lz(i,j)+lv(i,j);% 更新粒子位置endend%*% ri=ri+1;% rivalue(ri)=f0;% if ri=5000%ri=0;%flagstop0=max(abs(rivalue);%flagstop1=min(abs(rivalue);%if (flagstop0-flagstop1)0.001 flagstop=1; end % end%

16、*画图*%if k=0 %画出初始粒子的位置 subplot(2,2,1);t=1:psize; plot(lzfigure(t,1),lzfigure(t,2),*); axis(-10,10,-10,10);endfor j=2:3%分别画出迭代300次和600次粒子的位置 if k=300*jsubplot(2,2,j); t=1:psize;% gtext(k=600); plot(lz(t,1),lz(t,2),*); axis(0,10,0,10);endendif flagstop=1 %画出终止时粒子的位置 subplot(2,2,4);t=1:psize; plot(lz(t

17、,1),lz(t,2),*); axis(0,10,0,10);end%* k=k+1;endfprintf(总迭代次数：k=%ld。n：k-1);fprintf(每个粒子的历史最好值：n);for i=1:psizefpri ntf(粒子 %d：%6.4f,%6.4fn,i,goodvalue(i,1),goodvalue(i,2);endfprintf(全局最好值：%6.4f,%6.4f.n,bestvalue(1,1),bestvalue(1,2); fprintf(最优解(最大值)：%6.4f.n,fpso(bestvalue(1,:);for j=1:20fprintf(粒子d 位置

18、:,j); fprintf(x=%6.4f，y=%6.4f,lz(j,1),lz(j,2); fprintf(n) ;end (2)调用函数： function fvalue=fpso(x)%fvalue=(x(1)+2)*(x(1)-3)+(x(2)-4)*(x(2)-2);%f1pd=5；%粒子的维数%*f3*fvalue=0；for r=1:(pd-1) f0=100*(x(r)-x(r+1)A2F2+(x(r+1)-lF2;fvalue=fvalue+f0；end%*%fvalue=(x(1)-2)*(x(1)-2.5)+(x(2)-4)*(x(2)-5);% for r=1:pd%f0=(x(r)*sin(sqrt(abs(x(r);%fvalue=fvalue+f0;% end%fvalue=x(1)A2+2*x(2)A2-0.3*cos(3*pi*x(1)+4*pi*x(2)+0.3;%fvalue=-(3/(0.05+x(1)A2+x(2)A2)A2+(x(1)A2+x(2)A2)A2;%fvalue=-(-(x(1)A2-10*cos(2*pi*x(1)+10)-(x(2)A2-10*cos(2*pi*x(2)+10);%f2 end