四讲曲线曲面插值与拟合方法次课

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1、第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法1第四讲 插值与拟合之插值(上)内容：内容：插值是离散函数逼近的重要方法，利用它插值是离散函数逼近的重要方法，利用它 可通过函数在有限个点处的取值状况，估可通过函数在有限个点处的取值状况，估 算出函数在其他点处的近似值算出函数在其他点处的近似值目的：目的：学习插值的基本思想和方法，掌握学习插值的基本思想和方法，掌握Matlab 的一维的一维/二维等距和非等距插值函数二维等距和非等距插值函数要求：要求：掌握掌握Matlab插值函数，处理插值应用问题插值函数，处理插值应用问题了解拉格朗日和分段线性插值的基本思想了解拉格朗日和分段线性插值

2、的基本思想了解三次样条插值的提法和思路了解三次样条插值的提法和思路掌握插值函数掌握插值函数 interp interp1 interp2 griddata掌握水塔用水量的计算掌握水塔用水量的计算(-体积体积-流速流速-积分积分)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法2关于插值与拟合的区别 面对工程实践和科学计算中的采集得到数据面对工程实践和科学计算中的采集得到数据(xi,yi)，我们总是试图去揭示我们总是试图去揭示x与与y之间的关系之间的关系，即用近似的即用近似的y=f(x)来表示，那么我们通常可以采用来表示，那么我们通常可以采用两种方法：两种方法：插值与拟合插值与拟合

3、 插值与拟合的插值与拟合的区别区别在于在于插值试图去通过插值试图去通过已知点已知点了解了解未知未知点点处的函数值；而拟合则在于在处的函数值；而拟合则在于在整体上用某种整体上用某种已知函数已知函数去拟合数去拟合数据点列所在据点列所在未知函数未知函数的性态。的性态。关键区别关键区别在于插值要求在于插值要求必须经过必须经过已知点列，拟已知点列，拟合只求合只求尽量靠近尽量靠近不必经过！拟合将在本讲下介绍不必经过！拟合将在本讲下介绍第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法3引例引例1 函数查表问题：函数查表问题：已知标准正态分布函数表，求已知标准正态分布函数表，求表中没有的值表中没

4、有的值 (2.34)=0.99036 (2.35)=0.99061求求(2.3457)(2.35-2.3457)/(2.35-2.34)*(2.34)+(2.3457-2.34)/(2.35-2.34)*(2.35)引例引例2 地图绘制问题：地图绘制问题：假如我们在地图边界获取了一些边界点的坐标，连假如我们在地图边界获取了一些边界点的坐标，连接这些边界点形成闭合曲线，可以用来近似表示真接这些边界点形成闭合曲线，可以用来近似表示真实边界线，如何实边界线，如何更准确地逼近更准确地逼近真实边界线？真实边界线？函数查表与地图边界线绘制(2.3457)=？第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟

5、拟合合方方法法4如何更准确地逼近真实边界线？第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法5插值在数码图像放大中的应用引例引例3 图像插值放大：图像插值放大：数码相机运用插值的方法可以数码相机运用插值的方法可以创造出创造出比传感器实际比传感器实际像素更多的图像，这种处理称为像素更多的图像，这种处理称为“数码变焦数码变焦”。106*40原始图像：原始图像：左边：左边：最近邻插值最近邻插值放大放大450%右边：右边：双三次插值双三次插值放大放大450%第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法6插值在图像三维重建中的应用Surface recostruction

6、 from scattered points cloud 第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法7分段线性插值和拉格朗日插值分段线性插值：分段线性插值：用直线用直线(线性线性)连接数据点列上相邻的两点。连接数据点列上相邻的两点。比如比如在两点在两点xi-1,xi上线性插值函数为上线性插值函数为拉格朗日插值：拉格朗日插值：用用n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式连接数据点列上相邻的连接数据点列上相邻的n+1个点。个点。Pszjs71第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法8拉格朗日插值基函数的构造比如比如 在三个点在三个点x0,x1,x2上上l

7、agrange插值函数为插值函数为(线性插值线性插值是拉格朗日插值是拉格朗日插值最简单最简单的情形的情形)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法9分段三次埃尔米特插值条件数分段三次埃尔米特插值：分段三次埃尔米特插值：线性插值线性插值在每一小段上在每一小段上(两点之间两点之间)，用到，用到2个个条件条件q(xi)=yi，所以确定了一个所以确定了一个线性线性插值函数；插值函数；三次埃尔三次埃尔米特插值米特插值在每一小段上，用到在每一小段上，用到4个个条件条件q(xi)=yi，q(xi)=yi,所以确定一个所以确定一个3次多项式次多项式插值函数。插值函数。分段插值主要是为了避

8、免高次插值可能出现的分段插值主要是为了避免高次插值可能出现的大幅度振荡大幅度振荡现象，在实际应用中通常采用分段低现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来次插值来提高近似程度提高近似程度，比如可用分段线性插值，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的们的总体光滑性较差总体光滑性较差，为了克服这一缺点，三次，为了克服这一缺点，三次样条插值成为比较理想的工具。样条插值成为比较理想的工具。第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法10三次样条(spline)插值的概念 样条的概念出自工程设计和机械加工样条的概念出自

9、工程设计和机械加工(飞机、船飞机、船舶外形曲线设计舶外形曲线设计)中的绘图工具中的绘图工具(曲线尺曲线尺)，简单说，简单说就是具有就是具有连续二阶导数的三次插值多项式函数连续二阶导数的三次插值多项式函数。第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法11三次样条(spline)插值的条件数 首先从段数首先从段数n=2分析：我们知道在每一小段的分析：我们知道在每一小段的三次多项式有三次多项式有4个系数，所以如下图，总共需要有个系数，所以如下图，总共需要有4*2=8个方程来确定；个方程来确定；由由q(xi)=yi可以确定可以确定2*2=4个个方程，又由内部节点方程，又由内部节点q1

10、(xi)=q2(xi)和和q1(xi)=q2(xi)可以确定可以确定2*(2-1)=2个方程，看来剩下的个方程，看来剩下的8-(4+2)=2个方程只有靠个方程只有靠外部给定外部给定(边界条件边界条件)了了q1q2x0 x1x2第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法12一维曲线等距插值函数interpinterps syntaxOne-dimensional r times longer data interpolation y=interp(y,r)题例题例 在原始数据点中增倍插值在原始数据点中增倍插值x=0:0.001:1;y=sin(2*pi*30*x)+sin(2

11、*pi*60*x);yi=interp(y,4);subplot(1,2,1);stem(y(1:30);title(Original Points);subplot(1,2,2);stem(yi(1:120);title(Interpolated Points);第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法13一维曲线等距插值函数interp1interp1s syntaxOne-dimensional data interpolation yi=interp1(x,y,xi,method)nearest Nearest neighbor interpolationline

12、ar Linear interpolation(default)spline Cubic spline interpolationcubic Piecewise cubic Hermite interpolation题例题例 在一天在一天24小时内小时内,从零点开始每间隔从零点开始每间隔2小时测小时测得的环境温度，推测在得的环境温度，推测在15点点6分的的温度分的的温度x=0:2:24;y=12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13;plot(x,y,-ro);hold on;xi=15.1;yi=interp1(x,y,xi,spline),xi=0:1/360

13、0:24;yi=interp1(x,y,xi,spline);plot(xi,yi,b-);第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法14二维曲面等距插值函数interp2interp2s syntaxTwo-dimensional data interpolation ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)nearest Nearest neighbor interpolationlinear Bilinear interpolation(default)spline Cubic spline interpolationcubic Bicubuc i

14、nterpolation第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法15二维曲面等距插值函数interp2动画展示：三维空间中的曲面等距格点动画展示：三维空间中的曲面等距格点第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法16二维曲面等距插值函数interp2题例题例 粗糙山顶曲面的平滑处理粗糙山顶曲面的平滑处理(等距情形等距情形)load mountain.mat%载入山顶地形数据载入山顶地形数据mesh(x,y,z)%绘制原始山顶地形图绘制原始山顶地形图xi=linspace(0,5,50);yi=linspace(0,6,80);xii,yii=meshg

15、rid(xi,yi);zii=interp2(x,y,z,xii,yii,spline);%三次样条插值三次样条插值figure;surf(xii,yii,zii)%绘制平滑处理后的山顶曲面绘制平滑处理后的山顶曲面hold on;xx,yy=meshgrid(x,y);plot3(xx,yy,z+0.1,ob);第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法17二维曲面等距插值函数interp2题例题例 粗糙山顶曲面的平滑处理粗糙山顶曲面的平滑处理(等距情形等距情形)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法18二维曲面散乱插值函数griddatagridd

16、atas syntaxData interpolation for scattered points ZI=griddata(x,y,z,XI,YI)XI,YI,ZI=griddata(x,y,z,xi,yi).=griddata(.,method)linear Triangle-based linear interpolationcubic Triangle-based cubic(default)nearest Nearest neighbor v4 MATLAB 4 griddata methodMATLAB二维插值函数二维插值函数griddata，可以将平面或曲面上的可以将平面或曲面上

17、的散乱点散乱点插值为插值为规则网格规则网格第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法19二维曲面散乱插值函数griddata题例题例 粗糙山顶曲面的平滑处理粗糙山顶曲面的平滑处理(散乱情形散乱情形)rand(seed,0)x=rand(100,1)*4-2;y=rand(100,1)*4-2;z=x.*exp(-x.2-y.2);plot3(x,y,z,o);hold onti=-2:.25:2;XI,YI=meshgrid(ti,ti);ZI=griddata(x,y,z,XI,YI);mesh(XI,YI,ZI);第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方

18、方法法20二维曲面散乱插值函数griddata题例题例 墨西哥草帽的平滑处理墨西哥草帽的平滑处理(散乱情形散乱情形)x=rand(100,1)*16-8;y=rand(100,1)*16-8;r=sqrt(x.2+y.2)+eps;z=sin(r)./r;plot3(x,y,z,.,MarkerSize,15)hold onxlin=linspace(min(x),max(x),33);ylin=linspace(min(y),max(y),33);X,Y=meshgrid(xlin,ylin);Z=griddata(x,y,z,X,Y,cubic);mesh(X,Y,Z);axis tigh

19、t;第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法21南半球气旋变化的可视图形第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法22山区地貌的可视化图形第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法23水塔用水量估计通用程序通用程序通用程序tbp69.m可近似计算时间段内的用水量可近似计算时间段内的用水量格式为：格式为：tbp69(ts,tf)其中其中ts为起点时间，为起点时间，tf为终点时间为终点时间第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法24实验一：水塔用水量估计Thats all3Q!第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插

20、值值与与拟拟合合方方法法25第四讲 插值与拟合之拟合(下)内容：内容：拟合是离散函数逼近的重要方法，利用它拟合是离散函数逼近的重要方法，利用它 可通过函数在有限个点处的取值状况，可通过函数在有限个点处的取值状况，拟拟 合出近似替代函数，合出近似替代函数，进而估算出函数在其进而估算出函数在其 他点处的近似值。他点处的近似值。目的：目的：学习拟合的基本思想和方法，掌握学习拟合的基本思想和方法，掌握Matlab 的多项式的多项式/一般拟合函数一般拟合函数/曲线拟合工具箱曲线拟合工具箱要求：要求：掌握掌握Matlab拟合函数，处理拟合应用问题拟合函数，处理拟合应用问题了解基于最小二乘法则拟合的基本思想

21、了解基于最小二乘法则拟合的基本思想掌握拟合函数掌握拟合函数 polyfit lsqcurvefit curvefit掌握掌握cftool曲线拟合工具箱曲线拟合工具箱(多目标函数多法则多目标函数多法则)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法26关于数据拟合的两个要素.在工程实践和科学计算中，用某种在工程实践和科学计算中，用某种经验函数经验函数解解析式析式y=f(x)来近似刻画来近似刻画采集数据采集数据(x,y)之间的关系之间的关系的方法就叫拟合，所谓的方法就叫拟合，所谓“拟合拟合”有有“最贴近最贴近”之之意意。与插值不同，拟合的主要目与插值不同，拟合的主要目标是要离散点标

22、是要离散点尽量靠近尽量靠近拟合函拟合函数。一般过程是，我们首先根数。一般过程是，我们首先根据采样点的散点分布图，大致据采样点的散点分布图，大致推测推测x与与y之间的之间的经验函数经验函数形式形式(比如多项式、指数函数等比如多项式、指数函数等)，然后依据然后依据某种法则某种法则(比如最常用的最小二乘法则比如最常用的最小二乘法则)，确定出的经验函数解析式中的待定参数。其中，确定出的经验函数解析式中的待定参数。其中经验函数经验函数和和拟合法则拟合法则是拟合的两个关键要素！是拟合的两个关键要素！第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法27引例引例 1 化合物浓度随时间变化的规律：

23、化合物浓度随时间变化的规律：与插值面临的问题相似，我们被要求去与插值面临的问题相似，我们被要求去求解或求解或预测预测表格中没有的因变量对应值，与插值的解决思表格中没有的因变量对应值，与插值的解决思路不同，我们试图获得路不同，我们试图获得比较完备比较完备的解决方案：设计的解决方案：设计并求出离散数据点的近似替代函数，有了近似函数并求出离散数据点的近似替代函数，有了近似函数解析式，就可以进一步代值计算或作图分析。解析式，就可以进一步代值计算或作图分析。为为了了揭揭示示浓浓度度y与与时时间间t之之间间呈呈现现的的函函数数规规律律，我们首先作出散点图，帮助我们首先作出散点图，帮助分析和设计分析和设计经

24、验函数经验函数化合物浓度随时间变化的规律第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法28化合物浓度随时间变化的规律如图如图,化合物浓度化合物浓度y随时间随时间t大致呈抛物线状（二次大致呈抛物线状（二次函数）变化，这种分析和判断来自函数）变化，这种分析和判断来自已有经验已有经验.t=1:16;c=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;plot(t,c,-ro)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法29化合物浓度随时间变化的规律经验函数形式：经验函数形

25、式：已经拟定为多项式函数：已经拟定为多项式函数：y=at2+bt+c剩下的工作是确定拟合原则：剩下的工作是确定拟合原则：可选的法则很多，其中最常用的是最小二乘法则可选的法则很多，其中最常用的是最小二乘法则(method of Least Squares)，即，即各点偏差平方和最小各点偏差平方和最小高斯和勒让德关于最小二乘法的发明权第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法30化合物浓度随时间变化的规律对经验函数形式确定的补充说明：对经验函数形式确定的补充说明：拟合函数解析式选用拟合函数解析式选用什么形式什么形式(用多项式，还是用多项式，还是用幂函数用幂函数?)，主要取决于，

26、主要取决于采样点的分布采样点的分布无疑，那么无疑，那么如何求出这些含有待定参数的解析式呢？如何求出这些含有待定参数的解析式呢？把各点偏把各点偏差的平方和最小作为一个目标函数，实际上考虑为差的平方和最小作为一个目标函数，实际上考虑为极值问题，极值点导数为零。极值问题，极值点导数为零。具体计算时，我们在具体计算时，我们在把经验函数用一系列把经验函数用一系列拟合基函数拟合基函数线性表出同时，在线性表出同时，在j个采样点对待定参数个采样点对待定参数Cj求偏导求偏导(=0),获取获取j个方程，个方程，进而解出进而解出Cj，具体参见数值计算具体参见数值计算SZJSp9091 在本例中，已经拟定拟合的目标函

27、数为多项式在本例中，已经拟定拟合的目标函数为多项式函数：函数：y=at2+bt+c，所以只要解出三个待定参数所以只要解出三个待定参数a,b,c，问题即获解决问题即获解决第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法31基于最小二乘的多项式拟合函数基于最小二乘的多项式拟合函数基于最小二乘的多项式拟合函数polyfit：Polynomial curve fitting.Syntax：p=polyfit(x,y,n)其中其中n是拟合多项式的阶数，是拟合多项式的阶数，不能超过不能超过（散点数据对数（散点数据对数-1）下面回到化合物浓度随时间变化的引例：下面回到化合物浓度随时间变化的引例

28、：t=1:16;c=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;plot(t,c,ko);hold on;%作散点图作散点图p2=polyfit(t,c,2);y2=poly2str(p2,t),%作多次拟合比较作多次拟合比较p5=polyfit(t,c,5);y5=poly2sym(p5,t),f=inline(y5)ti=0:.001:20;plot(ti,polyval(p2,ti),b-,ti,f(ti),r-);disp(化合物在刻度化合物在刻度11.2的浓度的浓度近似值近似值为为,n

29、um2str(f(11.2)disp(化合物在刻度化合物在刻度17.8的浓度的浓度预测值预测值为为,num2str(f(17.8)stem(11.2 17.8,f(11.2)f(17.8),r);xlabel(时间时间t);ylabel(化合物浓度化合物浓度c);title(化合物浓度随时间变化的规律化合物浓度随时间变化的规律)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法32引例引例 2 确定医用薄膜渗透率的数学模型：确定医用薄膜渗透率的数学模型：某种医用薄膜允许一种物质分子某种医用薄膜允许一种物质分子从高浓度溶液从高浓度溶液VB穿过薄膜向低浓度穿过薄膜向低浓度溶液溶液VA中

30、扩散。中扩散。通过单位面积膜通过单位面积膜S分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，度差成正比，比例系数比例系数K表示薄膜表示薄膜被该物质分子穿透的能力，称为被该物质分子穿透的能力，称为渗透率渗透率，定时测量定时测量薄膜薄膜VB侧的溶液浓度值侧的溶液浓度值CB，以此确定，以此确定K的值的值VA=VB=1000cm3,S=10cm2,容器的容器的B部分溶液浓部分溶液浓度度CB的测试结果如下表的测试结果如下表：(CB单位为单位为mg/cm3)确定医用薄膜渗透率的数学模型第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法33确定医用薄膜渗透率的数学模型由质

31、量守恒考察由质量守恒考察 t,t+t 时间段时间段B向向A中渗透物质：中渗透物质：VA*CA(t+t)-VA*CA(t)=SKCB(t)-CA(t)t 推出推出dCA(t)/dt=SK/VA*CB(t)-CA(t)两边除以两边除以t,令令t0又由质量守恒考察整个容器中物质总量始终不变：又由质量守恒考察整个容器中物质总量始终不变：VA*CA(t)+VB*CB(t)=VA*aA+VB*aB 推出推出CA(t)=aA+VB/VA*aB-VB/VA*CB(t)代入上式代入上式2 推出推出dCB(t)/dt=-SK(1/VA+1/VB)CB(t)+SK(aA/VB+aB/VA)CB(0)=aB 初值条件

32、初值条件 此带初值微分方程可由此带初值微分方程可由dsolve求解求解在上式中，已知的包括在上式中，已知的包括VA，VB，S以及一组以及一组t和和CB(t)值值未知的包括未知的包括aA，aB，K，下面通过数据拟合确定渗透率，下面通过数据拟合确定渗透率K第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法34确定医用薄膜渗透率的数学模型在上式中，代入已知值在上式中，代入已知值VA=VB=1000cm3，S=10cm2令令a=(aA*VA+aB*VB)/(VA+VB)，b=VA(aB-aA)/(VA+VB)简化之后的表达式为：简化之后的表达式为：CB(t)=a+b*exp(-0.02*k

33、*t)编写被调编写被调M文件文件 tbp79.m function CB=tbp79(x,t)CB=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*t);编写主调编写主调M文件文件 fittbp79.m（片段）（片段）x=curvefit(tbp79,x0,t,CB)%curvefit拟合及图像拟合及图像x=lsqcurvefit(tbp79,x0,t,CB)%lsqcurvefit拟合及图像拟合及图像求解结果：求解结果：a=x(1)=0.0070;b=x(2)=-0.0030;k=x(3)=0.1012进一步求解：进一步求解：aA=0.01；aB=0.004最终数学模型：最终数学模型：CB

34、(t)=0.007-0.003*exp(-0.002*t)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法35基于最小二乘的一般拟合函数基于最小二乘的一般拟合函数基于最小二乘的一般拟合函数lsqcurvefit：Solve nonlinear curve-fitting(data-fitting)problems in the least-squares sense.Syntax：x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x,resnorm=lsqcurvefit(.)范例范例:function F=myfun(x,xdata)F=x(1)*xdata.2

35、+x(2)*sin(xdata)+x(3)*xdata.3;%下面是主调函数下面是主调函数fitmyfun.m的部分的部分xdata=3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4;ydata=16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3;x0=10,10,10;%Starting guessx,resnorm=lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法36MATLAB工具箱的版本更新.同名升级同名升级换名升级换名升

36、级第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法37CFTool曲线拟合工具箱简介 基于基于MATLAB的曲线拟合问题，已经提供独立的曲线拟合问题，已经提供独立的的toolbox供调用，该供调用，该toolbox采用采用GUI界面，功能界面，功能强大，下面简单介绍如何使用该强大，下面简单介绍如何使用该Toolbox解决一般解决一般曲线拟合问题。曲线拟合问题。在在command window中键入指令中键入指令cftool即可启即可启动曲线拟合工具箱。在该集成环境里面，可以实现动曲线拟合工具箱。在该集成环境里面，可以实现多种经验函数，多种法则多种经验函数，多种法则的曲线拟合，实时

37、绘制图的曲线拟合，实时绘制图像并进行误差分析。像并进行误差分析。需要注意需要注意的是：在进入的是：在进入Curve Fitting Toolbox环境进行曲线拟合之前，需要环境进行曲线拟合之前，需要预先预先在在workspace输输入或载入供拟合的入或载入供拟合的数据源数据源第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法38CFTool-选择Data导入数据下面还是以引例的采样数据为例，进行演示：下面还是以引例的采样数据为例，进行演示：t=1:16;y=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10

38、.58 10.6;cftool导入数据导入数据绘制散点图绘制散点图第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法39CFTool-选择Fitting拟合数据进行拟合进行拟合拟合方法拟合方法结果和误差分析结果和误差分析 这里可供选择的这里可供选择的拟合类型拟合类型和和可选参数可选参数比较多比较多,包括多项包括多项式函数式函数,指数函数指数函数,幂函数等幂函数等,如何确定如何确定最优的方案最优的方案？第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法40CFTool-拟合效果评价指标SSE-The sum of squares due to error.This sta

39、tistic measures the deviation of the responses from the fitted values of the responses.A value closer to 0 indicates a better fit.R-square-The coefficient of multiple determination.This statistic measures how successful the fit is in explaining the variation of the data.A value closer to 1 indicates

40、 a better fit.Adjusted R-square-The degree of freedom adjusted R-square.A value closer to 1 indicates a better fit.It is generally the best indicator of the fit quality when you add additional coefficients to your model.RMSE-The root mean squared error.A value closer to 0 indicates a better fit.第第四四

41、讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法41CFTool-选择Analysis分析数据分析数据分析数据 这里可以计算拟合函数在这里可以计算拟合函数在采样点的一阶二阶导函数值，采样点的一阶二阶导函数值，并绘制相应的函数图像并绘制相应的函数图像第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法42CFTool-拟合薄膜渗透数学模型导入数据：导入数据：load bmstl.matcftool拟合数据：拟合数据：syms a b c d tf=a*exp(b*t)+c*exp(d*t)cbvst=subs(f,a,b,c,d,0.008839,-0.0001336,-0.004818,-0.001422);f=inline(cbvst)figuret=100:1:1000;plot(t,f(t),b-)第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法43CFTool-拟合薄膜渗透数学模型分析数据：分析数据：第第四四讲讲 曲曲线线曲曲面面的的插插值值与与拟拟合合方方法法44实验一：P87 Malthus人口模型实验二：P87 旧车价格预测Thats all3Q!