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1、4.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据前前面面介介绍绍的的几几种种稳稳定定性性判判据据，都都是是基基于于系系统统的的状状态态方方程程、微微分分方方程程、传传递递函函数数等等参参数数模模型型。工工程程上上采采用用系系统统的的频频率率特特性性等等实实验验数数据据来来分分析析、设设计计系系统统。1932年年，美美国国Bell实实验验室室的的奈奈奎奎斯斯特特提提出出了了这这样样一一种种方方法法。这这种种方方法法是是以以系系统统的的开开环环幅幅相相频频率率特特性性曲线判别系统的稳定性曲线判别系统的稳定性，称为，称为奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据。奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据的的数数学学基基础础是
2、是复复变变函函数数理理论论中的幅角原理，或称为映射定理。中的幅角原理，或称为映射定理。4.4.1幅角原理幅角原理设设为为一一单单值值复复变变函函数数，其其零零极极点点图图如如图图4.5(a)所所示示。在在S平平面面上上取取一一封封闭闭曲曲线线，记记为为，要要求求不不通通过过F(s)的的任任一一极极点点和和零零点点。设设包包围围了了F(s)的的Z个个零零点点和和P个个极极点点。记记在在F平平面面上上的的映映射射为为，因因为为F(s)为为一一单单值值复复变变函函数数，所所以以，是是惟惟一一的的，也也是是一一个个封闭曲线，如图封闭曲线，如图4.5(b)所示。所示。幅幅角角原原理理：若若包包围围了了F
3、(s)的的Z个个零零点点和和P个个极极点点，当当s顺顺时时针针沿沿取取值值时时，绕绕F平平面面的的原点的圈数原点的圈数N为：为：N=Z-P(4.67)其其中中 的的参参考考方方向向为为顺顺时时针针方方向向,即即当当 顺顺时针绕时针绕F F平面的原点平面的原点|N|N|圈时，圈时，N0;N0;当当逆逆时时针针绕绕平平面面的的原原点点|N|圈圈时时，N1时时，,，系统是系统是稳定稳定的。的。当当k1时时，,，系系统是统是不稳定不稳定的，有的，有两个闭环极点在右半两个闭环极点在右半S平面平面。当当k=0时时，奈奈氏氏曲曲线线穿穿越越点点，系系统统是是临临界界稳稳定定的。的。上上面面讨讨论论的的都都是
4、是假假设设G(s)与与H(s)没没有有零零、极极点点对对消消的的情情况况。由由于于奈奈奎奎斯斯特特稳稳定定判判据据是是基基于于系系统统的的开开环环传传递递函函数数来来分分析析系系统统稳稳定定性性的的，所所以以，当当G(s)与与H(s)存存在在零零、极极点点对对消消时时，如如果果直直接接应应用用奈奈氏氏判判据据分分析析系系统统的的稳稳定定性性，可可能能会会得得到到错错误误的的结结果果。下下面面用用一一个个例例子子说说明明G(s)与与H(s)有零、极点对消时的处理方法。有零、极点对消时的处理方法。例例4.28控控制制系系统统如如图图4.13所所示示，用用奈奈氏氏判据判别系统稳定性。判据判别系统稳定
5、性。解解在该系统中，系统的开环传递函数为在该系统中，系统的开环传递函数为:由由奈奈氏氏稳稳定定判判据据或或者者其其它它判判据据，很很容容易易判判别别该该系系统统是是稳稳定定的的。但但实实际际上上，系系统统的的闭闭环环传传递递函函数为数为:可可见见，系系统统在在右右半半S平平面面的的闭闭环环极极点点，一一部部分分由由开开环环传传递递函函数数决决定定，另另一一部部分分是是对对消消掉掉的的不不稳稳定定的的开开环环极极点点s=1，所所以以，系系统统有有1个不稳定的闭环极点个不稳定的闭环极点。ll因此，当G(s)与H(s)存在零、极点对消时,先根据开环传递函数,用奈氏稳定判据得到在右半S平面的闭环极点数
6、,然后再加上对消掉的不稳定的开环极点数，就得到系统在右半S平面的闭环极点的总数。l4.4.4 相对稳定性分析前前面面介介绍绍的的稳稳定定判判据据是是分分析析系系统统是是否否稳稳定定，称称为为绝绝对对稳稳定定性性分分析析。对对于于实实际际的的控控制制系系统统，不不仅仅要要求求稳稳定定，而而且且要要求求具具有有一一定定的的稳稳定定裕裕度度。确确定定系系统统的的稳稳定定裕裕度度，称称为为相相对对稳稳定定性性分分析析。在在奈奈氏氏图图上上，不不仅仅可可以以分分析析系系统统的的绝绝对对稳稳定定性性，即即判判别别系系统统是是否否稳定，而且能分析系统的相对稳定性，即确定系统的稳定裕度。稳定，而且能分析系统的
7、相对稳定性，即确定系统的稳定裕度。如如何何度度量量系系统统的的稳稳定定程程度度？由由奈奈氏氏判判据据可可知知，位位于于临临界界点点附附近近的的开开环环幅幅相相曲曲线线即即奈奈氏氏曲曲线线，对对系系统统的的稳稳定定性性影影响响最最大大。奈奈氏氏曲曲线线越越是是接接近近临临界界点点(-1,j0)，系系统统的的稳稳定定程程度度越越差差。因因此此，可可以以将将奈奈氏氏曲曲线线与与临临界界点点的的距距离离，作作为为相相对对稳稳定定性性的的度度量量。通通常常用用相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度或或两两个个值值，度度量量奈奈氏氏曲曲线线与与临临界界点点的的距离。距离。下下面面首首先先定定义义相相位位穿穿
8、越越频频率率和和增增益益穿穿越越频率频率。使使开开环环频频率率特特性性的的相相角角为为的的频频率率，称称为为相相位穿越频率位穿越频率，即，即(4.74)使使开开环环频频率率特特性性的的幅幅值值为为1，或或者者为为0db的的频频率率，称为增益穿越频率或者截止频率称为增益穿越频率或者截止频率，即，即(4.75)相角裕度相角裕度和和幅值裕度幅值裕度或或定义如下。定义如下。(4.77)(4.78)或者或者(4.79)相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度的的几几何何意意义义如如图图4.14所示。所示。对对于于最最小小相相位位系系统统，相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度的的符符号号是是一一致致的的。当当
9、，系系统统稳稳定定；当当，系系统统不不稳稳定定。但但对对于于非非最最小小相相位位系系统统，相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度的的符符号号可可能能是是不不一一致致的的。相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度的的符符号号一一般般是是没没有有太太大大意意义义的的,不不能能用用来来判判别别系系统统稳稳定定性性.稳稳定定系系统统和和表表示示了了系系统统稳稳定定的的程程度度，它它们们的的值值越越大大，系系统统越越稳稳定定。对对于于不不稳稳定定系系统统，和和表表示示了了系系统统不不稳稳定定的的程程度度，它它们们的的值值越越大大，系系统统越越不不稳定。稳定。例例4.29控制系统的开环传递函数为控制系统的开环传
10、递函数为试分析系统的试分析系统的绝对稳定性绝对稳定性和和相对稳定性相对稳定性。解解由由于于开开环环传传递递函函数数在在S平平面面的的原原点点存存在在极极点点，所所以以选选择择奈奈氏氏路路径径如如图图4.6（b）所所示示。系系统统的的频率特性为频率特性为:令令，即，即:得奈氏曲线与实轴交点处的得奈氏曲线与实轴交点处的频率频率为为:奈氏曲线与实轴奈氏曲线与实轴交点坐标交点坐标为为:根根据据上上面面的的分分析析以以及及对对称称性性，可可以以画画出出系系统统的的奈氏曲线如图奈氏曲线如图4.15所示。所示。奈奈氏氏路路径径中中小小半半圆圆的的映映射射：从从的的映映射射点点开开始始，顺顺时时针针转转过过，
11、到到的的映映射射点点的的无无穷穷大大半半径径的的圆圆弧。弧。因为开环传递函数在右半因为开环传递函数在右半S平面有平面有1个极点，所以个极点，所以P=1。当当时，时，,系统是系统是稳定稳定的。的。当当时，时，系系统统是是不不稳稳定定的的，有有2个个闭闭环环极极点点在在右右半半S平面。平面。当当时，奈氏曲线穿越点，系统是时，奈氏曲线穿越点，系统是临界稳定临界稳定的。的。下面分析系统的相对稳定性。由下面分析系统的相对稳定性。由得得:前面已经求出前面已经求出:则则:,虽虽然然在在奈奈氏氏图图上上表表示示控控制制系系统统的的相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度是是很很直直观观的的，但但是是因因为为奈奈氏
12、氏曲曲线线只只是是大大概概的的轮轮廓廓，所所以以要要在在奈奈氏氏图图上上直直接接量量取取相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度显显然然是是不不行行的的。由由于于奈奈氏氏图图和和伯伯德德图图有有一一个个简简单单的的对对应应关关系系，所所以以，在在伯伯德德图图上上相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度如如图图4.16所所示示。由由于于伯伯德德图图是是比比较较精精确确的的，所所以以，可可以以在在伯伯德德图图上量取相角裕度和幅值裕度。上量取相角裕度和幅值裕度。系系统统开开环环对对数数幅幅频频特特性性的的中中频频段段的的宽宽度度和和斜斜率率与与系系统统的的稳稳定定性性有有密密切切的的关关系系。根根据据伯伯德德定定理理，若若系系统统开开环环对对数数幅幅频频特特性性的的中中频频段段的的斜斜率率为为-20db/dec，则则系系统统是是稳稳定定的的；若若系系统统开开环环对对数数幅幅频频特特性性的的中中频频段段的的斜斜率率为为-60db/dec，则则系系统统是是不不稳稳定定的的；若若系系统统开开环环对对数数幅幅频频特特性性的的中中频频段段的的斜斜率率为为-40db/dec，则则系系统统可可能能是是稳稳定定的的，也也可可能能是是不不稳稳定定的的，即即使使稳稳定定，其其稳稳定定裕裕度也较小。度也较小。
4.4-奈奎斯特稳定判据汇总课件
