《数理方程第二章-圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3剖析课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程第二章-圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3剖析课件（26页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、深圳大学电子科学与技术学院有界弦的自由振动有界弦的自由振动有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论分离变量法提要分离变量法提要:深圳大学电子科学与技术学院2.3 2.3 圆形域内的二维圆形域内的二维 Laplace 方程的定解问题方程的定解问题 一个半径为一个半径为 的薄圆盘，的薄圆盘，上下两面绝热，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为圆周边缘温度分布为 ，求达到稳恒求达到稳恒状态时圆盘内
2、的温度分布状态时圆盘内的温度分布 。定解问题定解问题:由第一章知道，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关由第一章知道，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关据此，写成极坐标形式为据此，写成极坐标形式为泛定方程泛定方程边界条件边界条件边缘温度边缘温度（）（）深圳大学电子科学与技术学院设方程（设方程（1 1）有径向和角向分离的解：）有径向和角向分离的解：代入方程（代入方程（1 1）得到：）得到：分离变量：分离变量：（3）（4）（5）（径向方程径向方程）（角向方程角向方程）分离变量:深圳大学电子科学与技术学院将非齐次边界条件（将非齐次边界条件（2 2）代入形式解）代入形式解（3）：上式无法
3、分离成关于上式无法分离成关于R和和 的两个独立的边界条的两个独立的边界条件，不能分别构成关于件，不能分别构成关于R和和 的常微分方程的定的常微分方程的定解问题！解问题！（6）下一步如何进行？下一步如何进行？深圳大学电子科学与技术学院 1.在物理上代表同一个点，在物理上代表同一个点，具有相同的温度具有相同的温度:这个条件称为这个条件称为“周期性边界条件周期性边界条件”2.物理上，圆内各点的温度应该是有界的，物理上，圆内各点的温度应该是有界的，特别是圆盘中心的温度应该是有限的：特别是圆盘中心的温度应该是有限的：这个条件称为这个条件称为“自然边界条件自然边界条件”寻找物理上的边界条件：深圳大学电子科
4、学与技术学院同时，考虑到自变量变化的特点，有同时，考虑到自变量变化的特点，有和和即有即有中心点的温度有限（有界）中心点的温度有限（有界）坐标系中指同一点温度不变坐标系中指同一点温度不变以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。代入径向方程和角向方程深圳大学电子科学与技术学院(7)(8)(9)(10)至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而条件条件(2(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条件一样，最后再去考虑。件一样，最后再去考虑。变成常
5、微分方程的定解问题深圳大学电子科学与技术学院1.1.：(7)(7)的通解的通解2.2.:(7)(7)的通解的通解(7)(8)有特解有特解:(常数常数)由由(8)(8)得到得到 ,不能满足周期性边界条件不能满足周期性边界条件(8)求解角向定解问题：深圳大学电子科学与技术学院3.:(7)3.:(7)的通解的通解 要让它以要让它以2 2 为周期，必须取为周期，必须取 即：即：事实上：事实上：(7)(8)(9)求解角向定解问题：深圳大学电子科学与技术学院 (10)(10)为欧拉方程，其通解为为欧拉方程，其通解为(10)(11)为了保证为了保证 ，必须取，必须取可以合并为可以合并为 求解径向定解问题：深
6、圳大学电子科学与技术学院边界条件：边界条件：不能表征任不能表征任意函数意函数本征解深圳大学电子科学与技术学院为了表征任意边界条件（为了表征任意边界条件（2 2）,需要利用叠加原理写需要利用叠加原理写出一般解出一般解(它是对于它是对于 所有本征解的组合所有本征解的组合)其中其中一般解:深圳大学电子科学与技术学院它是函数它是函数f()的傅立叶级数展开，而展开系数为：的傅立叶级数展开，而展开系数为：由边界条件确定系数：圆域内的二维 Laplace 方程的定解问题已求解深圳大学电子科学与技术学院一个半径为一个半径为 0的薄圆盘，圆周边缘的温度分布为的薄圆盘，圆周边缘的温度分布为已知函数已知函数Acos
7、，求达到恒稳状态时圆盘上的温度，求达到恒稳状态时圆盘上的温度分布。分布。这是一个这是一个圆域上圆域上的二维拉普拉斯方程的边值的二维拉普拉斯方程的边值问题（求圆盘上任意点问题（求圆盘上任意点(,)的温度）。的温度）。(1)(2)例题1:求解定解问题深圳大学电子科学与技术学院结果：结果：一般解:补充：补充：深圳大学电子科学与技术学院(1)(2)例题2:求解定解问题坐坐标标变变换换深圳大学电子科学与技术学院设方程（设方程（1 1）有径向和角向分离的解：）有径向和角向分离的解：代入方程（代入方程（1 1）得到：）得到：分离变量：分离变量：（3）（4）（5）（径向方程径向方程）（角向方程角向方程）分离变
8、量:深圳大学电子科学与技术学院(7)(8)(9)(10)至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而条件条件(2(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条件一样，最后再去考虑。件一样，最后再去考虑。常微分方程的定解问题:深圳大学电子科学与技术学院1.1.：(7)(7)的通解的通解2.2.:(7):(7)的通解的通解(7 7)(8 8)有特解有特解:(常数常数)由由(8)(8)得到得到 ,不能满足周期性边界条件不能满足周期性边界条件(8)求解角向定解问题:深圳大学电子科学与技术学院3.:(7)3.:(7)的通解的通
9、解 要让它以要让它以 为周期，必须取为周期，必须取 即：即：事实上：事实上：(7 7)(8 8)(9 9)求解角向定解问题：深圳大学电子科学与技术学院 (10)(10)为欧拉方程，其通解为为欧拉方程，其通解为(1010)(1111)为了保证为了保证 ，必须取，必须取可以合并为可以合并为 求解径向定解问题:深圳大学电子科学与技术学院本征解:深圳大学电子科学与技术学院为了表征任意边界条件（为了表征任意边界条件（2 2）,需要利用叠加原理写需要利用叠加原理写出一般解出一般解(它是对于它是对于 所有本征解的组合所有本征解的组合)其中其中一般解:深圳大学电子科学与技术学院它是函数它是函数f()的傅立叶级数展开，而展开系数为：的傅立叶级数展开，而展开系数为：由边界条件确定系数:深圳大学电子科学与技术学院结果：结果：系数深圳大学电子科学与技术学院1.通解：通解：2.利用定解条件确定系数利用定解条件确定系数小结：圆域上的拉普拉斯方程本节要求：掌握分离变量法在圆域上的拉普拉掌握分离变量法在圆域上的拉普拉斯方程中的应用斯方程中的应用
数理方程第二章-圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3剖析课件
