复数、积分的相关概念及运算.pptx

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1、浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 复 数 、 积 分 的 相 关 概 念 及 运 算2016年 3月 24日 1 1 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 目 录 2 2常 微 分 方 程 的 概 念1 一 次 常 微 分 方 程 的 解 法2 二 阶 常 微 分 方 程 的 解 法3 欧 拉 公 式 的 证 明4 常 用 的 三 角 函 数5 单 自 由 度 系 统 公

2、 式 的 求 解6 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 目 录 3 3常 微 分 方 程 的 概 念1 一 次 常 微 分 方 程 的 解 法2 二 阶 常 微 分 方 程 的 解 法3 欧 拉 公 式 的 证 明4 常 用 的 三 角 函 数5 单 自 由 度 系 统 公 式 的 求 解6 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 一 、 复 数 的 概 念 4 4 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 一 、

3、 常 微 分 方 程 的 概 念 阶 数 5 5 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。2 d d xtx xcyxybxy sindddd 22 322dd txtx 一阶二阶一阶 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 一 、 常 微 分 方 程 的 概 念 方 程 的 解 6 6,00 ts 200dd tts引 例 2 4.022dd xy 使 方 程 成 为 恒 等 式 的 函 数 .通 解 解 中 所 含 独 立 的 任 意 常 数 的 个 数 与 方 程的 阶 数 相 同 .特 解 x

4、xy 2dd 21xy引 例 1 Cxy 2 2122.0 CtCts 通 解 : tts 202.0 2 12 xy特 解 :微 分 方 程 的 解 不 含 任 意 常 数 的 解 . 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 一 、 常 微 分 方 程 的 概 念 初 值 问 题 7 7初 始 条 件 : 用 来 确 定 任 意 常 数 的 条 件 .初 值 问 题 : 求 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 的 解 的 问 题 .常微分方程初始条件问题 00 ),( yy yxfy xx一 阶 : 过 定 点 的 积 分 曲

5、线 ; 二 阶 : 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 一 、 常 微 分 方 程 的 概 念 8 8解处上任意一点的平面曲线设通过点 ),( )2 ,1( 0 yxMLM . 2 的方程，求此曲线的切线的斜率为Lx，则有设曲线的方程为)( xyy .2dd xxy 应满足条件此外，函数 )(xyy ， 2)( 1 xxy )1(积分，得式两边关于将 )1( x Cxxxy 2d2 )2( )3(，得代入将)3()2( , 1C 故所求的曲线方程为1 2 xy微分方程初始条件

6、通解特解 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 目 录 9 9常 微 分 方 程 的 概 念1 一 次 常 微 分 方 程 的 解 法2 二 阶 常 微 分 方 程 的 解 法3 欧 拉 公 式 的 证 明4 常 用 的 三 角 函 数5 单 自 由 度 系 统 公 式 的 求 解6 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 二 、 一 阶 常 微 分 方 程 可 分 离 变 量 的 方 程 10 10形 如 的 微 分 方 程 ， 称 为 可 分 离 变 量 方 程 。 浪

7、 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 二 、 一 阶 常 微 分 方 程 可 分 离 变 量 的 方 程 11 11 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 二 、 一 阶 常 微 分 方 程 齐 次 方 程 12 12 ( )yy f x yu x y ux duy u x dx ( ) ln ( ) ( )du du dx duu x f u x Cdx f u u x f u u ， 形 如 的 方 程 ， 称 为 齐 次 方 程 。 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军

8、 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 二 、 一 阶 常 微 分 方 程 一 阶 线 性 齐 次 方 程 13 13 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 二 、 一 阶 常 微 分 方 程 一 阶 线 性 齐 次 方 程 14 14 ( )p x dxy Ce 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 二 、 一 阶 常 微 分 方 程 一 阶 线 性 齐 次 方 程 15 15 ( ) ( ) ( ) p x dx p x dxy q x e

9、dx C e 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 二 、 一 阶 常 微 分 方 程 伯 努 利 方 程 16 16 ( ) ( ) ny p x y q x y 0,1n 1 nz y 1 ( ) ( )1 dz p x z q xn dx (1 ) ( ) (1 ) ( )dz n p x z n q xdx 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 目 录 17 17常 微 分 方 程 的 概 念1 一 次 常 微 分 方 程 的 解 法2 二 阶 常 微 分 方 程

10、 的 解 法3 欧 拉 公 式 的 证 明4 常 用 的 三 角 函 数5 单 自 由 度 系 统 公 式 的 求 解6 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 微 分 方 程 可 降 阶 的 二 阶 常 微 分 方 程 18 18 ( , )y f x y ( , )y f y y y p y p ( , )p f x p 1( , )p x C 1 ( , )y x C 1 2( , )y x C C y p dp dp dy dpy p dx dy dx dy 1 ( , )dp f y pdy p 1( ,

11、 )p y C 1( , )dy y Cdx 21( , )dy x Cy C 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 线 性 微 分 方 程 19 19 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 微 分 方 程 的 定 理 20 20 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 微 分 方 程 的 定 理 21 21 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业

12、部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 22 22 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 23 23 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 24 24 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 25

13、 25 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 26 26 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 27 27 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 28 28 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司

14、三 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 29 29 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 30 30 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 31 31 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 32 32 浪 潮

15、集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 33 33 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 34 34 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 三 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 35 35 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电

16、子 有 限 公 司 目 录 36 36常 微 分 方 程 的 概 念1 一 次 常 微 分 方 程 的 解 法2 二 阶 常 微 分 方 程 的 解 法3 欧 拉 公 式 的 证 明4 常 用 的 三 角 函 数5 单 自 由 度 系 统 公 式 的 求 解6 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 四 、 欧 拉 方 程 的 证 明 37 37 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 四 、 欧 拉 方 程 的 证 明 38 38ex=1 + x/1! + x2/2! +

17、x3/3! + x4/4! + 在e x的展开式中把x换成ix因为(i)2=-1, (i)3= i, (i)4=1 e+ix=1 + ix/1! - x2/2! - x3/3! + x4/4! =(1 - x2/2! +)+i(x - x3/3!)cos x=1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! sin x=x - x3/3! + x5/5! - x7/7! eix=cosx+isinx 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 目 录 39 39常 微 分 方 程 的 概 念1 一 次 常 微 分 方 程 的 解 法2

18、二 阶 常 微 分 方 程 的 解 法3 欧 拉 公 式 的 证 明4 常 用 的 三 角 函 数5 单 自 由 度 系 统 公 式 的 求 解6 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 五 、 常 用 的 三 角 函 数 40 40sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB-1 tanB+tanAtan(A-

19、B) = tanAtanB1 tanBtanA 三角和公式2ba 2basin a+sin b=2sin cos2ba 2basin a -sin b=2cos sin 2ba 2bacos a+cos b=2cos cos2ba 2bacos a-cos b=-2sin sin和差化积公式tan a+tan b = ba bacoscos )sin( 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 五 、 常 用 的 三 角 函 数 41 41asin a+bcos a = )b(a 22 sin(a+c) (其 中 tan c= )aba

20、sin a-bcos a = )b(a 22 cos(a-c) (其中tan c= )ba 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 目 录 42 42常 微 分 方 程 的 概 念1 一 次 常 微 分 方 程 的 解 法2 二 阶 常 微 分 方 程 的 解 法3 欧 拉 公 式 的 证 明4 常 用 的 三 角 函 数5 单 自 由 度 系 统 公 式 的 求 解6 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 无 阻 尼 系 统 43 43 取静平衡位置为坐标

21、原点，向上为正。 此时弹簧的变形为 z l s ，而作用于质量上的力有重力mg，方向朝下。 在撤消外力的瞬时，应用牛顿第二定律，可得系统的运动方程zmzkmg s )( l 弹簧的弹性力是k(z ls)，弹性力的特点是：始终使质量恢复到平衡状态，故此时其方向也是向下：zmkkzmg s l 即k未受外力作用，处于自由状态的弹簧ls mg受重力mg作用，弹簧被压缩z T 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 无 阻 尼 系 统 44 44 由于kls= mg，故式(12-1)可简化为： 由上式可知，质量m所受的合外力是

22、：-kz，其方向则始终与弹簧的变形方向相反，指向坐标原点。因为这个力总是起着使物体恢复到平衡位置的作用，故称弹性恢复力。0 zkzm 现在用m除式(12-2)，并引入符号，令k / m=2，则上式可改写为jwrr zz 2,1 22 2 00 z= c1 cos t + c2 sin t 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 五 、 常 用 的 三 角 函 数 45 45）（ sin wtccz wtwtccz wtcccwtcccccz += += += sin )sincoscos( )sincos( 2221 2221 222

23、1 22221 12221 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 有 阻 尼 系 统 46 46 它 受 到 的 合 力是 重 力 、 弹 性 力 和 阻 尼 力 之 和 ， 即 当 物 体 运 动 到 位 置 z处 时 ， 阻 尼 衰 减 振 动 zm gk c k c图 12-7表 示 有 粘 性 阻 尼 的 自 由 振 动 系 统 ， k(z l s)根 据 牛 顿 运 动 定 律 ， 可 得 物 体 运 动 微 分 方 程 0 zkzczm 令 c / m =2a ， k / m =2， 然 后 用 m 遍

24、除 方 程 各 项 ， 则 有 cz.= kls02 2 zzz a 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 有 阻 尼 系 统 47 4702 2 zzz a二阶齐次线性微分方程02 22 arr 222，1 - aa r特征根024 2 cbxax a acbbx 4 42 2,1 1. 欠阻尼状态 即)2( kmc 或a )sincos( 222221 tctcez t aaa 222，1 - aa ir 令c1=Bsin， c2=Bcos，应用三角变换可得)sin( 22 aa teBz t 2221 ccB

25、浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 有 阻 尼 系 统 48 482. 过 阻 尼 状 态 即 )2( kmc 或a 222，1 - aa r tt eCeCz 2222 -2-1 aaaa 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 有 阻 尼 系 统 49 493 临 界 阻 尼 状 态 ， 即 此 时 特 征 方 程 特 征 根 为 ： r1 = r2 = -a， z e a t (c1 c2 t)2( kmc 或a 02 22 arr

26、浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 有 阻 尼 强 迫 振 动 50 50k cUz(t) 12.3.2 有 阻 尼 系 统 的 强 迫 振 动 图 中 U z(t) =Usin pt 表 示 作 用 在 质 量 体 上 的 简 谐 激 振 力 。 其 中 U表 示 激 振 力 幅 值 ，p是 激 振 频 率 。 由 于 重 力 已 被 kls平 衡 ， 故 不 再 示 出 。 该 系 统 除 了 多 一 个 激 振 力 作用 于 物 体 之 外 ， 其 它 与 自 由 振 动 完 全 相 同 。 故 只 要 在

27、有 阻 尼 自 由 振 动 方 程 式 的(12.11)右 边 加 上 激 振 力 一 项 ， 即 可 得 到 系 统 作 强 迫 振 动 的 运 动 方 程zk c kz Uz(t) Uz(t)ptUzkzczm sin (12-20)仍 令 ： c / m =2a， k / m = 2， 且 令 ： U / m = u， 则 上 式 可 化 为 如 下 形 式 ：ptuzzz sin2 2 a cz. 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 有 阻 尼 强 迫 振 动 51 51根 据 前 面 二 阶 常 系 数

28、线 性 非 齐 次 方 程 的 解 的 形 式 ：设 其 特 解 为 ： ptbptaz cos+= sin*代 入 方 程 ， 得 ： ptuptbpabpptapbap sincos)2(sin)2( 2222 =+ -得 ： 22222222 22 )2()( 2,)2()( )( pp upbpp pua +=+= - - ptpp upptpp puz cos)2()( 2sin)2()( )( 22222222 22* += - -根 据 三 角 函 数 ： sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越

29、 数 控 电 子 有 限 公 司 单 自 由 度 有 阻 尼 强 迫 振 动 52 52)-ptAz sin(* = 222222 )2()( pp ubaA +=+= - 222tan p p -=故 其 特 解 为 ： 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 总 结 53 53一 阶 线 性 齐 次 和 非 齐 次 微 分 方 程 解 的 形 式 ？二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 和 非 齐 次 微 分 方 程 的 解 题 思路 及 解 的 形 式 ？ 浪 潮 集 团 有 限 公 司 军 品 事 业 部 山 东 超 越 数 控 电 子 有 限 公 司 谢 谢 大 家 ！ 54