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1、8-81(2018武昌调研)如图，在四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值【解析】 方法一 空间向量法(1)证明 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则D(1，0，0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)设S(x，y，z)，则x0，y0，z0，且(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)由|，得，解得x1.由|1，得y2z21.由|2，得y2z24y10.由，解得y，z.S，0，0，DSAS，DSBS，SD平面SAB.(2)设平
2、面SBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则n，n，n0，n0.又，(0，2，0)，(2，0，0)，cos，n.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.方法二 综合法(1)证明 如图，取AB的中点E，连接DE，SE，则四边形BCDE为矩形，且DECB2，AD.侧面SAB为等边三角形，AB2，SASBAB2，且SE.又SD1，SA2SD2AD2，SE2SD2ED2，SDSA，SDSE，SD平面SAB.(2)过点S作SGDE于点G.ABSE，ABDE，AB平面SDE.平面SDE平面ABCD.由平面与平面垂直的性质，知SG平面ABCD.在RtDSE中，由SDSEDESG，得12SG，解得SG.过点A作A
3、H平面SBC于点H，连接BH，则ABH为AB与平面SBC所成的角CDAB，AB平面SDE，CD平面SDE，CDSD.在RtCDS中，由CDSD1，得SC.在SBC中，SBBC2，SC，则SSBC .由VASBCVSABC，得SSBCAHSABCSG，即AH22，解得AH.sinABH.故AB与平面SBC所成角的正弦值为. 2(2018西安一检)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母E，F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值【解析】 (1)如图
4、所示，(2)证明 连接AC，BD，相交于点O，则O为BD的中点，BC的中点为M，GH的中点为N，OMCD，OMCD，HNCD，HNCD，OMHN，OMHN，即四边形MNHO是平行四边形，MNOH，MN平面BDH，OH平面BDH，直线MN平面BDH.(3)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DH所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA2，则D(0，0，0)，M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，则(2，2，0)，(1，0，2)，设平面EGM的法向量n(x，y，z)，令x2得，n(2，2，1)在正方体中，DO平面ACGE，则(1，1，0)是平面ACGE
5、的一个法向量，则cos，n，二面角AEGM的余弦值为. 3(2018云南一检)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD平面SBC，SBSC，M是BC的中点，AB1，BC2.(1)求证：AMSD；(2)若二面角BSAM的正弦值为，求四棱锥SABCD的体积【解析】 (1)证明 设AD的中点为N，连接MN，由四边形ABCD是矩形，得MNBC.SBSC，M是BC的中点，SMBC.平面ABCD平面SBC，平面ABCD平面SBCBC，SM平面ABCD.SMMN.直线MC，MS，MN两两垂直以M为坐标原点，MC，MS，MN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz
6、，设SMa.依题意得，M(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，S(0，a，0)(1，0，1)，(1，a，1)110(a)(1)10，即AMSD.(2)由(1)可得(0，a，0)，(1，0，1)设平面AMS的法向量为n1(x，y，z)，则n1，n1，令x1，则n1(1，0，1)是平面AMS的一个法向量同理可得n2(a，1，0)是平面ABS的一个法向量设二面角BSAM的大小为，则|cos |.1cos21sin2，解得a.四棱锥SABCD的体积VS矩形ABCDSM21. 4(2018百校联盟联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1ACC1
7、平面ABC，ABBC2，ACB30，C1CB120，BC1A1C，E为AC的中点(1)求证：A1C平面C1EB；(2)求二面角A1ABC的余弦值【解析】 (1)证明 BABC，E为AC的中点，BEAC.又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BE平面ABC，BE平面AA1C1C.又A1C平面AA1C1C，BEA1C.又BC1A1C，BEBC1B，A1C平面C1EB.(2)方法一 由平面A1ACC1平面ABC.作C1MAC于点M，则C1M平面ABC.作MNBC于点N，连接C1N，则C1NBC，由cosC1CN，cosC1CM，cosNCM，知cosC1CNcosC1CMco
8、sNCM，而C1CN60，NCM30，故cosC1CM，即cosC1CM，cosA1AC.在四边形AA1C1C中，设AA1x，则由余弦定理得A1C2x2122x2x24x12.C1E2x232xx22x3，设A1C与C1E交于点H，则A1HA1C，C1HC1E，而A1CC1E，则A1H2C1H2A1C，于是(x24x12)(x22x3)(2)2，即x2x60，x3或2(舍)，A1E2AAAE22AA1AEcosA1AE，A1E，而A1E2AE2AA，故A1EAC，由平面AA1C1C平面ABC，则A1E平面ABC，过点E作EFAB于点F，连接A1F，则A1FE为二面角A1ABC的平面角，由平面几
9、何知识易得EF，A1F.cosA1FE.方法二 以A点为原点，AC为y轴，过点A与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1x，A1AC，则B(1，0)，C(0，2，0)，E(0，0)，C1(0，2xcos ，xsin )(1，0)，(0，xcos ，xsin )由cos，得，cos ，则A1，C1，于是，xx0，即x2x60，解得x3或2(舍)，故AA13，则A1(0，)，B(1，0)，于是(0，)，(1，0)设平面A1AB的法向量n1(x，y，z)，取y1，则z，x，n1.不妨设平面ABC的法向量n2(0，0，1)，则cosn1，n2，故二面角A1ABC的余弦值为.
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
