机器人逆运动学解析解的选取算法

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1、机器人逆运动学解析解的选取算法肖志键;吴建华【摘 要】机器人的逆运动学解析解由于其精度高、求解速度快,使其在诸多逆运动 学求解方法中始终占据着重要的地位.然而,对于一般的6轴工业机器人而言,解析解 的不唯一性导致在一个姿态下可能对应着多组解.因此多解的选取问题是解析解所 必须面临和解决的一个问题.以一种构型的6轴机器人为例,在求得其解析解的基础 上,基于解析解表达式的数学特性和运动的连续性,得到了两个关键推论,在此基础上 提出了一种快速的逆解选取算法,并开发了虚拟样机软件进行仿真,验证了该选取算 法的有效性和时间性能.期刊名称】机械设计与制造年(卷),期】2018(000)008【总页数】4页

2、(P252-255)关键词】 工业机器人;逆运动学;多解问题;快速选取算法 【作 者】 肖志键;吴建华【作者单位】 上海交通大学机器人研究所,上海 200240;上海交通大学 机器人研究所,上海 200240正文语种】 中文中图分类】 TH16;TP242.21引言 逆运动学求解问题在机器人的运动控制和轨迹规划过程中扮演着重要角色，求解方 法也不唯一。相比于数值解法，解析解的计算速度和精度有较大提升 1-3，因此 对于那些实时性要求较高且满足“Pieper准则”4啲机器人而言是较好的选择。但是解析解只适用于特定构型的机器人，且需要面临从多组逆解中选取出最合适的 那一组解的问题。常见的选取方式是

3、“最短行程”法，即通过与上一时刻的关节角 进行比较选取出变化最小的那一组解作为最优解5-6。此外，也可以利用机器人 的几何姿态对逆解结果进行划分从而方便选取7，进一步还可借助姿态判别因子 进行选取1，8。通过在“最小行程法”的基础上进行改进，还可以不需要求解出 所有可能解，而是通过分支法相对较快地找到合适的那组解9。虽然这些方法能 够解决多解选取问题，但是选取的过程都需要引入额外的计算量，如果每次逆解计 算都采用这些算法进行选取，则消耗的计算资源不容小觑。针对上述问题，首先选 取了某种构型的6轴机器人，建立其运动学模型，得到了相应的8组解析解表达 式。接着从机器人运动的连续性出发，分析了解析解

4、的2个数学特性，在此基础 之上推导出一种快速逆解选取算法，进而简化了多解选取过程。最后，借助Unity 开发环境搭建了虚拟样机仿真平台，对快速选取算法进行了仿真和验证。经过该算 法优化的逆解选取过程在需要大量逆解计算情况下的时间复杂度降为O(1)，且 适用于类似构型的机器人。2 运动学逆解2.1 运动学建模首先根据机器人的三维模型，如图1所示。结合其几何参数，建立起机器人的D-H连杆坐标系模型，如图2所示。并列出了各个D-H参数，如表1所示。图1 6轴机器人的三维模型Fig.1 3D Model of 6-Axis Robot图 2 机器人的 D-H 坐标系图 Fig.2 D-H Coordi

5、nate of Robot表 1 D-H 参数表 Tab.1 D-H Parametersi ai-1/mm ai-1/ di/mm 0i Range/10 0 94 01 ( -360-360 ) 2 0 90 0 02 (-360360 ) 3 353 0 0 03 (-360360 ) 4 310 0 -109 04 (-360 -360 ) 5 0 90 95.5 05 ( -360 -360 ) 6 0 -9085 06 (-360-360)其中，机器人连杆间的齐次坐标变换矩阵为：其中，c0i二cos(0i);cai二cos(ai);c0i二sin(0i);sai二sin(ai)。可

6、以得到机器人基座到末端坐标系的位姿表述为：2.2 逆解的解析表达式机器人的2、3、4轴相互平行，如图2所示。因此其满足Pieper准则，可以得到其逆解的解析表达式。根据：用LHSi，j，RHSi，j表示左右矩阵位置(i，j)上的元素，首先由LHS2 ,4二RHS2,4可得01的两组可能解：其中，R2二para2x+para2y ; parax二px-d6 ax ; paray二py-d6 ay。同样由 LHS2 , 2 = RHS2 , 2 和 LHS2 , 1=RHS2 , 1 可得 05,06:同样根据 LHS1, 2 = RHS1, 2 以及 LHS2 , 2 = RHS2 ,2 可得：

7、接着根据 LHS1，4=RHS1，4 以及 LHS2，4=RHS2，4 ，可得：其中，A=-2a2 N ; B=2a2 N ; C=M2 + N2+a22-a23 ;结合之前的求解结果，可得03,04O最终可得整个逆解的求取过程，如图3所示 （索引用于区分8组逆解）。图3 8组解析解表达式的求解过程Fig.3 Solution Procedure of 8 Group Analytical Solution Expressions3 逆解分析与选取以机器人在笛卡尔空间下的轨迹规划过程为例首先给定末端工具坐标系在若干 关键路点上的位姿，接着构造出连续的路径通过这些关键路点，再对该路径进行插 补进

8、而求得N个插补点的位姿。最后，将这N个插补点通过逆解映射到机器人的 关节空间并获得N个6维关节角矢量。由于逆解的计算次数与插补点数成正比，因此普通逆解选取算法的时间复杂度为O（N）。此外还需要将8组解映射到，进一步加大了计算量。针对上述问题，首先对8组逆解的数学特性进行分析，为后续引入快速选取算法 提供理论支撑。3.1 最优解的唯一性 虽然逆解有多组，但是根据“最小行程法”的准则，通常只有一组最优的解。事实 上，可以得到如下推论：在机器人末端沿预定路径连续运动的过程中（这里不考虑经过奇异位形附近以及工 作空间边界附近的特殊情况），在任一时刻下假设机器人的位姿矢量为 p0=x0， yO,zO,r

9、O,pO,yO,其所对应的关节角矢量为 00=01,02,03,04,05, 06,若下一时刻其所要经过的插补点的位姿为pl,则80,使得8组解中 最多只有1组解01二011,012,013,014,015,016 满足下述“邻近关 系”：上式意味着该组解的位姿矢量位于当前位姿矢量的邻域内（后续都将式（6）称为“邻近关系”）。6为一个小量，因此上式实际上就代表着“最小行程”。和一般 的“最小行程法”的不同之处在于，假设已经知道了 6的值，则根据上述推论， 只要找到一组满足“邻近条件”的解，则该解即是距离上一关节角矢量“最近”的 那组最优解。这里给出该推论的简单证明过程和可行的6值。假设8组解中

10、第j组解满足（01i） j-0i0,使得对于剩下的je 2,8,都不满足（eii）ji6,ie1,6,即可验证该推论。首先，对于J1关节，通过计算可得式（2 ）中参数R是坐标系5的原点到基坐标 系原点的连线在基坐标系XY平面上的投影距离。且R2max=（a22+a23+d25） -d24=109mm，此时机器人末端恰好位于工作空间的外边界，且由式（2）可得：根据已知条件011-016,如果012-016,则有011-01226。因此，当取066,即在该6值下第5-8组解都不满足“邻近关系”。进一步考虑1-4组解的J5关节角，有051-052=2051,且051=0时机器人位于 奇异位形。由于路

11、径不经过奇异位形附近，这里令0515。此时只要取066,因此第3-8组解都不满足邻近关系。进一步地，考虑1,2组解的J2关节角，有如下关系：事实上M , N分别是坐标系4和坐标系1的原点连线在坐标系1的X,Z平面上 的投影距离，由图2并结合几何意义可得a2+a3=663,且上、下界分别对应机 械臂2、3、4轴共面的两种奇异位形。最后借助Matlab可以绘制出021-022的 范围,如图4所示。图 4 021-022 的范围 Fig.4 Range of 021-022当 021-022不位于上下限时,不妨取4410。因此,当 取0v6v5。时，2-8组解均不满足邻近关系，1组解是唯一组满足条件

12、的解。 综上，任取0 S,AT-0,因此不满足连续性条件。因此fl是满足逆解映射的唯一个映射函数，证明了上述推论。3.3 逆解算法 根据3.1与3.2节的推论，可以得到一种快速算法来代替一般的逆解选取算法：START：getanalytical fi(),i=1,2,., 8获得八组逆解映射函数index=1最优逆解索引for (j=1 ;jv9;+j)if fj ( 0T6 )=00 thenindex=j;break;for (j=1 ;jv=( numof rodapoints ); +j)0j=findex( 0T6) j)0j=Convert(0j) /将关节角映射到-360,360

13、END上述算法的优势在于，一旦知道了起始点位姿对应的逆解索引i,则后续插补点的 求取无需更换索引，从而将整个逆解选取过程的时间复杂度降为0(1)。 尽管该算法是从某一特定构型的6轴机器人所推导出来的，但对于那些满足“Pieper”准则并且由此能够推倒出解析解表达式的机器人，该算法都适用，只 是具体的表达式和中间计算结果会有所不同。此外，尽管两个推论均是以不经过奇异点附近和工作空间边界附近为前提假设，而 实际机器人完全有可能经过奇异点及工作空间附近，但这并不意味着把这些特殊情 况纳入考虑范围后该算法就失效了。事实上，可以在该算法中加入奇异位形的判别 以改进该算法，使该算法更具鲁棒性。4 仿真验证

14、基于.NET和Unity平台搭建了机器人虚拟样机，开发出了 6轴机器人的仿真环境软件，如图 5 所示。软件具有关节空间虚拟示教和笛卡尔空间下的虚拟示教功能图 5 仿真环境 Fig.5 Environment for Simulation基于3.3节所介绍的逆解选取算法，令机器人末端沿一段预先设定的路径运动，利 用求解出的关节角序列控制机器人进行运动，得到运动路径和机器人位姿，如图6 所示。图 6 运动路径和终点位姿 Fig.6 Motion Path and Terminal Position可以看到机器人顺利地按照求解出的关节角序列沿着预定的连续路径进行运动，从 而验证了算法的可行性。图 7

15、 算法时间性能分析 Fig.7 Time Performance Analysis of Algorithms进一步对其时间性能进行分析。首先选取一段实验路径，将其划分为10000个路点，并记录使用快速逆解算法前后所分别消耗的时间（实验计算机为i5-4210UCPU芯片），共计进行20次实验并获得其平均值，如图7所示。根据实验结果，在上述实验中采用快速选取算法的逆解相比采用普通“最小行程”法（计算出全部8组解并选取最优解）的逆解其计算速度提升了4.6倍，节省了 82%的逆解计算时间。5 结论借助机器人逆解的解析解可以快速实现位姿矩阵到关节角的映射，但逆解的选取一 直以来是解析解所要面临的问题。

16、基于一款6轴机器人的逆解解析解表达式，分 析了逆解的数学特性，并得到了两个关键推论，从而利用推论设计出了一种较为高 效的逆解选取算法。最终通过搭建虚拟仿真平台，对逆解的选取算法进行了验证和 性能分析，同时该算法对其他类似构型的机器人也具有适用性。参考文献【相关文献】1Lee CSG，Ziegler M.Geometric approach in solving inverse kinematics of puma robotsJ.IEEETransactionson Aerospaceand Electronic Systems ，1984，20（6）：695- 706.2林阳，赵欢，丁汉基于

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