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1、1 等差数列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22 等比数列求和公式：(1) Sn= 1-qa1(1-qn) q1 q1 (2) Sn= 1-qa1-anq 当q=1时,Sn=na1 练习: 求和1. 1+2+3+n 答案: Sn=n(n+1)/22. 2+4+8+2n 答案: Sn=2n+1-2方法：直接求和法 例1 求数列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前n项和。 解：当x=0时 Sn=0当x=1时 Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2当x1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)
2、xn +nxn +1 得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化简得： S n =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) 0 (x=0) 综合得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x1） 小结 1:“错项相减法”求和,常应用于型如anbn的数列求和,其中an为等差数列, bn 为等比数列. 练习 1求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n 方法:可以将等式两边同时乘以2或1/2,然后利用“错位相减法”求和. 例2：求和S n= 1 25 + 1 58 + 1 811
3、+ + 1 (3n-1) (3n+2) 解：数列的通项公式为 an= 1(3n-1) (3n+2) =13 ( 13n-1 - 13n+2 ) Sn=13 (12 -15 +15 -18 +18 - 111 + 13n-4 - 13n-1 + 13n-1 - 13n+2 ) =13 (12 - 13n+2 )= 16n+4 小结2：本题利用的是“裂项相消法”，此法常用于形如1/f(n)g(n)的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n N)的一次函数。把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。方法：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？裂通项。此方法
4、应注意： 练习 2： 求和 1 14 + 1 47 + 1 710 + 1 (3n-2)(3n+1) 接下来可用“裂项相消法”来求和。 an= 1(3n-2)(3n+1) =13 ( 13n-2 - 13n+1 )分析： 例 3：求和 1+(1+12 )+(1+12 +14 )+(1+12 +14 + 1 2n-1 )解：a n=1+ 1 2 + 1 4 + 1 2n-1 = 1（1-12n ） 1-12 =2- 12n-1 Sn=(2-120 )+(2-121 )+(2-122 )+(2- 12n-1 ) =2n-( 120 +121 +122 + 12n-1 ) =2n- 1（1-12n
5、） 1-12 =2n+ 12n-1 2 小结 3：本题利用的是“分解转化求和法”方法：把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。 练习 3求和：1+（1+2）+（1+2+22)+(1+2+22 +2n-1)分析：利用“分解转化求和” 总结： 直接求和（公式法）等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。倒序求和等差数列的求和方法错项相减数列 anbn的求和，其中an是等差数列，bn是等比数列。裂项相消分解转化法把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。常见求和方法适用范围及方法数列1/f(n)g(n)的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。
等差等比数列求和公式推导
