数列解题技巧归纳

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1、一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1) 观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。递推式为a =a+d及a =qa (d, q为常数)n+1 nn+1 n例】、已知a 满足a =a +2，而且a =10求a。nn+1 n1nn+1 na =1+2 (n-1)n例1、解 Va -a =2为常数 a是首项为1,公差为2的等差数列n即 a =2nTn求a =?n例2、已知a 满足a = a，而a = 2nn +12 n1例2、解2是以2为首项，公比为舟的等比数列(2) 递推式为a =a +f (n)n+1 n例3、已知

2、a 中an1例3、解:由已知可知a - an +1n1(2n + 1)(2n - 1)令 n=1,2,(n-1),代入得(n-1)个等式累加，即(a-a ) + (a -a ) + (a -a )2132n n-1)2n-3 2n-l J说明只要和f (1)1 a = a + (1 - n 12+f (2) +-+f14 n - 3)=2 n - 14 n - 2(n-1 )是可求的，就可以由a =a +f (n)以n=1, 2,n+1 n,二n+1(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求a。(3) 递推式为a =pa +q (p, q为常数) n+1 n=3 a+ 2 , 求 an-1n例

3、4、a 中，a = 1，对于 n1 (nUN)n1例4、解法一：由已知递推式得a =3a +2, a =3a +2。两式相减：a -a =3 (a-a )n+1nnn-1n+1 nn n-1因此数列a -a是公比为3的等比数列，其首项为a-a= (3X1+2) -1=4n+1 n21.a -a =4 3n-1Va =3a +2 3a +2-a =4 3n-i即 a =2 3n-i-13n-2 ,n+1 nn+1nnnn解法二：上法得a -a 是公比为3的等比数列，于是有：a -a =4, a -a =4 3, a -a =4 32，a -a =4n+1 n213243n n-1an=2 3n-

4、1-14 C1 - 311-1 把n-1个等式累加得：an-(4) 递推式为an+1=pan+qn (p, q为常数) 【例5】已知中，匕斗 弘+1=耳+ 叫 求。例5、略2211+1 * an+l = 3J +h 令5=严兀2b )由上题的解法，得：b = 3 2()nan 1n31=3(_) n - 2(_)2说明对于递推式尙+】=P%+qr可两边除以得開計芸切引辅助数列心V得E+i =b丸+ &后用的方法解。递推式为a=n + 2pa + qan + 1n思路：设an + 2=pan + 1+ qa，可以变形为：a - a ann + 2就是g+2=（口 + F ） an+1 一口甘 g

5、,则可从n+1二严于是a -a a是公比为B的等比数列,n+1n就转化为前面的类型。l例6】已知数列aJ中，眄=1,23ac21求a例6、on+三弧两边减去尙+1,得1=3p=l（an+1 -日J是公匕为-壬，首项为心-眄=1的等比数列。二将丢+iH= （I 以n = l, 2,（n-1）代入，再把nTa +=a an+2 - an+lan+l - ann+i个等式累加得L严冷）+ （冷）】+ c-j）心递推式为S与a的关系式nnI- C-j) “11+3an31=1+討-讨）zal【例门i殳何前口项的和冰=4 -此类型可利用尙=dCn2）1）求已h+i与召的关系；（2）试用n表示例7、解 由

6、冰=4 - -土得n+i = 4 _ an+i _ 歹匚rz 、 1 1 、 =(a a ) + ()n n +12 n 22 n 1. 1 1 a = a +n +12 n 2 n22n(2)两边同乘以2n+i得2n+ia =2na +2则2na 是公差为2的等差数列.2na= 2+ (n-1)2=2n - n . S Sn +1n+1n2数列求和问题的方法(1) 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1 + 2 + 3+“亜也21 + 3 + 5+ (2n-1)=n2+nn + D(2n + D；613+23+33+n3=

7、(2ll2.【例8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。例8、解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n= 1 n(n + 1)个奇数,2.最后一个奇数为：1+丄 n(n+1)-1 X 2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为sn =-|n (n + 1)1+ (n2 + n -1)2(n+1)(2) 、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例9】 求和 S=1 (n2-1) + 2 (n2-22) +3 (n2-32) +n (n2-n2) 例 9、解 S=n2 (1+2+3+n) -

8、( 13+23+33+皿)=n2 * n (n +1) -n2 (n +1) 2o2 4=-n2 (n + 1) ti 一 1)十(n2-l)(3) 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：S = 3 C i + 6 C 2 + + 3 nCnnnnn例 10、解 S = 0 C0 + 3C1 + 6C 2 + + 3nC nnnnnnS =3n 2n-1n(4) 、错位相减法又冰=3nC：+ 3 Cn-1) C 汀 + +0C 相加，且运用氏汁可得2Sn = 3n從+ + +C：) =3n如果一个数列是由一

9、个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公 比，然后错位相减求和.例 11、求数列 1， 3x， 5x2, ,(2n-1)xn-i 前 n 项的和. 例 11、解 设 S =1+3+5x2+(2n-1)xn-1.n当“时冰=空尹n =n2.(2)x=0 时，S=1.n当xMO且xH1时，在式两边同乘以x得xS =x+3x2+5x3+(2n-1)xn，n，得 (1x)S =1+2x+2x2+2x3+2xn-i(2n1)xn.n.12x(1 - x11-1)n由公式知阮=1 + -(2n-lX1 - X1 - Xl + x-(2n + l)xn +(2n-l)

10、xn+1 (1-x)2(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：1n(n +k)1 11 n(n + l)(n + 2) = 2 n1,/n + Jn + k例12、求和丄+丄+丄+1 53 75 9例3求和匕+吕+1(2 n - 1)(2 n + 3)1 15 * 9 + (2n -l)(2n +3)_ 1 _ 1 z 1 1 n = (2n -l)(2n + 3) = 4 f2n-l _ 2n + 3:=ri + -n 4l 53759显1 + 亠4l 3 2n +1 2n + 3J n(4n +5)-3(2n + l)(2n + 3)11112n

11、 - 3 2n +1 + 2n -1 2n + 3注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】 等差数列a的首项a 0,前n项的和为S，若S =S (lHk )问n为何值时S最大?n1nl kn例13解依题意，设f血)=Sn=na1 + nd此函数以n为自变量的二次函数。Va 0 S=S (lk),Ad0故此二次函数的图像开口向下 */ f (l) =f (k)当瓦=时f瓦)最大，f血)中，n

12、No1 + k当1+k为偶数时，n = 时冰最大。当1+k为奇数时，n = Llll时敢最大。2. 方程思想2【例14】(1996 全国)设等比数列a前n项和为S，若S +S =2S，求数列的公比q。nn369分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。例14：依题意可知qH1。丁如果q=1,则S =3a , S =6a , S =9a。由此应推出a =0与等比数列不符。3161911.qM1.若包1 C1 _ q3)包 11-)_ 绍(1 - q) 9)1-q1-q有+=整理得q3 (2q6q31) =0 TqHO：.2q6-1 = 0= i 舍，远此题还可以作如下思考：S =S +q3S

13、= (1+q3)S S =S +q3S =S (1+q3+q6),6 3 33。 9 3 6 33 1V4q =_2j q = _V:由 S +S =2S 可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=0369b1 1.1log A 1。岳 k logbk21gblgk lgk lgkflPlga + lgc = 21 gb.*.b2=ac .*.a, b, c成等比数列(a, b, c均不为0)掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法 和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。3. 换元思想【例15】 已知a, b, c是不为1的正数，x, 求证：a, b, c顺次成等比数列。例15证明依题意令ax=by=Cz=k.*.x=1og k, y=log k, z=log ka.1 1 2 H=x z y故旦+竺1 1 2y, zWR+, 且有 f =by = 和 _+_ = _。x z y