论文泰勒级数的收敛域及分析性质本科论文

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1、本科毕业论文题目： 函数的泰勒级数的收敛域及分析性质学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2007级6班 姓名： 指导教师： 职 称： 副教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日 函数的泰勒级数的收敛域及分析性质摘要： 本文主要讨论了二项式级数（）的收敛区间端点的敛散性，和它推广后所得的形如（为正有理数且）的泰勒级数的收敛域及其函数（为正有理数且）的泰勒级数逐项微分、逐项积分后所得级数的收敛域.由于推广后的函数（为正有理数且）的泰勒级数的收敛半径相同，所以本文重点旨在对收敛区间端点的讨论，进而得到有规律的收敛域.这样我们在以后遇到此类形式的函数的泰勒级数时，便能根据具体的

2、，很快写出其收敛域，而不需要再对其收敛区间端点的敛散性进行分析.关键词：泰勒级数；逐项微分；逐项积分；收敛区间；收敛域.目 录1预备理论11.1幂级数理论11.2函数的幂级数展开理论21.3超越几何级数的收敛域32函数（为正有理数且）的泰勒级数收敛域32.1函数的泰勒级数及其收敛域32.2函数（为正整数且）的泰勒级数及其收敛域52.3函数（为正有理数且）的泰勒级数及其收敛域63 函数（为正有理数且）的泰勒级数的分析性质83.1函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质83.1.1函数的泰勒级数的可微性质83.1.2函数（为正整数且）的泰勒级数的可微性质83.1.3函数（为正有理数且）的泰勒级数的

3、可微性质93.2 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质93.2.1函数的泰勒级数的可积性质93.2.2函数（为正整数且）的泰勒级数的可积性质103.2.3函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质11参考文献13谢 辞151 预备理论1.1 幂级数理论定义 形如 的函数级数称为幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数.这是一类最简单的函数项级数。本文将着重讨论，即幂级数 的情形.以及幂级数在收敛域内逐项求导后得到的幂级数与幂级数在收敛域内逐项积分后得到的幂级数定理 (阿贝尔定理)1)若幂级数在收敛,则幂级数在都绝对收敛.2) 若幂级数在发散,则幂级数在都发散.由此定理知道：幂级数的收敛域时以原点

4、为中心的区间.若以表示区间的长度，则称为幂级数的收敛半径，其实它就是使得幂级数收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.注：当时，幂级数可能收敛也可能发散.我们称为幂级数的收敛区间.定理 对于幂级数，即，若 ，则幂级数的收敛半径定理 幂级数与幂级数，具有相同的收敛区间.注： 虽然幂级数、的收敛半径相等，但是它的收敛域不一定相同.定理 设幂级数在收敛区间上的和函数为,若为内任意一点，则 （i）在可导，且； （ii）在与这个区间上可积，且.此定理说明幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积.1.2 函数的幂级数展开理论 若函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为 的级数为函数在的泰勒级数.对于级数能否在附近确

5、切地表达，或说在的泰勒级数在附近的和函数是否就是，有如下定理5定理 设在点具有任意阶导数，那么在区间内等于它的泰勒级数的和函数的充要条件是：对一切满足不等式的，有这里是在的泰勒公式余项.如果能在的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数在的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式的右边为在处得泰勒展开式，或称幂级数展开式. 定理（幂级数展开式的惟一性）若函数在的某邻域内可展为幂级数则其系数 这里规定在实际应用在中，主要讨论函数在处的展开式，这时式可写成称之为麦克劳林级数.1.3 超越几何级数的收敛域对于超越几何级数的敛散性情况如下表1：绝对收敛发散绝对收敛发散绝对收敛条件收敛发散2 函数（为正有

6、理数且）的泰勒级数收敛域 2.1 函数的泰勒级数及其收敛域 当为正整数时，由二项式定理直接展开，就得到的展开式.（所以在下面的探讨中都是假定）因为从而有于是，的麦克劳林级数是 令则运用比式判别法，可得级数的收敛半径. 现在内考察它的柯西余项运用比式判别法，级数当时收敛，故有又由于有，且，从而有.再当时，有.于是当时，是与无关的有界量；当时，也有同样结论.综上所述，当时， 所以，在上 我们称上式为二项式级数，当a 为正整数时，上式即为二项式定理.对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，借鉴超越几何级数的收敛域的结论，容易知道，二项式级数是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当时，以代替而得出，由

7、于这点，再结合表1，容易做出二项式级数在它的收敛区间的端点上的敛散性情况的表2：绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散二项式级数在处敛散性的证明见文献.所以，二项式级数 的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为.2.2 函数（为正整数且）的泰勒级数及其收敛域由上面对的泰勒级数讨论，我们容易得到 令由比式判别法，可得的收敛半径，此处我们重点放在对收敛区间端点的讨论上. 当时， 当时， 当时， 或.把看做一个整体作为因变量，由表2知道，在当时都发散，所以，这时级数的收敛域为. 当时，同样按照上面的方法得到 当即时， 级数收敛; 当时， 当为偶数时，. 级数收敛; 当为奇数时，.

8、级数发散;所以，这时级数的收敛域为： 当为奇数时，收敛域为； 当为偶数时，收敛域为. 当时， 当时，. 级数收敛; 当时， 或. 级数收敛;所以，这时级数的收敛域为：.综上所述，级数 的收敛域为： 当时，收敛域为； 为奇数当时，收敛域为 为偶数 当时，收敛域为.2.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数及其收敛域设， ，.由上面对的泰勒级数讨论，我们容易得到 当为偶数时，只能为奇数.（此时收敛域只能是由非负数组成的）.由比式判别法， 得到， 级数的收敛区间为.下面将重点探讨时的敛散性.当时，.由表2得 当时，级数发散； 当时，级数收敛；所以，这时级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为.

9、 当为奇数时，由比式判别法， 得到， 级数的收敛区间为.下面将重点探讨处的敛散性. 当为奇数时，当时，当时，.结合表2，易得到表3： 绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散所以，级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为偶数时，当时，结合表2，易得到表4： 绝对收敛条件收敛发散所以，级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为；综上所述，级数 的收敛域为：当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为奇数时， 当为奇数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为；3 函数（为正有理数且）的泰

10、勒级数的分析性质 3.1 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质 3.1.1 函数的泰勒级数的可微性质由级数知 利用级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为： 当即时，收敛域为； 当即时，收敛域为； 当即时，收敛域为.3.1.2 函数（为正整数且）的泰勒级数的可微性质由级数知 又由级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为： 当即时，收敛域为； 为奇数当即时，收敛域为 为偶数 当即时，收敛域为.3.1.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质设， ， 由级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为：当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为奇数时， 当为奇数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域

11、为； 当时，收敛域为. 当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为；3.2 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质 3.2.1 函数的泰勒级数的可积性质由级数知当时， 当时， 易知，级数的收敛域为.利用级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为： 当即时，收敛域为； 当即时，收敛域为； 当即时，收敛域为.所以， 函数的泰勒级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为.3.2.2 函数（为正整数且）的泰勒级数的可积性质 容易知道，级数与级数有相同的收敛域.所以，下面讨论级数的收敛域.对于级数，令，则由比式判别法， 可得的收敛半径，下面关键探讨收敛区间端点的敛散性.容易知道

12、，级数是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当时，以代替而得出，所以这时超越几何级数中的，再结合表1，级数在它的收敛区间的端点上的敛散性情况如表5：绝对收敛条件收敛发散绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散所以，级数 的收敛域为： 当时，收敛域为； 为奇数当时，收敛域为 为偶数当时，收敛域为.3.2.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质设， ， 在上面的讨论中，我们知道当为有理数时，对应于超越几何级数中的与无关，故 当为偶数时，只能为奇数.（此时收敛域只能是由非负数组成的）.由比式判别法，得到， 级数的收敛区间为.下面将重点探讨时的敛散性.当时，.由表5得 当时，级数发散； 当时，级数收敛；

13、所以，这时级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为奇数时，由比式判别法，得到，级数的收敛区间为.下面将重点探讨处的敛散性. 当为奇数时，当时，当时，.结合表5，易得到表6： 绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散所以，级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为偶数时，当时，结合表5，易得到表7： 绝对收敛条件收敛发散所以，级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为；综上所述，级数 的收敛域为：当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为奇数时， 当为奇数时，当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为偶数时，当时，收

14、敛域为； 当时，收敛域为；参考文献1华东师范大学数学系. 数学分析(第三版)M. 北京：高等教育出版社，2001：4456.2菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二版第二卷) M. 北京:高等教育出版社,2006：209300.3胡克.Adjacent coefficient of mean Vnivalent functionsJ.of Math，1993，13（4）：413418.4 裘敬华.二项式级数在处的敛散性的又一种证法J. 黄河水利职业技术学院学报，1999,11（1）.5 张鸣. 超越几何级数的敛散性再讨论J. 武当学刊（自然科学版），1995，12（5）.6刘俊先. 级数在敛散性的讨

15、论J.成都教育学院学报，2002,16（3）.7杨静.二项式级数在收敛区间端点处的敛散性J.高等数学研究，2004,7:21228张迎秋.幂级数逐项求导、逐项积分后收敛域的讨论J.安徽农业技术师范学院学报，2000,14（2）:66679 A. Yu. Semusheva. On the convergence domains of hypergeometric series in several variablesJ. Siberian Mathematical Journal.2005,10(4): 73273910 Subrata Chakraborty.On Some New -Mod

16、ified Binomial and Poisson Distributions and Their ApplicationsJ. Communications in Statistics - Theory and Methods.2008,37(11):17551769Function of The Taylor Series Convergence And Analysis PropertiesAbstract: this paper mainly discusses the binomial series （） convergence interval endpoint converge

17、nce, and it after the promotion from shaped like ( for the rational number and) is the convergence Taylor is its function ( for the rational number and) differential, item by item, Taylor series of the series after item by item, integral income convergence. Because the function ( for promoting the r

18、ational number and ) is the convergent radii .Taylor series is same, so this paper aims to discuss the convergence interval, then get endpoint regularly convergence.So we met Such forms of function of Taylor series, can according to specific , quickly write its convergence, and dont need to its conv

19、ergence interval endpoint to analyze the divergence of dispersed.Keywords: taylor series; term by term differentiation; term by term integration; interval of convergence; domain of convergence谢 辞论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢我的指导老师何美，因为论文是在何老师的悉心指导下完成的。本论文从选题到完成，每一步都是在何老师的指导下完成的，倾注了她大量的心血。何老师指引我的论文的写作方向和架构

20、，并对本论文进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，她一丝不苟的作风，将一直是我学习中的榜样。何老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务，工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中，精确到每一个字的批改给了我深刻的印象，使我在论文之外明白了做学问所应有的态度。在此，谨向何老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢何老师在我撰写论文的过程中给予我的极大的帮助。论文的顺利完成，也离不开其他同学和朋友的关心和帮助，在此谢谢他们。在整个论文写作过程中，各位同学和朋友积极地帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，使论文得以不断地完善，最终帮助我写完了整篇论文。另外，要感谢在大学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业知识，这也是论文得以完成的基础。感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们！ - 15 -