复合函数及抽象函数的单调性

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1、复合函数的单调性复 合 函 数 的 定 义 ： 设 y=f(u)定 义域 A， u=g(x)值 域 为 B， 若 A B，则 y关 于 x函 数 的 y=fg(x)叫 做 函数 f与 g的 复 合 函 数 ， u叫 中 间 量 复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g

2、(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。 复合函数的单调性引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (

3、c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。 复 合 函 数 的 单 调 性若u=g(x)y=f(u)则y=fg(x)规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数 解：由1-9x20得：-1/3x1/3当-1/3x0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0 x1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大函数的单调区间是 -

4、1/3，0，0，1/3。的单调区间。：求函数例29121)(1 xxf 1, 0,1 1,0 ,1 1, 1, 1,0 例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在区间（-，0上是增函数，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。问：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-，0)上是增函数，问在 区间(0，+）上f(x)是 增函数还是减函数？(0a3)例1：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。抽象函数 . 2)3()()4()()()3( )()()()2(1)2

5、()1( )(2的取值范围求时，满足：上的函数：定义在例x xfxfyfxfyx yfxfxyff xfR 2)2()2()4()()3( fffRxf上减，又在知解：由)4()3()4( fxxf 从而 03 0 4)3(x xxx 4 x .)( ).()()(, ,1)(0)(3上的增函数是求证：有、且对于任意时，上，当定义在：函数例Rxf bfafbafRba xfxRxf )1()0()1(1,0 fffba 则证：令0)1(1)(0 fxfx时 .1)0( f )(1)()()()( )()()()( ,1)(0, 1211121 112121 12122121 xxfxfxfxx

6、fxf xxxfxfxfxf xxfxxRxxxx 有、对任;1)(0 11 xfx时当;1)(0 11 xfx时当1)()()0(,0 11111 xfxffxbxax则时令当)(1)( 11 xfxf 0)(1)( 11 xfxf .0)( 11 xfRx都有故对于任 0)()(0)(1 2112 xfxfxxf又.)(为增函数综上：xf );()();()( );()(: 21212211 2211 xxfxxfxxxfxf xxxfxf 注：常用的佩凑方法 例4: .1,2)(,2)1(,0)(0 ),()()(,)(上的值域在区间求时，且当均有、对于任意实数已知函数 xffxfx y

7、fxfyxfyxxf 0)(0 121221 xxfxxxx解：设)()()()( 1121122 xfxxfxxxfxf 又)()(0)()()( 121212 xfxfxxfxfxf 即.)(为增函数故xf则中令在xyyfxfyxf )()()( ),()()0( xfxff 0)0()0(2)0(0 fffyx则再令.)(),()(为奇函数从而故xfxfxf ,4)1()1()2(,2)1()1( fffff .2,4)( 的值域为所以xf .,9)1(0)3( .),0()()2.()()1( ).1,0()(10,9)27(,1)1( )()()()(5 3的取值范围求且若上的单调性

8、，并证明在判断的奇偶性判断时当且都有、对任意实数：已知函数例aafa xfxf xfxff yfxfxyfyxxf .)()()1()()(11为偶函数则）令解（xfxffxfxfy )1,0()(100)2( 212121 xxfxxxx则设1)()( )()()()()()()( 212 2221222121 xxfxf xfxfxxfxfxxxfxfxf .1)1(1)()1()()1( )1,0()1()1,0(1,1 ;01)1()1(1 );1,0()(10 2222 2222 22 xfxfxfxff xfxx ffx xfx时当时，当时，当.),0()(上是增函数在 xf 01

9、)()()()( 21221 xxfxfxfxf .0)(,0 22 xfx都有对于任意 .,9)1(0)3( .),0)()2.()()1( ).1,0)(10,9)27(,1)1( )()()()( 3的取值范围求且若上的单调性，并证明在判断的奇偶性判断时当且都有、对任意实数例：已知函数aafa xfxf xfxff yfxfxyfyxxf 3)3()3()3()3()9()3()93(9 9)27()3( fffffff f 又 3 9)3( f即)3()1(9)1( 3 fafaf ),0(310 、aa 231)3()1( aafaf .20 a故 )(xf ,0,1,1 baba且

10、、.0)()( ba bfaf)(xf )6()15( 2xfxf 例6:已知是定义在-1,1上的奇函数，则有 (1)判断（2）解不等式在-1,1上的增减性，并证明你的结论；解：（1）)(xf在-1,1上增。证明：任取,1,1 2121 xxxx 且、则)( )()()()()()()()( 21 212121 212121 xx xfxfxxxx xfxfxxxfxf .0)()( ,0,0)( )()(1,1 21 2121 2121 xfxf xxxx xfxfxx又、故)(xf在-1,1上增。若 （2）)(xf在-1,1上增， 222 615 161 1151)6()15( xx xx

11、xfxf .3103121 6666 520 xxx xx或不等式的解集为. 310 xx )(xf ,0,1,1 baba且、.0)()( ba bfaf)(xf是定义在-1,1上的奇函数，则有在-1,1上的增减性，并证明你的结论；若例6:已知 (1)判断. 1,1,1,112)()3( 2的取值范围恒成立，求实数对于所有若m axammxf 12)1()(1,1)()3( 2max ammfxfxf增，在 022 amm 02 2 mam即1,1,2)( 2 amm aag令 0)(ag则 02)1( 02)1( 2 2mmg mmg 02 20 mm mm或或.202 mmm或或 复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。