《被等概率抽样》PPT课件

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1、1 2 一 、 不 等 概 率 抽 样 的 必 要 性 在 简 单 随 机 抽 样 中 ， 总 体 (或 层 )中 的 每 个 单元 入 样 的 概 率 都 相 等 。 如 果 总 体 中 的 每 个 单 元 在该 总 体 中 的 地 位 (或 重 要 性 )相 差 不 多 ， 则 这 种 基于 等 概 率 的 抽 样 是 理 所 当 然 的 选 择 。 等 概 率 抽 样不 仅 实 施 简 单 ， 而 且 相 应 的 数 据 处 理 公 式 也 简 单 。但 是 在 许 多 实 际 问 题 中 ， 我 们 还 需 要 使 用 不 等 概率 抽 样 ( s a m p l i n g w i

2、t h u n e q u a l probabilities)。 3 一 种 情 况 是 调 查 的 总 体 单 元 与 抽 样 总 体 的 单元 可 能 不 一 致 。 另 一 种 需 要 用 到 不 等 概 率 抽 样 的 情 况 是 ， 抽样 单 元 在 总 体 中 所 占 的 地 位 不 一 致 。 最 重 要 的 一 种 不 等 概 率 抽 样 乃 是 使 每 个 单 元入 样 的 概 率 与 该 单 元 的 大 小 成 比 例 的 抽 样(sampling with probabilities proportional to sizes， 简 称 PPS抽 样 )。 4 第 三

3、种 需 用 不 等 概 率 抽 样 的 情 况 是 为 了 改 善估 计 量 的 特 性 。 每 个 可 能 的 样 本 若 被 抽 的 概 率 与样 本 中 单 元 的 辅 助 变 量 之 和 成 正 比 的 话 ， 则 按 此进 行 不 等 概 率 抽 样 所 得 到 的 样 本 ， 用 通 常 的 比 估计 方 法 所 得 的 估 计 量 是 无 偏 的 。 5 总 之 ， 在 实 际 工 作 中 需 要 我 们 经 常 采 用 不 等概 率 抽 样 。 另 外 ， 从 上 面 列 举 的 情 况 也 可 看 到 ，凡 需 使 用 不 等 概 率 抽 样 的 场 合 ， 必 须 提 供

4、总 体 单元 的 某 种 辅 助 信 息 ， 例 如 每 个 单 元 的 “ 大 小 ” 度量 Mi或 辅 助 变 量 Xi等 。 6 二 、 不 等 概 率 抽 样 的 主 要 分 类 不 等 概 率 抽 样 可 按 多 种 原 则 进 行 分 类 。 鉴 于不 等 概 率 抽 样 同 时 会 带 来 目 标 量 估 计 及 其 方 差 估计 的 复 杂 性 ， 可 分 为 放 回 抽 样 ： 每 次 在 总 体 (或 层 )中 按 一 定 概 率抽 取 一 个 单 元 ， 抽 取 后 放 回 总 体 ， 再 进 行 下 一 次抽 样 ， 每 次 抽 样 都 是 独 立 的 。 不 放 回

5、抽 样 。 其 代 价 是 ： 由 于 丧 失 了 独 立 性 ，无 论 是 抽 样 方 法 还 是 方 差 估 计 ， 都 要 比 放 回 抽 样繁 复 得 多 。 7 另 一 种 分 类 是 ： 视 每 次 抽 样 (放 回 抽 样 的 情 形 )概 率 或 每 个 单 元 的 入 样 概 率 (不 放 回 抽 样 的 情 形 )是 否 严 格 地 与 单 元 的 大 小 成 比 例 。 另 外 ， 看 样 本量 n是 固 定 的 还 是 随 机 的 。 最 重 要 的 情 形 乃 是 当 n固 定 ， 且 上 述 概 率 与 单 元 大 小 严 格 成 比 例 的 不 等概 率 抽 样

6、。 以 后 我 们 将 这 种 情 形 的 放 回 抽 样 称 为PPS抽 样 ， 称 相 应 的 不 放 回 抽 样 为 PS抽 样 。 8 对 于 不 放 回 抽 样 ， 按 其 样 本 单 元 抽 取 方 式 的不 同 又 可 分 为 以 下 几 种 方 法 ： 1.逐 个 抽 取 法 。 每 次 从 尚 未 入 样 的 单 元 中 以一 定 概 率 抽 取 一 个 单 元 ， 这 个 概 率 通 常 与 已 经 入样 的 单 元 有 关 ， 2.重 抽 法 。 以 一 定 概 率 逐 个 进 行 放 回 抽 样 ，若 一 旦 抽 到 重 复 单 元 ， 则 放 弃 所 有 已 抽 到

7、的 单 元而 重 新 抽 取 ， 直 到 抽 到 规 定 单 元 数 且 所 有 入 样 单元 都 不 同 为 止 。 Back 9 3.系 统 抽 取 法 。 将 总 体 单 元 按 某 种 顺 序 排 列 ，且 将 规 定 的 单 元 入 样 （ 或 其 倍 数 ） 累 计 起 来 ， 并确 定 抽 样 间 隔 ， 在 这 个 范 围 内 产 生 一 个 随 机 数 以确 定 初 始 入 样 单 元 ， 然 后 按 上 述 抽 样 间 隔 确 定 其余 的 样 本 单 元 。 4.全 样 本 方 法 。 对 每 个 可 能 样 本 规 定 一 个 被抽 中 的 概 率 ， 按 这 个 概

8、率 一 次 抽 取 整 个 样 本 。Back 10 三 、 不 等 概 率 抽 样 的 特 点 不 等 概 率 抽 样 的 主 要 优 点 是 由 于 使 用 了 辅助 信 息 ， 提 高 了 抽 样 策 略 的 统 计 效 率 ， 与 简 单 随机 抽 样 甚 至 与 分 层 抽 样 相 比 ， 能 显 著 地 减 少 抽 样误 差 。 11 不 等 概 率 抽 样 有 以 下 的 缺 点 ： 抽 样 框 中 的 所 有 单 元 ， 都 要 有 高 质 量 的 、 能 用作 大 小 度 量 的 辅 助 信 息 ； 抽 样 框 的 创 建 比 简 单 随 机 抽 样 和 系 统 抽 样 成

9、本高 ， 更 复 杂 ， 因 为 需 要 度 量 和 存 储 总 体 中 每 一 个 单元 的 大 小 ； 并 非 在 任 何 情 况 下 都 能 使 用 ， 因 为 并 不 是 每 一个 总 体 都 有 稳 定 且 与 主 要 调 查 变 量 相 关 的 有 关 大 小或 规 模 的 度 量 ； 抽 样 及 估 计 （ 特 别 对 不 放 回 抽 样 ） 相 当 复 杂 ； 当 单 元 大 小 度 量 不 准 确 或 不 稳 定 时 不 适 用 ， 此时 更 好 的 办 法 是 将 单 元 按 大 小 分 组 并 使 用 分 层 抽 样 。Back 12 一 、 多 项 抽 样 多 项 抽

10、样 是 一 种 最 简 单 的 不 等 概 率 抽 样 。 它是 从 容 量 为 N的 总 体 中 有 放 回 地 进 行 独 立 抽 样 ，每 次 抽 样 中 ， 使 抽 到 第 i个 单 元 的 概 率 为 Zi， i=1，2， ， N， ， 连 续 抽 n次 ， 从 而 抽 到 n个 单 元 。 1 1N ii Z 13 若 记 为 总 体 中 第 i个 单 元 在 n次 抽 样 中 被 抽 到的 次 数 ， 显 然 对 每 个 i都 有 ： ，且 。 作 为 随 机 变 量 （ ， ， ） ，它 的 联 合 分 布 即 是 以 下 的 多 项 分 布 ： 这 就 是 多 项 抽 样 这

11、 个 术 语 的 来 源 。0 it n 1N ii t n 1t 2t Nt 1 21 21 2 ! ! ! Ntt t NNn Z Z Zt t t 14 根 据 多 项 分 布 的 性 质 ， 有 当 每 个 单 元 具 有 一 个 说 明 其 大 小 或 规 模 的度 量 时 ， 每 个 单 元 在 每 次 抽 样 中 的 入 样 概 率 与 单元 大 小 成 比 例 ， 称 这 种 特 殊 的 多 项 抽 样 为 放 回 的与 大 小 成 比 例 的 概 率 抽 样 ， 简 称 PPS抽 样 。( )i iE t nZ( ) (1 )i i iV t nZ Z ( , ) ( )i

12、j i jCov t t nZ Z i j iM 15 二 、 PPS抽 样 PPS抽 样 是 与 大 小 （ 或 规 模 ） 成 比 例 的 概 率 抽样 ， 是 一 种 使 用 辅 助 信 息 从 而 使 入 样 概 率 不 相 等的 抽 样 技 术 。 如 果 总 体 单 元 的 大 小 或 规 模 变 化 很 大 ， 且 这些 大 小 是 已 知 的 ， 这 样 的 信 息 就 可 以 用 在 抽 样 中 ，以 提 高 统 计 效 率 。 如 果 单 元 大 小 的 度 量 是 准 确 的 ，而 且 所 研 究 的 变 量 与 单 元 的 大 小 相 关 ， PPS抽 样 能极 大 地

13、 提 高 精 度 。 但 如 果 大 小 的 度 量 不 大 准 确 ，最 好 按 大 小 分 组 并 使 用 分 层 抽 样 。 16 PPS抽 样 的 入 样 概 率 。 如 上 所 述 ， PPS抽 样 时可 取为 第 i个 单 元 的 入 样 概 率 ， 其 中 是 总体 中 所 有 单 元 的 “ 大 小 ” 之 和 ， 为 第 i个 单 元的 大 小 。 0ii MZ M 0 1N iiM M iM 17 有 时 ， 关 于 单 元 的 大 小 只 是 约 略 知 道 或这 个 “ 大 小 ” 并 不 是 用 单 元 所 含 的 次 级 单 元 数 来表 示 的 ， 而 是 用 其

14、 它 有 关 尺 度 来 计 量 。 此 时 ， 设第 i单 元 大 小 的 计 量 尺 度 为 ， 则 有 ： 这 时 的 PPS抽 样 也 称 作 PPZ抽 样 。iMiM0MMZ ii ）（ Ni iMM 10 18 三 、 多 项 抽 样 的 实 施 方 法 如 何 抽 取 一 个 不 等 概 率 样 本 呢 ？ 有 三 种 主 要方 法 ： 代 码 法 、 系 统 法 及 随 机 系 统 法 。 以 下 的 讨论 以 PPS抽 样 为 例 ， 并 假 定 单 元 大 小 皆 为 整 数 。 19 （ 1） 代 码 法 (累 计 和 法 ， 随 机 法 或 汉 森 赫 维茨 法 ) 设

15、 N不 太 大 ， 且 （ 或 ） 为 第 i单 元 大 小 的度 量 ， 且 为 整 数 ， 对 总 体 中 的 每 个 单 元 计 算 累 计 大小 ， 得 到 总 体 所 有 单 元 代 码 的 累 计 和 ， 对 总 体中 每 个 单 元 确 定 与 它 相 对 应 的 代 码 范 围 ； 在 1到 总的 累 计 大 小 范 围 内 抽 取 一 个 随 机 数 ， 该 随 机 数相 应 的 代 码 范 围 中 的 单 元 即 为 入 样 单 元 。 重 复 上 述步 骤 ， 直 到 抽 得 n个 单 元 为 止 。iM iM 0M 0M 20 PPS抽 样 时 ， 单 元 的 代 码

16、如 下 表 ： 21 （ 2） 拉 希 里 法 （ 二 次 抽 样 法 ） 代 码 法 要 将 累 计 ， 在 N不 太 大 时 是 适 用 的 ，但 当 N很 大 时 ， 就 很 不 方 便 。 此 时 可 用 Lahiri（ 拉希 里 ） 1951年 提 出 的 方 法 。 令 每 次 抽 取 一 个 范 围 内 的 随 机 数 及 范 围 内 的 随 机 数 m， 若 ， 则 第 单 元入 样 ； 否 则 ,重 抽 。 此 时 ， 第 i个 单 元 的入 样 概 率 与 成 正 比 ， 从 而 。 重 复这 一 过 程 ， 直 到 抽 够 所 需 的 个 单 元 。iM iMNi1m a

17、x*M i*1 M， mMi i），（ mi iM 0/i iZ M Mn 22 （ 3） 系 统 PPS抽 样 方 法 对 总 体 中 的 每 个 单 元 ， 计 算 累 计 大 小 ； 对 总 体 中 每 个 单 元 确 定 与 它 相 对 应 的 代 码 范围 ； 确 定 抽 样 间 隔 k=总 累 计 大 小 /n； 在 1和 k的 范 围 内 确 定 一 个 随 机 起 点 r； 与 代 码 r， r+k， r+2k， ， r+（ n-1） k所 在范 围 相 对 应 的 单 元 入 样 。 注 意 ， 当 r+（ n-1） k超 过 总 累 计 大 小 时 ， 应使 用 圆 形 系

18、 统 抽 样 中 的 模 余 数 法 。 23 （ 4） 随 机 系 统 抽 样 法 在 这 种 方 法 中 ， 名 录 在 系 统 抽 样 前 要 进 行 随机 排 序 。 如 果 完 全 按 原 来 的 排 序 ， 会 把 一 些 可 能的 样 本 排 除 在 外 。 在 上 面 介 绍 的 系 统 抽 样 的 例 子中 ， 不 可 能 把 单 元 3和 4同 时 抽 入 同 一 个 样 本 。 把名 录 重 新 随 机 排 列 后 会 增 加 潜 在 的 可 能 抽 到 的 样本 数 量 。 实 际 上 这 些 方 法 都 有 些 问 题 。 例 如 ， 对 系 统抽 样 法 或 随 机

19、 系 统 抽 样 法 ， 一 个 大 小 大 于 抽 样 间隔 的 单 元 ， 就 有 重 复 被 抽 中 的 可 能 。 只 有 把 这 些大 单 元 放 入 单 独 的 一 个 层 ， 并 独 立 地 对 它 们 进 行抽 样 ， 才 能 克 服 这 个 问 题 。 另 一 个 问 题 是 估 计 值的 抽 样 方 差 估 计 比 较 困 难 。 24 四 、 估 计 量 对 于 多 项 抽 样 ， 由 于 抽 样 是 不 等 概 率 的 ， 每个 样 本 单 元 的 观 测 值 就 不 再 是 “ 平 等 的 ” ， 因 此对 于 总 体 参 数 的 估 计 与 等 概 率 抽 样 不

20、同 。 汉 森 赫 维 茨 提 出 ， 如 果 是 按 为 入 样概 率 的 多 项 抽 样 抽 得 的 样 本 指 标 值 ， 相 应 的 为 ， 则 总 体 总 和 Y的 无 偏 估 计 量 如 下 ：1 2, , , ny y y 0iZ iZ1 2, , , nz z z 11 n iHH i iyY n z 25 且若 n 1， 则 的 无 偏 估 计 量 为21 2 21 211( ) ( )1 ( )1 ( )N iHH ii iN ii iN N jii ji j i i jYV Y Z Yn ZY Yn Z YYZ Zn Z Z ( ) HHV Y 211 ( ) ( )(

21、1) n iHH HHi iyV Y Yn n z 26 对 于 PPS抽 样 ， ， 所 以 有其 中 是 第 i个 样 本 单 元 的 观 测 值 ， 例 如 商 店 的年 销 售 额 ， 而 是 该 单 元 的 大 小 ， 例 如 商 店 的 员工 人 数 ， 则 即 是 第 i个 商 店 人 均 年 销 售 额 。对 n个 取 平 均 即 是 样 本 商 业 网 点 人 均 年销 售 额 的 平 均 ， 将 此 数 乘 以 ， 即 该 地 所 有 商业 网 点 的 员 工 总 数 ， 即 可 获 得 该 地 商 业 销 售 总 额的 估 计 。 0/i iz M M 0 1 n iHH

22、 i iM yY n M iy iM/ i iy M/i iy M 0M 27 举 例 ： 下 表 是 某 系 统 全 部 N=36个 单 位 上 一 年 职 工 人数 及 当 年 职 工 人 数 的 数 据 ， 以 为 单 位 大 小 的 度 量 ，对 单 位 进 行 PPS抽 样 ， n=6， 估 计 全 系 统 当 年 职 工总 人 数 Y， 并 与 简 单 随 机 抽 样 做 精 度 比 较 。 28 一 、 包 含 概 率 与 PS抽 样 放 回 不 等 概 率 抽 样 实 施 简 单 ， 数 据 处 理 也 不 复杂 ， 在 不 等 概 率 抽 样 中 占 有 一 定 的 地 位

23、。 但 是 由 于放 回 抽 样 有 可 能 重 复 抽 到 同 一 单 元 ， 特 别 是 个 别 大单 元 被 重 复 抽 到 的 可 能 性 比 较 大 ， 这 就 在 一 定 程 度上 影 响 了 样 本 的 代 表 性 ， 降 低 了 抽 样 效 率 ， 也 不 易被 实 际 工 作 者 所 接 受 。 即 使 在 相 同 样 本 量 下 ， 放 回抽 样 的 精 度 比 不 放 回 抽 样 的 差 。 因 此 ， 我 们 仍 有 必要 研 究 不 放 回 不 等 概 率 抽 样 。 事 实 上 ， 由 于 不 放 回 抽 样 的 样 本 不 是 独 立 的 ，因 此 无 论 是 实

24、 施 还 是 数 据 处 理 ， 特 别 是 方 差 估 计 ，都 要 比 放 回 的 多 项 抽 样 复 杂 得 多 。 29 在 放 回 的 不 等 概 率 抽 样 中 ， 每 个 单 元 的 入 样概 率 起 着 关 键 作 用 。 在 不 放 回 抽 样 中 ， 每 个 单 元被 包 含 到 样 本 的 概 率 也 即 入 样 概 率 及 任 意 两 个 单元 都 包 含 到 样 本 的 概 率 都 起 着 十 分 重 要 的 作 用 ，它 们 通 称 为 包 含 概 率 。 对 于 固 定 的 n包 含 概 率 满 足 以 下 性 质 ： （ 1） （ 2） （ 3） 1N ii n

25、 ( 1)N ij i i j n 1 1 ( 1)2N N iji j i n n 其 中 性 质 1是 显 然 的 。 性 质 2是 对 每 个 已 在 样 本 中的 单 元 而 言 的 ， 固 定 了 这 个 特 定 单 元 ， 总 体 中 其它 N-1个 单 元 在 样 本 中 只 可 能 有 n-1个 单 元 ， 因 此其 中 最 后 一 个 等 式 利 用 了 性 质 1。 性 质 3则 直 接 利用 性 质 2： ( ) ( | ) ( | ) ( 1)N N Nij r r i r ii j i j i jP i P j i P j i n 1 1 11 1 1( 1) ( 1

26、)2 2 2N N N N Nij ij ii j i i j i in n n 与 放 回 的 PPS抽 样 类 似 ， 对 于 不 放 回 不 等 概 率抽 样 ， 我 们 最 感 兴 趣 的 是 与 单 元 大 小 成 比例 的 情 形 。 若 仍 记 ， 则 由 性 质 1有 ： 以 后 我 们 将 这 种 不 放 回 的 与 单 元 大 小 成 比 例的 概 率 抽 样 称 为 PS抽 样 。 i iM0i iZ M M i inZ 严 格 的 PS抽 样 实 施 起 来 非 常 复 杂 。 事 实 上 ，只 有 当 n=2时 ， 才 有 一 些 简 单 且 实 用 的 方 法 。

27、在 不放 回 抽 样 的 情 形 ， 如 果 抽 选 的 单 元 多 于 一 个 ， 要使 入 样 概 率 与 单 元 大 小 成 正 比 以 及 对 调 查 估 计 值的 误 差 进 行 估 计 都 比 较 复 杂 。 在 用 不 放 回 PS抽样 抽 取 多 于 两 个 单 元 时 ， 情 况 就 更 加 复 杂 。 实 际上 ， 这 仍 是 一 个 需 要 进 行 认 真 研 究 的 问 题 。 除 了实 施 方 面 的 原 因 外 ， 当 n大 时 ， 的 计 算 也 极 其困 难 ， 而 这 对 于 方 差 估 计 是 不 可 少 的 。 ij 二 、 霍 维 茨 汤 普 森 估 计

28、 量 及 其 性 质 对 不 放 回 的 不 等 概 率 抽 样 ， 总 体 总 和 Y的 估计 采 用 霍 维 茨 （ Horvitz） 与 汤 普 森 （ Thompson）提 出 的 以 下 估 计 量 ： 注 意 这 个 估 计 量 与 多 项 抽 样 的 汉 森 赫 维 茨估 计 量 非 常 相 似 。 事 实 上 ， 对 于 PS抽 样 ，由 于 ， 与 相 应 PPS抽 样 的 完 全 一致 。 1 n iHT i iyY HHY i inZ HTY HHY 霍 维 茨 汤 普 森 估 计 量 具 有 如 下 性 质 ： （ 1） 若 ， 则 是 Y的 无偏 估 计 ， 且 它

29、的 方 差 为 ：当 n固 定 时 ， 又 有 0 ( 1,2, , )i i N HTY21 11( ) 2N N N ij i jiHT i i ji i j ii i jV Y Y YY 21( ) ( )( )N N jiHT i j iji j i i jYYV Y （ 2） 若 ， 则 是 的 无 偏 估 计 。 又 当 n固 定 时 ， 以 下 的 耶 茨 （ Yates） 格 伦迪 （ Grundy） 森 （ Sen） 估 计 量 也 是 的 无 偏 估 计 ： 0, 0 ( 1,2, , , )i ij i N i j 221 11 ( ) 2n n n ij i jiHT

30、i i ji i j ii i j ijV Y y y y ( )HTV Y ( ) YGS HTV Y( )HTV Y 21 ( ) ( )n n i j ij jiYGS HT i j i ij i jyyV Y 37 三 、 n=2的 严 格 PS抽 样 对 于 PS抽 样 ， 由 于 作 为 总 体 总 和 的 霍 维茨 汤 普 森 估 计 量 的 形 式 相 当 简 单 ， 因 此 就 应 用角 度 来 说 ， 是 否 便 利 主 要 在 于 它 的 实 施 方 法 以 及 的 计 算 。 当 n=2时 ， 有 几 种 比 较 实 用 的 方 法（ 但 在 具 体 应 用 中 ， n

31、=2并 不 是 一 个 十 分 严 重 的 限制 ） 。 这 些 方 法 常 用 在 对 总 体 分 层 ， 在 每 层 中 抽取 两 个 样 本 单 元 的 情 况 。ij 38 （ 1） 布 鲁 尔 （ Brewer） 方 法 该 方 法 要 求 对 每 个 i， 都 满 足 ， 即 总 体（ 层 ） 中 的 最 大 单 元 必 须 小 于 全 部 单 元 大 小 总 和的 1/2（ 若 不 然 可 以 将 这 个 “ 特 大 ” 单 元 作 为 必 调查 的 单 元 ） 。 两 个 样 本 单 元 采 用 逐 个 抽 取 法 抽 取 ：第 一 个 单 元 按 与 成 比 例 的 概 率

32、抽 取 ； 第 二 个 单 元 则 在 剩 下 的 N-1个单 元 中 按 与 成 比 例 的 概 率 抽 取 。 12iZ (1 )1 2 i iiZ ZZ 39 （ 2） 德 宾 （ Durbin） 方 法 两 个 样 本 单 元 仍 用 逐 个 抽 取 法 抽 取 。 第 一 个样 本 单 元 以 概 率 抽 取 ， 设 抽 到 的 是 单 元 i； 第 二个 样 本 单 元 则 按 与 成 比 例的 概 率 抽 取 。 由 于 此 时 的 ， 且 与 布 鲁 尔 方 法的 相 等 ， 因 此 德 宾 方 法 与 布 鲁 尔 方 法 实 际 上 是 等价 的 。 应 用 德 宾 方 法

33、也 要 求 对 每 个 i， 都 满足 。 1 1( )1 2 1 2j i jZ Z Z 2 i iZ ij12iZ 40 四 、 n2的 严 格 PS抽 样 n2的 严 格 PS抽 样 要 比 n=2的 情 况 复 杂 得 多 ，即 使 可 以 实 现 ， 的 计 算 也 相 当 复 杂 。 下 面 仅 介 绍三 种 方 法 。 （ 1） 水 野 （ Midzuno） 方 法 这 也 是 一 种 逐 个 抽 取 方 法 ， 关 键 是 第 一 个 样 本单 元 的 抽 取 ， 它 是 以 概 率 抽 取 的 。 在 抽 取 第 一 个 单 元 以 后 ， 在 剩 下 的 N-1个 单 元

34、中 不 放 回 地 等 概 率 抽 取 n-1个 单 元 。ij * ( 1) 1 1,2, ,ii n M Z nZ i NN n N n 41 （ 2） 布 鲁 尔 （ Brewer） 方 法 这 是 n=2的 布 鲁 尔 方 法 在 n 2情 形 的 推 广 ，也 采 用 逐 个 抽 取 法 。 第 一 个 单 元 是 以 与 成 比 例 的 概 率 抽 取 。 在 第 r次 抽 取 时 ， 以 与 成 比 例 的 概 率 从 当 时 尚 未 入 样 的单 元 中 抽 取 一 个 单 元 。 (1 )1i iiZ ZnZ(1 )1 ( 1)i i iZ Zn r Z 42 （ 3） 拉

35、奥 （ Rao） 桑 普 福 特 （ Sampford）方 法 这 种 方 法 是 先 以 的 概 率 抽 取 第 一 个 样 本单 元 ， 然 后 以 与 成 比 例 的 概 率 有 放 回地 抽 取 n-1个 单 元 （ 设 所 有 的 ） 。 一 旦 有单 元 被 重 复 抽 中 ， 则 放 弃 所 有 已 经 抽 到 的 单 元 重抽 ， 直 到 抽 中 的 n个 单 元 都 不 同 为 止 。 这 种 方 法的 也 比 较 复 杂 ， 需 要 通 过 计 算 机 计 算 。iZ1 ii iZnZ 1 iZ nij 43 五 、 n2的 两 种 非 严 格 的 PS抽 样 当 n2时 ， 严 格 的 PS抽 样 比 较 复 杂 ， 特 别 是在 对 包 含 概 率 的 计 算 上 。 为 此 统 计 学 家 研 究 了一 些 非 严 格 的 PS抽 样 方 法 。 （ 1） 莫 蒂 （ Murthy） 方 法 （ 2） 拉 奥 （ Rao） 哈 特 利 （ Hartley） 科克 伦 （ Cochran） 方 法ij