电磁场数值计算方法-工程电磁场讲义

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1、电 磁 场 数 值 计 算 及 其 在 工 程 中的 应 用 1.What? 1.1数 值 计 算自 然 界 中 的 每 一 现 象 都 可 借 助 物 理 定 律 ， 按 照 与 各种 主 要 量 相 联 系 的 代 数 方 程 、 微 分 方 程 或 积 分 方 程 来描 述 。 在 科 学 研 究 及 工 程 应 用 中 ， 人 们 主 要 关 心 的 量 便 是某 个 数 学 物 理 方 程 的 解 ， 包 括 解 析 解 和 数 值 解 。 数 值 计 算 是 研 究 各 种 数 学 问 题 的 数 值 方 法 设 计 、 分析 、 有 关 的 数 学 理 论 和 具 体 实 现 的

2、 一 门 学 科 。 1.2 电 磁 场 理 论 Maxwell方 程 组 由 Faraday定 律 、 Ampere定 律 、 两 个 Gauss定 律一 共 4个 方 程 构 成 的 偏 微 分 方 程 组 ， 加 上 介 质 中 的 本 构 方 程 ， 以 及两 种 媒 质 交 界 面 的 边 界 条 件 ， 还 有 Lorentz力 公 式 ， 这 些 简 洁 的 公式 几 乎 可 以 解 释 所 有 的 电 磁 现 象 ， 我 们 的 任 务 就 是 在 各 类 工 程 电磁 问 题 中 尽 可 能 精 确 地 求 解 这 些 方 程 ：q q F E v B 1 21 21 21

3、2( ) 0( )( )( ) 0 ss n E En H H Jn D Dn B B0 t t BE DH JDB D EB HJ E 1.3工 程 应 用 电 磁 场 数 值 计 算 在 多 个 工 程 领 域 中 都 得 到 应 用 ， 例 如 ：电 力 系 统 ： 高 压 (高 压 输 电 线 、 绝 缘 子 )、 电 机 、 变 压 器 、电 缆 等 ；电 子 与 微 波 ： 高 速 PCB、 波 导 、 谐 振 腔 、 辐 射 、 天 线 等 ；相 关 领 域 ： 感 应 加 热 、 无 损 检 测 、 电 磁 成 形 、 电 磁 生 物效 应 等 ； 2.H ow?2.1有 限

4、元 法 (Finite Element Method) 现 代 FEM第 一 个 成 功 的 尝 试 ， 是 将 刚 架 位 移 法 推 广 应用 于 弹 性 力 学 平 面 问 题 ， 这 是 Turner， Clough等 人 在 分析 飞 机 结 构 时 于 1956年 得 到 的 成 果 。 1960年 Clough首 次 提 出 了 “ 有 限 元 法 ” 的 名 称 ； 60年 代 ， 科 学 家 证 明 了 FEM是 基 于 变 分 原 理 的 Ritz法 的另 一 种 形 式 ； 并 进 一 步 利 用 加 权 余 量 法 来 确 定 单 元 特性 和 建 立 有 限 元 方

5、程 ， 主 要 利 用 的 是 Galerkin法 ； 直 到 1968年 ， FEM才 开 始 应 用 于 电 磁 问 题 。 FEM的 基 本 思 想 是 分 片 插 值 ， 即 ： 将 连 续 的 求 解 区 域 离 散 为 一 组 有 限 个 、 且 按 一 定 方式 相 互 联 结 在 一 起 的 单 元 的 组 合 体 ； 利 用 每 个 单 元 内 假 设 的 近 似 函 数 来 分 片 表 示 全 求 解域 上 待 求 的 未 知 场 函 数 ； 单 元 内 的 近 似 函 数 通 常 由 未 知 场 函 数 及 其 导 数 在 单元 的 各 个 节 点 的 数 值 及 其 插

6、 值 函 数 来 表 达 ； 这 样 未 知 函 数 从 一 个 连 续 的 无 限 自 由 度 问 题 变 成离 散 的 有 限 自 由 度 问 题 。 随 着 单 元 数 目 的 增 加 ， 单 元尺 寸 的 缩 小 ， 或 单 元 自 由 度 的 增 加 及 插 值 函 数 阶 数 的提 高 ， 近 似 解 将 收 敛 于 精 确 解 。 FEM相 比 其 它 数 值 方 法 的 优 点 在 于 ：理 论 基 础 成 熟 ；计 算 格 式 规 范 统 一 ， 利 于 编 程 ；适 应 性 高 ， 适 合 各 种 复 杂 形 状 的 区 域 ；求 解 精 度 高 ； 由 于 这 些 优 异

7、 的 特 性 ， 在 短 短 几 十 年 时 间 里 ，FEM成 为 了 绝 大 多 数 物 理 和 工 程 问 题 中 (机 械 、航 空 、 汽 车 、 船 舶 、 土 木 、 海 洋 工 程 、 电 气 电子 、 压 力 容 器 等 )应 用 最 广 泛 的 一 种 计 算 机 辅 助分 析 方 法 。 在 电 磁 分 析 领 域 ， 除 了 FEM以 外 ， 也 有 其它 有 效 的 数 值 方 法 ， 例 如 ： 矩 量 法 (MOM)、 边界 元 法 (BEM)、 时 域 有 限 差 分 法 (FDTD)等 等 。 2.2 有 限 元 软 件 前 处 理 程 序(几 何 建 模 、

8、赋 材 料 属 性 、网 格 剖 分 ) 单 元 计 算 程 序(包 括 单 元 刚 度矩 阵 的 计 算 和总 体 刚 度 矩 阵的 组 装 ) 代 数 方 程 组 求解 程 序(得 到 各 个 离散 单 元 内 的 未知 量 值 ) 后 处 理 程 序(通 过 插 值 得 到 区 域 每点 的 值 ， 将 结 果 数 据可 视 化 以 及 进 一 步 处理 ) ANSYS软 件 是 使 用 最 广 泛 的 大 型 通 用 有 限元 分 析 软 件 ， 可 应 用 于 ： 结 构 分 析 、 电 磁 分 析 、热 分 析 、 流 体 动 力 学 分 析 等 ， 还 包 含 一 些 行 业化

9、定 制 模 块 等 等 ， 功 能 非 常 强 大 。 其 电 磁 场 分析 包 括 几 个 模 块 ： 低 频 、 高 频 、 电 大 尺 寸 高 频(MOM)、 电 缆 束 EMC和 SI、 PCB的 EMC和 SI等 。 ANSYS有 限 元 分 析 软 件 其 他 的 分 析 软 件 除 了 ANSYS以 外 ， 还 有 许 多 通 用 或 电磁 分 析 专 业 软 件 ， 例 如 ： ANSOFT公 司的 Maxwell 2D& 3D、 HFSS、 飞 箭 公 司 的FEPG、 COMSOL公 司 的 FEMLAB等 等 ，它 们 各 有 特 点 。 3.Applications3.

10、1 应 用 实 例 1准 静 电 场架 空 线 路 分 裂 导 线 表 面 电 场 2 0 3.2 应 用 实 例 2静 磁 场 漏 磁 检 测 2 A J 3.3 应 用 实 例 3趋 肤 效 应光 纤 复 合 架 空 地 线 铝 包 层 及 钢 芯 电 流 密 度 分 布 1 0z z zS IA j A j A dSa a 3.4 应 用 实 例 43D涡 流 场 铝 板 中 的 涡 流 分 布 1( ) 0j V A A A ( ) 0j V A 1( ) s A A J 4.Conclusion 有 限 元 法 用 于 电 磁 问 题 的 分 析 已 有30多 年 的 历 史 ， 并

11、 在 工 程 中 得 到 了 广 泛的 应 用 ， 各 种 商 业 软 件 也 纷 纷 涌 现 ， 然而 新 的 问 题 和 挑 战 依 然 存 在 ， 例 如 ： 运动 物 体 的 电 磁 问 题 、 耦 合 场 、 并 行 计 算等 ， 尚 不 能 够 很 好 解 决 ， 需 要 广 大 的 爱好 者 们 的 进 一 步 努 力 和 完 善 。 有 限 元 法 的 理 论 基 础一 维 有 限 元 法 一 、 回 顾 1、 有 限 元 计 算 的 方 法 加 权 余 量 法 中 的 迦 辽 金 法 和 变 分 法 中 的 里 海 里 兹 法 。 2、 有 限 元 法 的 处 理 思 想 对

12、 一 个 整 体 问 题 进 行 局 部 化 处 理 ； 微 分 方 程 简 化 为 求 解 代 数 方 程 组 。 3、 有 限 元 法 的 特 点 优 点 、 缺 点 二 、 节 点 与 单 元 对 于 一 维 问 题 来 说 ， 单 元 的 形 状 是 一 条 线 段 。 图 1 一 维 问 题 的 节 点 和 单 元 三 、 一 维 单 元 的 形 函 数 1、 一 维 单 元 形 函 数 的 定 义 形 函 数 代 表 了 单 元 上 近 似 解 的 一 种 插 值 关 系 ，它 决 定 了 近 似 解 在 单 元 上 的 形 状 ； 对 于 一 维 有 限 元 来 说 ， 形 函

13、数 分 段 线 性 。 对于 一 维 一 阶 有 限 元 来 说 ， 形 函 数 为 一 个 直 线 段 ，对 于 一 维 高 阶 有 限 元 来 说 ， 形 函 数 为 一 个 曲 线 段 ； 选 择 形 函 数 时 ， 可 以 使 一 个 任 意 单 元 上 的 形函 数 只 与 该 单 元 所 对 应 的 节 点 势 函 数 有 关 而 与 其它 各 点 的 值 无 关 ； 对 于 任 意 一 个 节 点 的 形 函 数 在 该 节 点 上 的 值 为1， 并 在 与 该 节 点 相 邻 的 两 个 单 元 上 线 性 减 小 ， 直到 在 相 邻 的 节 点 是 分 别 减 小 为 0

14、。 任 意 一 个 节 点 的 形 函 数 如 图 2所 示 。 图 2 对 应 于 某 节 点 的 形 函 数 2、 形 函 数 表 达 式 中 系 数 的 确 定 任 意 一 个 一 维 单 元 有 两 个 节 点 ： 和 ， 这两 个 节 点 上 的 电 势 分 别 为 和 ， 它 们 为 选 定 的未 知 量 。 对 于 一 维 一 阶 有 限 元 来 说 ， 其 形 函 数 可 表 示 为 ： 由 形 函 数 的 性 质 可 知 ： ix 1ix i 1i i i iN x 110 ii ix xN x x 将 和 代 入 形 函 数 的 表 达 式 即 可 求 得 。四 、 整 体

15、 系 数 矩 阵 应 用 有 限 元 法 求 解 导 出 的 矩 阵 方 程 可 写 为 ： 其 中 ， 为 阶 系 数 矩 阵 ， 为 阶 节 点 势函 数 矩 阵 ， 为 阶 激 励 矩 阵 。 110 i i ii i ixx i i iN iN K f K n n 1n f 1n 该 方 程 表 示 了 整 个 区 域 内 未 知 势 函 数 值 与 问 题的 几 何 结 构 和 激 励 源 的 关 系 ， 系 数 矩 阵 中 ： 当 即 激 励 为 零 时 ， 。1 1,2nij ji i jii iK K N N d j nf qN d 0q 0 if 五 、 局 部 系 数 矩

16、阵 由 于 形 函 数 的 分 段 线 性 的 特 殊 形 式 ， 系 数 矩 阵中 系 数 的 求 解 可 以 局 部 化 处 理 。 整 个 区 域 被 分 为 许 多 单 元 ， 系 数 矩 阵 的 任 意 一 个 元素 可 以 先 针 对 每 一 个 单 元 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 将各 单 元 的 积 分 结 果 相 加 得 到 整 体 系 数 矩 阵 。 若 用 m表 示 单 元 的 个 数 ， 则 的 计 算 过 程 可 写 成 ： 式 中 上 标 e表 示 对 应 于 某 个 单 元 的 量 ； 表 示 对应 于 某 个 单 元 的 子 区 域 ， 为 局 部 系

17、数 矩 阵 中 的 元素 。 ijK ijK 1 1em m eij i j ije eK N N d K ee e eij i jK N N d eeijK 同 样 的 原 理 可 以 将 整 体 激 励 矩 阵 的 某 一 元 素 表示 为 对 应 于 各 个 单 元 的 积 分 之 和 ： 这 样 当 计 算 整 体 系 数 矩 阵 和 整 体 激 励 矩 阵 的 元素 时 ， 只 需 依 次 对 每 一 个 单 元 进 行 “ 局 部 ” 的 “ 单独 ” 的 计 算 。 1 1em m ei i ie ef qN d f ee ei if q N d 六 、 局 部 系 数 矩 阵

18、与 整 体 系 数 矩 阵 一 个 一 维 有 限 元 e对 整 体 矩 阵 的 贡 献 为 ： 其 中 矩 阵 元 素 位 于 整 体 系 数 矩 阵 中 的 第 i 行 和第 j 列 ， 并 与 其 他 单 元 对 该 整 体 系 数 矩 阵 元 素 的 贡献 相 加 。 矩 阵 元 素 位 于 整 体 激 励 矩 阵 的 第 i 行 并与 其 他 单 元 对 该 整 体 激 励 矩 阵 元 素 的 贡 献 相 加 。 e eii ije e eji jjK KK K K e iei ejff f eijK eif 2 2 3 31 11 2 322 23 33 3411 12 2 2 3

19、 31 1 32 33 43 4421 22 21 31 2 321 321 332 4K K K KK KK K KK K K KK K ff ff f fff f 1 111 12 1 1 2 221 22 22 232 2 3 332 33 33 343 343 44111 22 22 3 3 334 0 0000 0K KK K K KK K K K KK Kff ff f ff 矩 阵 方 程 可 写 为 ： 11 1 1111 12 1 21 1 2 2 2 2221 22 22 232 2 3 3 2 3332 33 33 34 3 33 3 3443 44 40 0000 0

20、fK K f fK K K KK K K K f fK K f 七 、 边 界 条 件 1、 狄 利 克 莱 边 界 条 件 满 足 狄 利 克 莱 边 界 条 件 非 常 简 单 ， 只 需 要 令 狄 利 克 莱边 界 上 的 各 节 点 电 势 为 给 定 的 值 即 可 。 图 1中 ， 若 节 点 1和 节 点 4上 分 别 有 狄 利 克 莱 边 界 条 件 ： ，则 加 入 边 界 条 件 后 的 矩 阵 方 程 为 ： 这 样 ， 狄 利 克 莱 边 界 上 的 势 函 数 值 不 再 是 未 知 数 了 ， 而 是 由 狄 利 克 莱 边 界 条 件 所 确 定 的 已 知

21、量 。 1 40, 1 11 1 111 12 1 21 1 2 2 2 2221 22 22 232 2 3 3 2 3332 33 33 34 3 33 3 343 44 400 000 10 0 fK K f fK K K KK K K K f fK K f 七 、 边 界 条 件2、 齐 次 诺 伊 曼 边 界 条 件 在 有 限 元 法 的 处 理 过 程 中 ， 齐 次 诺 伊 曼 边界 条 件 是 自 动 满 足 的 ， 不 需 要 进 行 特 别 处 理 。 八 、 单 元 上 的 势 函 数 节 点 上 的 势 函 数 求 出 后 ， 势 函 数 在 其 它 位 置的 值 可 以 用 插 值 的 原 理 来 表 示 。 任 意 一 个 单 元 e上 的 势 函 数 分 布 由 节 点 i和 i 1上 的 势 函 数 和 及 相 应 的 形 函 数 和 表 达 ： 图 3 单 元 上 的 势 函 数 i 1i iN 1iN 1 1e e ei i i iN N 九 、 小 结 1、 单 元 和 节 点 2、 形 函 数 3、 整 体 系 数 矩 阵 ， 局 部 系 数 矩 阵 以 及 它 们 之 间 的 关 系 4、 边 界 条 件 的 处 理 5、 单 元 上 的 势 函 数