《误差理论与测量平差基础教学课件》第八讲

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1、第 一 章 误 差 理 论 与 最 小 二 乘 原 理Error Theory and The Least Squares Principle 1、 测 量 中 ， 有 时 需 要 顾 及 系 统 误 差 的 影 响 .上 节 课 内 容 回 顾 ：2、 在 线 性 情 况 下 ， 系 统 误 差 的 传 播 规 律 和 函 数关 系 一 致 .非 线 性 情 况 先 线 性 化4、 权 、 单 位 权 中 误 差 、 权 矩 阵 、 权 逆 阵5、 算 术 中 数 、 水 准 测 量 、 三 角 高 程 测 量 的 权 . 第 七 讲 权 与 权 逆 阵 的 传 播 （ 复 习 ）3、 尤

2、其 注 意 的 应 用2222 kmkmz 6、 权 倒 数 、 权 逆 阵 的 传 播 则 路 线 长 应 为 多 少 ？ ， 若 使 高 差 之 权 为米 ， 其 高 差 之 权 为： 水 准 测 量 路 线 长例 144501解 ： SSph 0 4504 0Sm180045040 S 。时 ， 高 差 之 权 为即 ， 路 线 长 度 为 1m1800角 的 权 。， 求 由 此 算 得 的为 测 回 ， 若 每 测 回 的 权角 测 了测 回 ，角 测 了中 ，： 例 C1 2B32 AABC解 ： BAC 180BAC ppp 111 33 ppA 22 ppB 652131 56

3、 CP C角 函 数 关 系 式 的 中 误 差 。、） 观 测 值） 单 位 权 中 误 差 ；试 求的 中 误 差 为角 ，、应 的 权 分 别 为为 三 个 角 的 观 测 值 ， 对、： 若例 CA2 1 ,8B 416141CB3 A解 ： mp22mp BBmp )8(161 2pm Am Cm 4412 Ap 142 Cp根 据 权 的 定 义又 因 为 。的 权 及求 ，的 权 为： 已 知例 xy upzyx puuyuxyxz, ,2,4 2 解 ： ududx 2 ux pup 1)2(1 2 24upp ux dudy 2 uy pp 121 2 4uy pp duud

4、ydxdz )22( uz pup 1)22(1 2 2)22( upp uzuxy pup 1221 upp uxy 4线 性 化 。及求 ： 已 知例 21 , ,21 12,11 11,11 125 , xxYXYLLXXLYX LppQQQQQQ QXYLX 解 ： 11 1221 1211 12 XQ 23 3610 1311 12 11 11 ,11 12 BA设 ： TLAAQ YQ BXYALX ,XLQ LXQ XLBQYXQ 21 , 61 21 xx pp 21 , 61 21 xx pp XQ TTL BABAQTXBBQLAQ TLAQ YLQ LBAQTLABAQX

5、BQ 补 充 复 习 ： 矩 阵 的 迹的 迹 。称 为 矩 阵阶 方 阵定 义 ： 设 AaAtr aaa aaa aaaA ni ii nnnn nn 1 21 22221 11211)( n )()()3( )()()2( )()()1( AEtrAtrE BAtrABtr AtrAtr T性 质 ： 补 充 复 习 ： 对 称 正 定 矩 阵如 果 矩 阵 A正 定 ， 那 么1、 A一 定 对 称 ；2、 A的 各 阶 主 子 式 行 列 式 大 于 零 ；3、 A的 n个 特 征 值 大 于 零 ；4、 一 定 存 在 满 秩 矩 阵 G使 得 A GG T， A-1=(GT)-1

6、G-1；5、 权 阵 和 协 方 差 阵 均 是 正 定 矩 阵 。 1、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight2、 Calculating The Variance and Standard Error of Unit Weight According to The d3、 A Careful Review of This Chapter 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差 Calculating The Variance and Standard Error of Unit

7、 Weight With True Error 1、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差1、 单 位 权 中 误 差 定 义2、 单 位 权 中 误 差 可 以 任 意 给 定 ， 为 什 么 还 要 计 算 ？22ii mp 以 水 准 测 量 定 权 为 例 SSp h 0 上 式 中 我 们 选 定 的 是 单 位 权 路 线 长 度 而 不 是 单 位 权 中 误 差 ， 单位 权 中 误 差 即 是 S0的 中 误 差 ， 大 小

8、 未 知 。 但 S0确 定 下 来 后 ， 单位 权 中 误 差 也 随 之 确 定 。 此 时 ， u就 不 再 是 任 意 常 数 了 。 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差2、 单 位 权 中 误 差 可 以 任 意 给 定 ， 为 什 么 还 要 计 算 ？对 一 系 列 观 测 值 h1， h2， hn， 其 权 分 别 用 路 线 长 确 定 为p1， p2， ， pn， 如 果 此 时 单 位 权 中 误 差 u已 知 ， 即 可 计 算每 个 观 测 值 的 中 误 差 。 ii pum /1因 此 ： 1、 The Formula o

9、f Variance and Standard Error of Unit Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差2、 单 位 权 中 误 差 可 以 任 意 给 定 ， 为 什 么 还 要 计 算 ？n 精 度 估 计 需 要 知 道 un 而 定 权 时 ， 通 常 选 定 的 不 是 u， 而 是 单 位 权 观 测 值精 度 估 计 的 流 程 ： 确 定 观 测值 的 权 计 算 单 位权 中 误 差 计 算 观 测 值中 误 差1、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit

10、 Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差3、 单 位 权 中 误 差 (方 差 )计 算 方 法方 法 一 ：设 L1， L2， ， Ln， 为 观 测 向 量 ， 记 为 L； 为 对 应 的 真 误 差 向 量 ； 是 其 协 方 差 矩 阵 ；P为 对 应 的 相 关 权 阵 。 按 照 协 方 差 矩 阵 的 定 义 TE 120 P IP 20 1、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 权 阵 和 协 方 差 矩 阵 的 关 系 第 八 讲 用 真 误 差

11、 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差3、 单 位 权 中 误 差 (方 差 )计 算 方 法方 法 一 ： IP 20 )(20 TPEI )(20 TPEI )()( 20 TPEtrItr )()(20 PtrEPtrEn TT两 边 取 迹 nPE T )(20 单 位 权 方 差 ：1、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差3、 单 位 权 中 误 差 (方 差 )计 算 方 法单 位 权 中 误 差 ： nP T 2 n

12、PT 观 测 值 独 立 时 ： nP Note： 单 位 权 中 误 差 的 平 方 是 单 位 权 方 差 的 无 偏 估 值 单 位 权 中 误 差 平 方 以 概 率 收 敛 与 单 位 权 方 差 1、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差3、 单 位 权 中 误 差 (方 差 )计 算 方 法方 法 二 ： 计 算 公 式 ：思 路 （ 构 造 虚 拟 观 测 值 ） 如 果 能 找 到 一 组 单 位 权 观 测 值 那 么 这

13、 组 观 测值 的 方 差 和 中 误 差 就 是 单 位 权 方 差 和 中 误 差 nLLL , 21 nE T )(20 nT21、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差3、 单 位 权 中 误 差 (方 差 )计 算 方 法证 明 ： 首 先 寻 找 单 位 权 观 测 值令 ： 因 为 P正 定 ， 一 定 有 TGGP 0GLGL T TG 根 据 权 逆 阵 的 传 播 公 式 IGGGG GGGGGPGP TT TTTL 11

14、 111 )( )(1、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差3、 单 位 权 中 误 差 (方 差 )计 算 方 法因 为 LL PIP 1 即 虚 拟 观 测 值 独 立 、 等 精 度 、 权 等 于 1， 所 以 nPnGGn GGn TTTTTTT )(21、 The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差

15、 和 中 误 差4、 证 明 单 位 权 中 误 差 是 单 位 权 方 差 的 无 偏 估 值 。 2020 20 2 )( )(1)(1 )(1)(1 )(1)(1 )(1)( Itrn PQtrnPtrn PEtrnPEtrn PtrEnPtrEn PtrEnE TT TT T 2、 Calculating The Variance and Standard Error of Unit Weight According to The d 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差 设 n对 观 测 值 nnnppp LLL LLL , , , 21 21

16、21 对 应 精 度 相 等 nddd , 21 其 较 差较 差 的 权 为 2,2,2 21 nd pppp ： np nddp 2 npdd2 nddm 2单 位 权 中 误 差 ： 等 精 度 时 ： npdd2 段 号 距 离 S（ km） 往 测 高 差 (m) 返 测 高 差 (m) 差 值 d (mm) A 1 5.2 184.0 180.0 4 1 2 3.0 1.636 1.640 4 2 3 1.5 1.434 1.424 10 3 4 5.0 0.584 0.593 9 4 B 3.5 0.053 0.063 10 例 1 9 1 在 A、 B两 点 间 分 五 段 进

17、 行 水 准 测 量 。 每 段 均 进 行 往 返 测 ，所 得 结 果 如 下 表 。 试 求 一 千 米 及 全 长 单 程 观 测 高 差 中 误 差 。 (km) 10 S取 Spi 1 即 2.1235.31000.5815.11000.3165.216 Sdd mm51.352 2.123 Sm 全 长 解 ： kmm1 Sddpdd mm83.13,mm51.3 差 的 中 误 差 为 全 长 单 程 高误 差 为 的 中即 一 千 米 单 程 高 差 高 差mm83.135.1551.3 第 八 讲 用 真 误 差 表 示 的 单 位 权 方 差 和 中 误 差作 业 ： 1

18、.78 1.79 1、 真 误 差 ， L E（ L）一 、 基 本 概 念2、 粗 差 ： 显 著 异 常 ， 对 观 测 值 影 响 大4、 偶 然 误 差 ： 【 1】 单 个 无 规 律 ， 【 2】 总 体 服 从 正态 分 布 ， 【 3】 统 计 特 性 ： 有 界 、 聚 中 、 对 称5、 方 差 ： 随 机 变 量 总 体 的 离 散 程 度3、 系 统 误 差 ： 【 1】 常 数 保 持 不 变 ， 【 2】 按 规 律变 化 ， 【 3】 具 有 累 积 性3、 A Careful Review of This Chapter 6、 方 差 矩 阵 、 协 方 差 ：

19、 主 对 角 线 元 素 大 于 0一 、 基 本 概 念7、 中 误 差 ：9、 或 然 误 差 ：10、 相 对 误 差 ： 分 子 化 成 18、 平 均 误 差 ：3、 A Careful Review of This Chapter nm （ 加 P为 单 位 权 中 误 差 ） nt CC df 2111、 极 限 误 差 ： 【 1】 2m或 3m， 【 2】 用 于 真 误 差 ，【 3】 闭 合 差 和 较 差 12、 平 差 ： 依 据 某 种 数 学 原 则 的 一 种 调 整一 、 基 本 概 念13、 测 量 条 件 ： 观 测 者 、 仪 器 、 外 部 环 境 ，

20、 对 象15、 权 矩 阵17、 对 称 正 定 矩 阵14、 权 ： 表 征 观 测 值 之 间 相 对 精 度 的 指 标3、 A Careful Review of This Chapter16、 权 逆 阵 非 独 立 时 ， 权 阵 中 的 元 素 不 是 对 应 观 测 值 的权 ， 逆 阵 中 的 元 素 是 对 应 观 测 值 的 权 倒 数 二 、 计 算 公 式 及 其 应 用 范 围1、 中 误 差3、 较 差 计 算 m2、 菲 列 罗 公 式3、 A Careful Review of This Chapter nm （ 真 误 差 、 独 立 、 等 精 度 ）注意

21、公式的特点，菲列罗公式要求会推导。 nWWm 3 （ 闭 合 差 、 独 立 、 等 精 度 ）nddm 2 （ 较 差 、 独 立 、 等 精 度 ） 二 、 计 算 公 式 及 其 应 用 范 围4、 单 位 权 中 误 差3、 A Careful Review of This Chapter（ 真 误 差 、 独 立 、 非 等 精 度 ）单位权中误差的推导要清楚（ 较 差 、 独 立 、 非 等 精 度 ）np nPT （ 真 误 差 、 相 关 、 非 等 精 度 ）npdd2 三 、 传 播 公 式1、 随 机 变 量 的 函 数3、 A Careful Review of Thi

22、s Chapter中 误 差 传 播 ： nxxxfz , 21 nnxfxfxfz 0202101 TKz线 性 化KMKm xTz 2权 倒 数 传 播 ： KPKp XTz 11 KQKp xTz 1 三 、 传 播 公 式2、 向 量3、 A Careful Review of This Chapter中 误 差 矩 阵 传 播 ： XY A权 逆 阵 的 传 播 ： 0AAXY TXY AAMM TXY AAQQ 三 、 传 播 公 式3、 广 义 传 播 定 律3、 A Careful Review of This Chapter中 误 差 矩 阵 传 播 ：相 关 权 逆 阵 的

23、 传 播 ： 00BBYV AAXU YBV XAU真 误 差 之 间 的 关 系 ： TXYUV BAMM TXYUV BAPP 11 三 、 传 播 公 式4、 系 统 误 差 的 传 播3、 A Careful Review of This Chapter中 误 差 传 播 ：真 误 差 之 间 的 关 系 ： nnLkLkLkz 2211 ni iini ii nnnz kk kkk 11 222111 ）（）（）（ 2222 kmkmz 1、 多 余 观 测 可 以 揭 示 矛 盾 ， 但 不 能 消 除 矛 盾 。四 、 重 要 概 念2、 平 差 的 目 的 是 消 除 矛 盾

24、， 求 得 未 知 参 数 的 唯一 估 值 ， 并 估 计 精 度 。 但 不 能 消 除 误 差 。4、 偶 然 误 差 和 系 统 误 差 在 一 定 条 件 下 相 互 转 化 （ 偶 然 误 差 对 测 量 结 果 的 影 响 总 是 随 机 的 ）5、 观 测 值 与 其 偶 然 真 误 差 等 精 度3、 偶 然 误 差 单 个 无 规 律 ， 总 体 服 从 正 态 分 布3、 A Careful Review of This Chapter 6、 相 同 条 件 下 一 列 观 测 值 求 得 的 中 误 差 是 该 条件 下 任 意 观 测 值 的 中 误 差 。四 、 重

25、 要 概 念7、 相 对 误 差 一 般 用 于 长 度 测 量 和 导 线 测 量9、 误 差 或 权 倒 数 传 播 注 意 线 性 化 和 相 关 性10、 两 观 测 值 精 度 相 同 是 指 测 量 条 件 相 同 ， 而非 真 误 差 相 同8、 极 限 误 差 适 用 于 真 误 差3、 A Careful Review of This Chapter11、 协 方 差 可 以 小 于 0， 相 关 权 倒 数 可 以 小 于 0 12、 单 位 权 中 误 差 不 一 定 存 在 于 观 测 列 中四 、 重 要 概 念13、 权 矩 阵 的 元 素 不 一 定 是 对 应

26、观 测 量 的 权15、 提 高 平 差 值 精 度 的 关 键 是 提 高 观 测 值 的 精度 ， 而 不 是 增 加 测 回 数14、 权 逆 阵 的 主 对 角 线 元 素 一 定 是 对 应 观 测 量的 权 倒 数3、 A Careful Review of This Chapter16、 真 值 的 中 误 差 和 权 倒 数 均 为 0 1、 已 知五 、 典 型 题求 单 位 权 方 差3、 A Careful Review of This Chapter 2/14/1 4/11/4Q , 21 11 L L 20 2、 已 知 尺 长 为 50m1mm， 测 量 AB两 点 距 离 两次 得 中 数 SAB 200m8mm， 求 尺 段 丈 量 中 误差 及 往 返 差 值 的 限 差 。五 、 典 型 题3、 A Careful Review of This Chapter