理想低通滤波器、系统的物理可实现性

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1、哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 5.2理 想 低 通 滤 波 器 、 系 统 的 物 理 可 实 现 性一 、 理 想 低 通 滤 波 器1 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 特 性 理 想 模 型 信 号 ： 冲 激 函 数 、 阶 跃 函 数 系 统 ： 理 想 低 通 、 高 通 、 带 通 、 带 阻 滤 波 器 理 想 低 通 滤 波 器 ： 矩 形 幅 度 、 线 性 相 位 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系0( ) 0 otherjt c ceH j c c作 用 ： 使 频 率 低 于 的 分 量 无 失 真 的 通 过 ， 高 于 的 分 量完 全 衰 减 为 0；(

2、 ) 0t 0( ) t ( )H jc c 1( ) 0 c ccH j 是 否 满 足 无失 真 条 件 ？ 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系( )h t 0( ) 0 00 01 sin ( ) ( )2 ( ) ( )j t t c c c c cc ce t t Sa t tj t t t t 2.理 想 低 通 滤 波 器 的 冲 激 响 应 01 1 1( ) ( ) ( )2 2 cc j tj t j th t F H j H j e d e e d ( )h t0 0t t 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 时 刻 加 入0t ( )t ( )H j ( )h t( )h

3、t 0t 由 于 在 时 有 值 ， 未 卜 先 知 ， 所 以 物 理 上 不 可 能 实 现 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 3.理 想 低 通 滤 波 器 的 阶 跃 响 应 ( )u t ( )H j ( ) ?g t 1( ) ( )E j j 01( ) ( ) ( ) ( ) j tG j H j E j ej 01 1 1( ) ( ) ( ) 2 cc j t j tg t F G j e e dj 0 01 1 cos ( ) 1 sin ( )2 2 2c cc ct t t td dj 0 0( ) ( )00 0sin ( )1 1 1 1 sin2 2c cx t

4、 t t tt t xd dxx 0( ) 0 j t c cceH j 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 01 1( ) ( )2 cg t Si t t 0 sin( ) y xSi y dxx令 （ 正 弦 积 分 ） ， 则 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2 12r c ct B 定 义 上 升 时 间 c 越 低 ， 上 升 越 缓 慢max 1 1.8514( ) 1.08952g t B为 系 统 的 截 止 频 率 ， 上 升 时 间 反 比 于 截 止 频 率 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 4.理 想 低 通 滤 波 器 对 矩 形 脉 冲 的 响 应1( )e t1

5、 1 1 0 0( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )c ce t u t u tr t g t g t Si t t Si t t 2 c 条 件 ： ， 上 升 时 间 远 小 于 矩 形 脉 宽 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 ( ) 1.8514Si max 1 1.8514( ) 1.08952r t max( ) ( ) 9%( )r t r tr t 5.吉 布 斯 振 荡 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 21( ) 20H j ( ) 2E j Sa ( )r t已 知 ， 。 求例 1解 ： ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2E j Sa

6、e t u t u t 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2r t g t g t Si t Si t 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 sin( )( ) ctdh t dt t ( )H j例 2 已 知 ， 求解 ： sin( ) ( ) ( )c c cc ct u ut sin( ) ( ) ( )c c ct u ut ( ) ( ) ( ) c ch t j u u ( ) ( ) ( )c cH j u u 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 1 理 想 低 通 滤 波 器 物 理 不 可 实 现 ， 但 可 设 计 出 接 近二 、 系 统 的 物 理

7、 可 实 现 性 、 佩 利 维 纳 准 则理 想 低 通 的 电 路LR C ( )H j已 知 ， 求例 3. L + 1( )v t C R 2( )v t 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2 21( ) 11( ) ( ) 11RV j j RCH j R LV j j L LC jj RC R ( )21( ) ( )1 ( ) jc cH j H j ej 2 2 21( ) (1 ) ( )c cH j 2( ) 1 ( )c carctg 解 ： 1c LC 令 ， 则 ( )H j cc 1 cc ( ) 22 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2 232 2( ) 3 3

8、( ) ( )2 2cc c cH j j 22 3( ) sin( ) ( )23 ctc ch t e t u t 充 要 条 件( ) 0 ( 0)h t t 2 是 系 统 物 理 可 实 现 的 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 22( )ln ( )1H j dH j d 3 频 域 特 性 （ 幅 度 ） 佩 利 维 纳 准 则 （ 必 要 条 件 ） 为 什 么 是必 要 条 件 ?( ) 0H j ( )H j ( )H j 在 某 段 频 带 内 ， 则 系 统 一 定 非 因 果 。 即只 允 许 在 不 连 续 的 有 限 点 上 为 零 的 衰 减 特 性 有 理 多

9、 项 式 函 数 总 能 满 足 上 述 条 件 高 斯 函 数 幅 度 特 性 无 法 实 现 ， 即不 能 太 迅 速 只 从 幅 度 上 考 虑 可 实 现 性 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 2( )H j e 例 4 证 明t ( )h t证 明 ： 钟 形 信 号 的 傅 氏 变 换 为 钟 形 信 号 ， 而 且 钟 形 信 号 从开 始 ， 故 不 是 因 果 信 号物 理 不 可 实 现2( )H j d 能 够 满 足 2 22 2 22lnln ( )1 1 11(1 )1eH j d d dd lim( ) 2(lim )2B BB arctgB lim( )B Ba

10、rctg B 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 ( ) ( ) ( )h t h t u t( )H j ( )R ( )X ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2h t h t u t F h t F h t F u tH j R jX 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2R jX R jX j 三 、 利 用 希 尔 伯 特 变 换 研 究 系 统 函 数 的 约 束 特 性1 系 统 可 实 现 性 的 实 质 是 因 果 性 ：2 因 果 系 统 的 实 部 和 虚 部 的 关 系 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

11、 ) 2 2jR X X R ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2 2R X X Rd j d 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( )2 2( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( )2 2R X XR d R dX R RX d X d 称 为 希 尔 伯 特 变 换 对 1 1( ) ( )1 1( ) ( )R XX R 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 3( ) ( )th t e u t ( )H j ( )R j ( )X j2 21 3( ) 3 9 9H j jj 23( ) 9R 2( ) 9X 21 ( ) 1 ( 9)

12、( )X d d 2 2 21 9( )( 9) 9 9 d 2 21 33 ( ) ( )( 9) 3 9arctg R 例 5 证 明 的 的 、满 足 希 尔 伯 特 变 换 对解 ： 1 ( ) ( )R d X 同 理 可 证 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 ln ( )H j ( ) 3.对 于 最 小 相 移 系 统 与 也 满 足 一 定 的 变 换 关 系 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 Review1. 理 想 低 通 滤 波 器 （ 1） 冲 激 响 应 ：（ 2） 阶 跃 响 应 ：2. 物 理 可 实 现 条 件（ 1） 充 要 条 件 ： 因 果 性（ 2） 佩 利 -维 纳 准 则 （ 必 要 条 件 ）（ 3） 希 尔 伯 特 变 换 ： 因 果 系 统 的 实 部 与 虚 部 满 足 的 关 系0( ) ( )c ch t Sa t t 0( ) ( ) ( )j t c cH j e u u 01 1( ) ( )2 cg t Si t t ( ) ( ) ( )h t h t u t ( )H j