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1、 1)两 个 向 量 的 夹 角 的 定 义 : O A Baa b b知 新 空 间 向 量 的 数 量 积两 个 向 量 的 夹 角 是 惟 一 确 定 的 ！ 2） 两 个 向 量 的 数 量 积注 : 两 个 向 量 的 数 量 积 是 数 量 ， 而 不 是 向 量 ; 数 量 积 等 于 的 长 度 与 在 的 方 向 上 的 投 影 的 乘 积 .ba a a b acosb 规 定 :零 向 量 与 任 意 向 量 的 数 量 积 等 于 零 . 3)空 间 两 个 向 量 的 数 量 积 性 质注 ： 性 质 是 证 明 两 向 量 垂 直 的 依 据 ； 性 质 是 求 向
2、 量 的 长 度 （ 模 ） 的 依 据 . 4)空 间 向 量 的 数 量 积 满 足 的 运 算 律注 ： 向 量 的 数 量 积 运 算 类 似 于 多 项 式 运 算 ,平 方差 公 式 、 完 全 平 方 公 式 、 十 字 相 乘 等 均 成 立 。 如果 不 能 ， 请 举 出 反 例能 得 到 吗 ？由,对 于 三 个 均 不 为 0 的 数a,b,c,若 ab=ac,则 b=c.对 于 向 量 , ,a b cba ca cb .不 能 ， 例 如 向 量 与 向 量 都 垂直 时 ， 有 而 未 必 有a cb ,caba .cb 对 于 三 个 均 不 为 0的 数 对
3、于 向 量 成 立 吗 ？ 也 就是 说 ， 向 量 的 数 量 积 满 足 结合 律 吗 ？ , cba).()( bcacab 若 , cba )()( cbacba D C B D A B C A 解 ： AC AB AD AA 2 22 2 22 2 2| | ( )| | | | | |2( )4 3 5 2(0 10 7.5)85.AC AB AD AAAB AD AAAB AD AB AA AD AA | | 85.AC ABCD A B C D 4AB 3 , 5 , 90 , 60AD AA BAD BAA DAA AC 1. 2. 正 方 体 中 ， 求 与 所 成 的 角
4、 1 1 1 1ABCD ABC D 1BC1AB PO A l a 应 用应 用 证 明 ：如 图 , 已 知 : , , ,PO AO l l OA 射 影 且求 证 ： l PA在 直 线 l上 取 向 量 , 只 要 证a 0a PA ( )0.a PA a PO OAa PO a OA ,a PA l PA 即 .为 PO A l a0 , 0,a PO a OA 逆 命 题 成 立 吗 ? a b ,a b a b小 结 分 析 ： 要 证 明 一 条 直 线 与 一 个 平 面垂 直 ,由 直 线 与 平 面 垂 直 的 定 义 可知 ,就 是 要 证 明 这 条 直 线 与 平
5、 面 内的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直 .(试 用 向 量 方 法 证 明 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 ) 已 知 直 线 m ,n是 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 ,如 果 m, n,求 证 : .l ll l mng m g ml 取 已 知 平 面 内 的 任 一 条 直 线 g ,拿 相 关 直 线 的 方向 向 量 来 分 析 ,看 条 件 可 以 转 化 为 向 量 的 什 么 条 件 ?要证 的 目 标 可 以 转 化 为 向 量 的 什 么 目 标 ?怎 样 建 立 向 量的 条 件 与 向 量 的 目 标 的 联 系 ? 共 面 向 量 定 理 ,有 了 ! l mng n g ml,g xm yn ,l g xl m yl n 0, 0 ,l m l m 0, .l g l g 即,l g l l 即 垂 直 于 平 面 内 任 一 直 线 . .证 : 在 内 作 不 与 m ,n重 合 的 任 一 直 线 g,在 , , ,l m n g上 取 非 零 向 量 因 m与 n相 交 ,故 向 量 m ,n, , , ,l m n g 不 平 行 ,由 共 面 向 量 定 理 ,存 在 唯 一 实 数 ,使 ( , )x y
空间向量的数量积运算(IV)
