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1、 第五章 相交线与平行线 5.1 相交线 5.1.1 相交线 邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 与2 有公共顶点 1 的两边与2 的两边互为反向延长线 对顶角相等 即1=2 邻补角 3 与4 有公共顶点 3 与4 有一条边公共，另一边互为反向延长线.3+4=180 注意点：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果 与 是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么 与 不一定是对顶角；（3）如果 与 互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则 与 不一定是邻补角；
2、（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角 错解：如图，对顶角为：（1）AOC 与BOD；（2）AOF 与BOD；（3）COF 与DOE；（4）AOC 与BOE 错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误如果对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 正解：（1）AOC 与BOD；（2）BOE 与AOF；（3）COF 与DOE；（4）COE 与DOF（答案不唯一：AOE 与BOF，BOC 与AOD 也是对
3、顶角）5.1.2 垂线 1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O 1 2 4 3 A B C D O 2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.如图，直线ba,被直线l所截 1、1 与
4、5 在截线l的同侧，同在被截直线ba,的上方，叫做同位角（位置相同）2、5 与3 在截线l的两旁（交错），在被截直线ba,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）3、5 与4 在截线l的同侧，在被截直线ba,之间（内），叫做同旁内角.例：如图，判断下列各对角的位置关系：（1）1 与2；（2）1 与7；（3）1 与BAD；（4）2 与6；（5）5 与8.解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.如图所示，不难看出1 与2 是同旁内角；1 与7 是同位角；1 与BAD 是同旁内角；2 与6 是内错角；5 与8 对顶角.注意：图中2 与9，它们是同位角吗？不是，2
5、与9 的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线 1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作ab.1 2 3 4 5 6 7 8 1 6 B A D 2 3 4 5 7 8 9 F E C A B F 2 1 A B C 1 7 A B C D 2 6 A D B F 1 B A F E 5 8 C 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
6、判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（两点确定一条直线）3、平行公理平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，ba，ca bc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.例：同一平面内，不相交的两条线是平行线.错解：对 错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确若是射线或线段有可能不相
7、交.说法是错误的 正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线 5.2.2 平行线的判定 判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言：32 ABCD（同位角相等，两直线平行）12 ABCD（内错角相等，两直线平行）42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行）例：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正
8、：（1）不相交的两条直线必定平行线.（2）在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.（3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解：（1）错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏.（2）正确 （3）错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.A B C D E F 1 2 3 4 例：如图，由条件2B，1D，3F180，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解：（1）由2B 可判定 ABDE，根据是同位角相等，两直线平行；（2）由1D 可判
9、定 ACDF，根据是内错角相等，两直线平行；（3）由3F180 可判定 ACDF，根据同旁内角互补，两直线平行.5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补.几何符号语言：ABCD 12（两直线平行，内错角相等）ABCD 32（两直线平行，同位角相等）ABCD 42180（两直线平行，同旁内角互补）例：已知1B，求证：2C 证明：1B（已知）DEBC（同位角相等，两直线平行）2C（两直线平行，同位角相等）例：如图，ABDF，DEBC，165 求2、3 的度数 解：DEBC 2165（两直线
10、平行，内错角相等）ABDF 32180（两直线平行，同旁内角互补）3180 2180 65 115 A B E D F C 1 2 3 A B C D E F 1 2 3 4 A D E B C 1 2 A D F B E C 1 2 3 例：如图，直线 AB，CD 分别和直线 MN 相交于点 E，F，EG 平分BEN，FH 平分DFN若 ABCD，你能说明EG 和 FH 也平行吗?错解：EG 平分BEN，BEG=12BEN 同理，FH 平分DFN，DFH=12DFN 又ABCD，BEN=DFN；从而BEG=DFHEGFH 错解分析：在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行
11、线的判定或性质的前提认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线而BEG 和DFH 不是直线 EG，FH 被某条直线所截得的同位角，由BEG=DFH 不能判定 EGFH 正解：EG 平分BEN，BEG=GEN=12BEN，同理，FH 平分DFN，DFH=HFN=12DFN，又ABCD，BEN=DFN，从而GEN=HFN 而GEN，HFN 是直线 EG，FH 被直线 MN 所截得的同位角，EGFH 例：如图，ABC 中，已知1+2=180，3=B，试判断 DE 与 BC 的位置关系，并说明理由 错解：1+2=180，EFAB 3+BDE=1
12、80 3=B，B+BDE=180 DEBC 错解分析：由12=180，不能得到 EFAB 虽然1 和2 是由直线 EF 和 AB 被直线 DC 所截得的角，但由于它们不是同旁内角，尽管12=180，也不能得到 EFAB 正解：1=4，12=180，2+4=180 EFDB(同旁内角互补，两直线平行)3+BDE=180(两直线平行，同旁内角互补)3=B，B+BDE=180 DEBC(同旁内角互补，两直线平行)5.3.2 命题、定理、证明 1、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.2、命题的组成 每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.3、如果题设成立，那
13、么结论一定成立，这样的命题叫真命题.如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.4、经过推理证实而得到的真命题叫做定理.5、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.5.4 平移 1、平移变换 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征：经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.例：如图，ABC 经过平移之后成为DEF，那么：（1）点 A 的对应点是点；（2）点 B 的对应点是点.（3）点的对应点是点 F；（4）线段 AB 的对应线段是线段；（5）线段 BC 的对应线段是线段；（6）A 的对应角是.（7）的对应角是F.解：（1）D；（2）E；（3）C；（4）DE；（5）EF；（6）D；（7）ACB.A D B E C F
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