行列式及矩阵的秩

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1、第 2章 行 列 式 及 矩 阵 的 秩 行 列 式 是 十 分 有 用 的 工 具 ， 利 用 它 可 以进 一 步 研 究 矩 阵 及 定 义 许 多 重 要 概 念 . 本 章介 绍 了 行 列 式 的 概 念 、 性 质 和 计 算 方 法 ， 给出 了 行 列 式 的 一 些 应 用 ： 解 线 性 方 程 组 的 克莱 姆 法 则 、 定 义 矩 阵 的 秩 及 求 可 逆 矩 阵 逆 矩阵 的 公 式 . 第 2章 目 录 第 2.1 节 行 列 式 的 概 念 第 2.2 节 行 列 式 的 性 质 第 2.3 节 克 莱 姆 法 则 第 2.4 节 矩 阵 的 秩 第 2.5

2、 节 数 学 实 验 第 2.1节 行 列 式 的 概 念 本 节 从 二 、 三 阶 行 列 式 出 发 ， 给 出 n阶行 列 式 的 概 念 .基 本 内 容 ： 二 阶 与 三 阶 行 列 式 二 元 与 三 元 线 性 方 程 组 解 的 行 列 式 表 示 n阶 行 列 式 返 回 1.二 阶 与 三 阶 行 列 式(1)二 阶 行 列 式 定 义 已 知 2阶 方 阵 , 2221 1211 aa aaA 称 211222112221 1211 aaaaaa aa 为 二 阶 行 列 式 ， 记 作 A 或 detA. 例 如 ： .1123)5(152 31 (2) 3阶 行

3、列 式定 义 已 知 3阶 方 阵 333231 232221 131211 aaa aaa aaaA 称 3231 2221133331 2321123332 232211333231 232221 131211 aa aaaaa aaaaa aaaaaa aaa aaa 为 三 阶 行 列 式 . 而 3231 2221133331 2321123332 232211 aa aaMaa aaMaa aaM 及、称 为 元 素 a11, a12及 a13的 余 子 式 ； 而 称 Aij = (-1)i+jMij为 元 素 aij的 代 数 余 子 式 . 在 3阶 行 列 式 中 分 别

4、划 去 元 素a11, a12及 a13后 剩 余 的 元 素 保 持原 来 的 次 序 构 成 的 2阶 行 列 式 例 如 ： 行 列 式 中 元 素 1,4,6的 代 数 余 子 式 为726 354 321 .935 32)1( 2072 3272 32)1(,4172 35)1( 1331 12211111 A AA 利 用 代 数 余 子 式 的 概 念 ,上 述 定 义 可 表 述 为 ：三 阶 行 列 式 等 于 第 1行 各 元 素 与 其 相 应 的 代 数 余 子式 乘 积 之 和 ， 即 131312121111333231 232221 131211 AaAaAaaa

5、a aaa aaa 例 1 计 算 3阶 行 列 式解 由 定 义 ， 有 .)(;)( 441 511 0302726 154 3211 DD 131211 3)2(1)1( AAAD 26 54)1(376 14)1()2(72 15)1(1 312111 .11)22(322233 131211 030)2( AAAD 41 51)1(3 21 .3)54(3 2.二 元 、 三 元 线 性 方 程 组 解 的 行 列 式 表 示 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 的 线 性 方 程 组考 虑 含 有 两 个 未 知 量 21,xx 为 求 得 上 述 方 程 组

6、的 解 ， 可 利 用 加 减 消 元 得 到 ： 211112221122211 122221121122211 )( )( ababxaaaa ababxaaaa 时 ，当 021122211 aaaa 方 程 组 有 唯 一 解 ., 21122211 211112221122211 1222211 aaaa ababxaaaa ababx 利 用 二 阶 行 列 式 定 义 ， 解 中 的 分 母 可 写 作211222112221 1211 aaaaaa aaD DDxDDx 2211 ， 解 中 的 分 子 可 分 别 记 为 ： 221 1112222 1211 , ba baD

7、ab abD 方 程 组 的 解 可 表 为时所 以 当 ,02221 1211 aa aaD这 里 Dj (j=1,2)是 将 系 数 行 列 式 D的 第 j列 换 为 右 端 常 数项 而 得 的 行 列 式 . 系 数 行 列 式 例 2 解 二 元 线 性 方 程 组解 : 方 程 组 未 知 量 的 系 数 所 构 成 的 二 阶 行 列 式 534 53 21 21 xx xx 0154)3(334 31 D 1554 51,3035 35 21 DD方 程 组 有 唯 一 解 .又于 是 方 程 组 的 解 为 .1151521530 2211 DDxDDx ， 例 3 解 线

8、 性 方 程 组解 ： 系 数 行 列 式 162 942 263 321 321 321 xxx xxx xxx 151621 942 2613,201161 192 1263,551216 149 1126 321 DDD 方 程 组 有 唯 一 解 .又于 是 方 程 组 的 解 为 .3515,452011555 332211 DDxDDxDDx ， 05121 142 113 D 3. n阶 行 列 式 定 义 利 用 递 推 方 法 ， 可 以 得 到 n阶 行 列 式 的 定 义 . 定 义 ： n阶 矩 阵 A=(aij)nn的 行 列 式 等 于 第 1行 各 元 素与 其

9、相 应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 ， 即 . 111212111121 22221 11211 nnnnnn nn AaAaAaaaa aaa aaa 也 称 为 n阶 行 列 式 按 第 1行 展 开 . 例 4 计 算 行 列 式解 由 行 列 式 定 义 ， 有 .0241 5012 1002 3021)2(0150 2310 0003 0201)1( DD 14131211 0201)1( AAAAD 14131211 3021)2( AAAAD .6005 21)1(32050 210 003)1(2015 231 000)1(1 113111 241 012 002)

10、1(3021 502 102)1(2024 501 100)1()1( 412111 例 5 证 明 n阶 行 列 式 (下 三 角 ) 241 012 0023021 502 1022024 501 100 24 01)1(2321 02)1(102 50)1(2224 01)1( 11311131 .3412482264)10(2221 .000 221121 222111 nnnnnn aaaaaa aaa 证 ： 由 定 义 ， 有下 三 角 行 列 式 的 值 等 于 其 主 对 角 线 上 各 元 素 的 乘 积 ！nnnnn aaa aaaaAAAa 32 33322211111

11、121111 000)1(00 左 边 nnnn aaa aaaaa 43 444333222211 000)1( |.2211 右 边 nnaaa 类 似 地 ， 可 以 证 明4. 转 置 行 列 式定 义 ： 如 果 将 行 列 式 D的 行 换 为 同 序 数 的 列 ， 得 到 的新 行 列 式 称 为 D的 转 置 行 列 式 ， 记 为 DT.即 若 .)1(0 00 11,212 )1(1,1 21,2 1 nnnnnnnnnn nn n aaaaaa aa a .21 22212 1211121 22221 11211 nnnn nnTnnnn nn aaa aaa aaaD

12、aaa aaa aaaD 则 用 定 义 计 算 .000 1000 0200 0010.2;703 412 501.1 n nDD .!)1(.2 ;22.1 1nDD n 思 考 练 习 答 案 第 2.2节 行 列 式 的 性 质1. 行 列 式 的 性 质 性 质 1 行 列 式 与 它 的 转 置 行 列 式 相 等 .（ D=DT）证 ： 当 n=2时 ， 结 论 显 然 成 立 .假 设 n=k-1时 结 论 成 立 ,现 证 n=k时 结 论 成 立 . 由 行 列 式 的 递 推 定 义 ， 有 TkkTTkkkk kkT AaAaAaaaa aaa aaaD 1121211

13、11121 22212 12111 由 于 Ai1(i=1,2,k)为 k-1阶 行 列 式 ,由 归 纳 法 假 设 ,有 返 回 据 此 知 ： 行 列 式 的 “ 行 ” 成 立 的 性 质 ,对 “ 列 ”也 成 立 ； 反 之 亦 然 .例 1 计 算 行 列 式解 .11212111111121211111 DAaAaAaAaAaAaD kkTkkTTT .000 222 12111 nnnnaaa aaaD .000 221121 222111 nnnnnnT aaaaaa aaaDD 于 是,2,1,11 kiAA iTi 性 质 2 互 换 行 列 式 的 两 行 (rirj

14、)或 列 (cicj)， 行 列式 的 值 变 号 . 推 论 若 行 列 式 D有 两 行 (列 )完 全 相 同 ,则 D=0 .性 质 3 行 列 式 中 某 一 行 (列 )所 有 元 素 的 公 因 子 可 以 提到 行 列 式 符 号 的 外 面 .即 nnnn inii nnnnn inii n aaa aaa aaakaaa kakaka aaa 21 21 1121121 21 11211 n 推 论 (1) 若 D中 一 行 (列 )所 有 元 素 为 零 ,则 D=0； (2) 若 D的 两 行 (列 )对 应 元 素 成 比 例 ,则 D=0. 性 质 3的 证 明证

15、： 若 第 1行 有 公 因 子 ,利 用 定 义 知 结 论 成 立 .一 般 地 ，若 第 i行 有 公 因 子 ,互 换 第 1行 和 第 i行 ， 有 nnnn inii ninnnn ni niiirrnnnn inii n aaa aaa aaaaaa aaa aaaaaa aaa aaa i 21 21 112121 1121 12121 21 11211 1 .21 21 11211 nnnn inii nirr aaa aaa aaai 性 质 4 若 行 列 式 的 某 一 行 （ 列 ） 的 元 素 都 是 两 项 之和 ,则 可 把 该 行 列 式 化 为 两 个 行

16、列 式 的 和 ， 而 这 两 个行 列 式 这 一 行 （ 列 ） 的 元 素 分 别 为 对 应 的 两 个 加 数之 一 ， 其 余 位 置 的 元 素 不 变 .即 nnnn inii nnnnn inii nnnnn ininiiii n aaa bbb aaaaaa aaa aaaaaa bababa aaa 21 21 1121121 21 1121121 2211 11211 性 质 5 行 列 式 D的 某 一 行 (列 )的 所 有 元 素 都 乘 以 数 k加 到 另 一 行 (列 )的 相 应 元 素 上 ,行 列 式 的 值 不 变 ,即 nnnn jninjiji

17、nkrrnnnn inii n aaa kaakaakaa aaaaaa aaa aaa ji 21 2211 1121121 21 11211 )( DD ji krr 性 质 6 行 列 式 D的 值 等 于 它 的 任 一 行 （ 列 ） 元 素 与 其对 应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 ， 即 这 里 Aij为 元 素 aij的 代 数 余 子 式 .证 ： 当 i=1时 ,为 行 列 式 的 递 推 定 义 ,结 论 成 立 ； 当 i 1时 ,将 D的 第 i行 依 次 与 它 的 前 i-1行 互 换 ,得 到 行 列 式 D 1,且 有从 而 ininiiiinnn

18、n nn AaAaAaaaa aaa aaaD 221121 22221 11211 .2211 njnjjjjj AaAaAa 或 inniniiii MaMaMaD 1221211111 )1()1()1( 按 行 (列 )展 开 定 理 性 质 7 n阶 行 列 式 inniiniiiiiii MaMaMaDD )1()1()1()1( 22211111 .2211 ininiiii AaAaAa nnnn nnaaa aaa aaaD 21 22221 11211的 任 意 一 行 （ 列 ） 的 各 元 素 与 另 一 行 （ 列 ） 对 应 的代 数 余 子 式 的 乘 积 之 和

19、 为 零 ， 即 )(0 )(0 2211 2211 tjAaAaAa siAaAaAa ntnjtjtj sninsisi 或 证 考 虑 辅 助 行 列 式 ). 2211 tjAaAaAa ntnjtjtjt （列 展 开按 第 0= nnjnjn njj njj aaaa aaaa aaaaD 21 22221 111111 t列j列 例 2 计 算 行 列 式 3111 1311 1131 1113)3(5240 4323 2321 4232)2(415 132 321)1( DD解 415 132 321)1( D 1190 510 321 12 13 25 rr rr 3400

20、510 32123 9 rr3434)1(1 解 5240 4323 2321 4232)2( D 373000 625800 8810 2321 23 14 84 rr rr 5240 4323 4232 232121 rr5240 2680 8810 2321 12 13 23 rr rr 29143000 625800 8810 232134 5830 rr 2862914358)1(1 解 3111 1311 1131 1113)3( D 3111 1311 1131 6666421 i irr 3111 1311 1131 111162000 0200 0020 11116 14,3

21、,2 rri i 48)2221(6 本 例 是 利 用 行 列 式 性 质 将 其 化 为 上 三角 形 ,再 利 用 已 知 结 果 得 出 其 值 的 ！ 例 3 计 算 行 列 式解 .8670 5314 0200 1312 D 870 514 112120200 32242322212 ）（行 展 开按 第 AAAAD .1287 33)1(22870 330 1122 1112 12 列 展 开按 第rr 选 取 “ 0”多的 行 或 列化 出 “ 0”多 的 行 或 列 ，降 阶 计 算 ， 最 常 用 . 例 4 计 算 行 列 式 .1111 1111 1111 1111 y

22、yxxD 解 yxxyyyyxxxD xyrr rr 1111 1100 1111 00111111 00 1111 00 1321 43 行 提 取 公 因 子第 行 提 取 公 因 子第 22000 1100 110 00111100 1100 110 0011 3412 14 yxyxxyyxxy rrrr rr 例 5 证 明证 0)3()2()1( )3()2()1( )3()2()1( )3()2()1()2(4)1( 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaaabcdefefcfbf decdbd aeacab 111 111 111)1( a

23、bcdef左 边 200 020 11132 abcdefrr 020 200 11112 13 abcdefrr rr右 边 abcdef4 证 964412 964412 964412 964412)2( 22224,3,2 1 dddd cccc bbbb aaaacci i左 边 右 边 06212 6212 6212 6212222223 23 24 dd cc bb aacc cc 例 6 计 算 n阶 行 列 式 000 1000 0200 0010)2(000 000 000 000)1( n nDxy yxyxyxD nn 解 11212111111)1( nnn AaAaA

24、aD 列 展 开按 第 yxyyxyyxyxyxyxx n 000 0000 000 0000)1(0000 000 000 000)1( 111 nnn yx 1)1( !)1(1000 0200 0020 0001)1( 11 nnnn nn 11212111111 nn AaAaAa 列 展 开按 第 000 1000 0200 0010)2( n nDn 例 7 计 算 n阶 行 列 式 ),2,1,0( 111 111 111)3( )2()1( 21 21 21 21 niaaaaD xaaa axaa aaxaDxaa axa aaxD inn n nnnn 解 (2) 解 (3

25、)解 (1) 解 (1) 注 意 到 行 列 式 各 行 (列 )元 素 之 和 等 于 x+(n-1)a,有 1)()1( naxanx xaanx axanx aaanxD icc nin )1( )1( )1(1 ,3,2 axax aaanxrr ni i 00 001)1(1 ,3,2 xa ax aaanx 111)1( 返 回 解 (2) 注 意 到 行 列 式 各 行 元 素 之 和 等 于 11 )( nni i xaxnni i nni i nni icc nin axaax aaxax aaaxD i 21 21 21,3,21 xx aaaxrr n ni ini i

26、00 001)( 21,3,2 1 n nnni i axa aax aaax 2 221 111)( ,1 ni iax 有返 回 nrr nin aa aa aaaD i 00 00 00 1111 1 31 211,3,2 1 nni icaac ni aaaaaii 00 00 111 22 11,3,2 11 nni i aaaaa 22 11 )1( ni in aaaa 121 )11( 解 (3) 返 回箭 形 行 列 式 例 8 已 知 4阶 行 列 式. .32 .5215 3412 0813 1711 13121144342414的 代 数 余 子 式 为其 中的 值及求

27、 ij ija AAAAAAAA D 解 法 1 .,)4,3,2,1(4 然 后 相 加 （ 略 ）的 值直 接 计 算 iAi法 2 利 用 行 列 式 的 性 质 6， 简 化 计 算 . 01215 1412 1813 1711 1111 4434241444342414 AAAAAAAA .493313 2556 5151 3130 255605111 390 0155139 3105 015 51390 31050 0150 03215215 3412 0813 032132 13 12 2131211 rr rrAAA 例 9 范 得 蒙 行 列 式 （ Vandermonde)

28、 .)()( )2()(111 1 111211 21 的 乘 积（表 示 所 有 可 能 的其 中 ijxxxx nxxxxx xxxD jinij ji nij jinnnn nn 记 住 结 果 ！ 3333 2222 1111 dcba dcba dcbaDn 例 如 )()()()()( cdbdbcadacab 2.证 明1.计 算 行 列 式 )2(21 21 21)2(2164 7295 4173 2152)1( 222 111 nnaaa naaa naaaDD nnnn 222 111222222 111111 2 cba cba cbaaccbba accbba accb

29、ba 思 考 练 习 93)3(113000 0300 3110 22513300 0300 3110 2251 0210 6120 3110 22510210 3110 6120 22512461 7592 4371 2251)1.(1 3423 24 321312 1431 2 2,4 rrrr rr rrrrrr rrccD 2,0 2,111 111 111)2( 2121,3,2 1 nnaana na naD ncc nin i 当当 答 案 222222 111111222222 111111 12.2 acacba acacba acacbaaccbba accbba accb

30、ba cc 左 边 22222 1111122222 11111 222223 cacba cacba cacbacacba cacba cacbacc 212132 222 1112222 1111 22 cccccc cab cab cabcaba caba caba 222 1112 cba cba cba=右 边 2.拉 普 拉 斯 （ Laplace） 定 理 k阶 子 式 在 n阶 行 列 式 中 ， 任 意 选 定 k行 、 k列 （ 1kn） 位 于 这 些 行 列 交 叉 处 的 k2个 元 素 按 原 来顺 序 构 成 的 一 个 k阶 行 列 式 N， 称 为 行 列 式

31、 D的 一 个k阶 子 式 . k阶 子 式 N的 余 子 式 及 代 数 余 子 式 在 D中 划 去 k行 、k列 后 ， 余 下 的 元 素 按 原 来 顺 序 构 成 的 一 个 n-k阶 行列 式 M， 称 为 k阶 子 式 N的 余 子 式 ;而 MA kk jjjiii )()( 2121)1( 为 其 代 数 余 子 式 .这 里 i1,i2,ik, j1, j2, jk分 别 为 k阶 子式 N的 行 标 和 列 标 . 在 n阶 行 列 式 中 ，nnnn nnaaa aaa aaaD 21 22221 11211定 理 1(Laplace) 任 意 取 定 k行 (1 k

32、n),由 这 k行 元 素 组 成 的 k阶 子 式 M 1, M 2 ,M t 与 它 们 的 代 数 余 子 式 的 乘 积 之 和等 于 D， 即 )( knCt ttAMAMAMD 2211 .的 代 数 余 子 式是其 中 ii MA 1500 3100 0043 0021 D解例 10 计 算 行 列 式 66554433221121 ANANANANANAND 行 展、按 第 .321516400000 15 3143 21 030 00)1(00 0053 10)1(04 02 10 30)1(04 0250 10)1(03 01 10 30)1(03 0115 31)1(43

33、 21 )43()21()42()21( )32()21()41()21( )31()21()21()21( ）（）（ 一 般 地 rrr kkkk krrrrkr rkkkk k cc ccaa aaccbb ccbb aa aa 1 1111 11111 1111111 111 00 00 定 理 2 (行 列 式 的 乘 法 定 理 ) 设 A、 B为 n阶 方 阵 ， 则 |AB|=|A|B|.n 特 别 地 ， 对 n阶 方 阵 A有 ., 11 AAAAAkkAAA Tnnn 例 11解 .2,305 012 201,102 210 321 112 BAAAAABBA 及，求设 ，

34、 有由 6305 012 201,3102 210 321 BA .231631 243822 93 1863 111 11 3 222 ABABBA AA AA AA BAAB 第 2.3节 克 莱 姆 法 则 下 面 以 行 列 式 为 工 具 ,研 究 含 有 n个 未 知 量 、 n个方 程 的 n元 线 性 方 程 组 的 问 题 .定 理 （ 克 莱 姆 法 则 ） 如 果 n元 线 性 方 程 组 )1( 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ,021 22221 11211 nnnn nnaaa

35、aaa aaaD 则 方 程 组 有 唯 一 解的 系 数 行 列式 返 回 )2(, 2211 DDxDDxDDx nn 其 中 Dj(j=1,2,n)是 把 系 数 行 列 式 D中 第 j列 的 元 素换 成 方 程 组 的 常 数 项 b1,b2,bn所 构 成 的 n级 行 列 式 ,即定 理 的 结 论 有 两 层 含 义 ： 方 程 组 （ 1） 有 解 ； 解 唯 一 且 可 由 式 (2)给 出 . nnjnnjnn njj njjj aabaa aabaa aabaaD 1,1,1 21,221,221 11,111,111 证 首 先 证 明 方 程 组 (1)有 解 .

36、事 实 上 ,将 代 入 第 i个 方 程 的 左 端 ， 再 将 Dj按 第 j列 展 开 ),2,1( njDDx jj ),2,1(2211 njAbAbAbD njnjjj 得 ii nninnininininiiiii niniininii nnnnnin nninni ninii bDbD AaAaAabAaAaAab AaAaAabAaAaAabD AbAbAba AbAbAbaAbAbAbaD DDaDDaDDa 1 )()( )()(1 )( )()(1 22112211 2222211211221111 2211 2222121212121111 2211 即 式 (2)给

37、 出 的 是 方 程 组 (1)的 解 . 下 面 证 明 解 唯 一 .设 xj=cj(j=1,2,n)为 方 程 组 (1)的 任 意 一 个 解 ， 则 nnnnnn nn nn bcacaca bcacaca bcacaca 2211 22222121 11212111以 D的 第 j列 元 素 的 代 数 余 子 式 A1j, A2j , Anj依 次 乘以 上 各 等 式 ， 相 加 得 )()()()( 11111 1 nk kjknnk kjknjnk kjkjnk kjk AbcAacAacAa 从 而 Dcj=Dj 由 于 D0,因 此 ),2,1( njDDc jj 即

38、方 程 组 的 解 是 唯 一 的 . 推 论 1 如 果 线 性 方 程 组 (1)无 解 或 有 两 个 不 同 解 ，则 D=0；推 论 2 如 果 齐 次 线 性 方 程 组 )3(000 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 的 系 数 行 列 式 D0， 则 方 程 组 只 有 零 解 ;而 若 方 程 组有 非 零 解 ， 则 D=0. 可 以 证 明 : 系 数 行 列 式 D=0， 是 方 程 组 (3)有 非 零 解 的充 分 必 要 条 件 . 例 1 解 线 性 方 程 组 解 系 数 行 列 式 )

39、,(1111433221 433221 433221 433221 为 互 不 相 同 的 常 数dcbaxdxddxx xcxccxx xbxbbxx xaxaaxx 0)()()()()( 1111 32 32 32 32 cdbdbcadacabddd ccc bbb aaaD 0, ., 4321 DDDDD 易 得 ：方 程 组 有 唯 一 解由 克 拉 默 法 则 .0,1 4321 xxxx方 程 组 的 唯 一 解 ： 例 2 若 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 ， 求 值 .解 系 数 行 列 式 0)1( 0)1( 01 321 321 321 xxx xxx

40、xxx 2)3( 111 111 111)3(111 111 333111 111 111 D方 程 组 有 非 零 解 ， 则 D=0.于 是 =3或 =0. 例 3 .),(),( 222111 的 直 线 方 程、求 平 面 上 经 过 两 点 yxPyxP .),( ), 0111 ),(000 000 ),()0,(,0 22 11 32212 32111 321 2211 21 故 即 为 所 求也 必 然 在 该 曲 线 上 式 的 点 凡 满 足易 见 ，必 满 足 方 程 ；故 曲 线 上 的 点 （ 因 此 ，有 非 零 解可 见 方 程 组 ， 三 点 的 坐 标 满 足

41、 ：、则为 直 线 上 任 一 动 点 ， ， 若不 全 为设 其 方 程 为 yx yx yx yx yxD cbattytx ttytx tytxt cbyaxcbyaxcbyax PPP yxPbacbyax 解 第 2.4节 矩 阵 的 秩 基 本 概 念 矩 阵 秩 的 求 法 满 秩 矩 阵 的 求 逆 公 式 返 回 1. 基 本 概 念定 义 1 矩 阵 A=(aij)mn中 ,任 取 k行 k列 (kminm,n),位于 交 叉 点 处 的 k2个 元 素 按 原 相 应 位 置 构 成 的 k 阶 行 列式 ， 称 为 矩 阵 A的 k阶 子 式 .定 义 2 矩 阵 A中

42、 不 为 零 的 子 式 的 最 高 阶 数 r称 为 矩 阵A的 秩 .记 作 r(A). 规 定 :零 矩 阵 的 秩 为 零 ， 即 r(0)=0. 因 此 ,对 任 意m n矩 阵 A， 有 0r(A)minm,n .定 理 1 一 个 m n矩 阵 A的 秩 为 r是 A有 一 个 r阶 子 式不 为 零 ， 而 一 切 r+1阶 子 式 (如 果 有 的 话 )都 等 于 零 . 例 1 求 矩 阵 的 秩解 (1) A的 2阶 子 式 .00000 53000 41230 13121)2(0101 3112 3211)1( AA ,0112 11 所 有 3阶 子 式 0010

43、311 321,0011 312 321,0001 312 311,0110 112 211 所 以 r(A)=2. (2)由 于 矩 阵 A的 最 后 一 行 元 素 均 为 零 , 因 此 A的 所有 4阶 子 式 均 为 零 ， 而 容 易 看 出 A的 一 个 3阶 子 式 ,09300 130 321 所 以 r(A)=3. 阶 梯 形 矩 阵 的 秩 等于 其 非 零 行 的 个 数 . 2. 初 等 变 换 求 矩 阵 的 秩 定 理 2 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩 . 将 矩 阵 用 初 等 行 变 换 化 为 行阶 梯 形 ， 行 阶 梯 形 矩 阵 中 非零

44、 行 的 个 数 即 为 矩 阵 的 秩 . 1540 1221 3102A例 2 求 矩 阵 的 秩 .解 由 0000 1540 12211540 1221 15401540 1221 3102 21 131 2 rr rrrrA得 r(A)=2 . 例 3 求 矩 阵 A的 秩解当 a =-8, b=-2, r(A) =2; 当 a = - 8,b-2,r(A)=3；当 a-8, b= -2, r( )=3; 当 a -8,b -2, r ( )= 4. .1611 1723 14612 03211 baA babaA rr rr rr 4420 12610 12210 03211161

45、1 1723 14612 03211 13 12 14 32 20000 00800 12210 0321123 214 2 barr rr 据 定 理 2,可 得 如 下 结 论 : 推 论 1 等 价 矩 阵 具 有 相 同 的 秩 . 推 论 2 设 A为 m n矩 阵 ， 则 对 m阶 可 逆 矩 阵 P及 n阶 可 逆 矩 阵 Q， 有r (PA)= r (AQ)=r (PAQ)=r (A) . 推 论 3 r(A)= r 存 在 可 逆 矩 阵 P， Q， 使 . OO OEPAQ r 3.满 秩 矩 阵 的 逆 矩 阵 公 式 定 义 设 A为 n阶 方 阵 ,若 r (A)=n

46、， 称 A为 满 秩 矩 阵 ;若r (A) n, 称 A为 降 秩 矩 阵 . 容 易 得 ： A为 满 秩 矩 阵 |A|0. 进 一 步 有定 理 3 阶 方 阵 可 逆 (满 秩 )|A|0,且 当 A可 逆 时 ,有 这 里 *1 1 AAA 称 为 的 伴 随 矩 阵 , A ij为元 素 aij的 代 数 余 子 式 .,21 22212 12111* nnnn nnAAA AAA AAAA 因 A可 逆 ， 故 有 B， 使 AB=E.,01 EBAAB从 而 .0A所 以() 由 .11 AAA并 且 证 ()即 A可 逆 ， nnnn nnnnnn nn AAA AAA A

47、AAaaa aaa aaaAA 21 22212 1211121 22221 11211* EAAAEAAAA A )( *0 .|)( ;)( ,|)( * AAAA AA 132 01 1 求求 逆 阵 存 在 ；时并 判 断 当先 求矩 阵 可 逆 性 判 别 及 其 求法例 4下 列 矩 阵 是 否 可 逆 ？ 若 可 逆 ， 求 逆 矩 阵 . .011 012 111)2(;43 21)1( AA解 ,0243 21)1( A 故 可 逆 ， 且 2212 21111 11 AA AAAAAA 13 2421 ;2123 12 主 对 角 线 元 素互 换 ,副 对 角 线元 素

48、改 变 符 号 . 解 (2) .01| 可 逆AA ,101 210 110* A 111 12,001 02,001 01 131211 AAA .101 210 1101|1 *1 AAAA 112 11,202 11,101 11 011 11,101 11,101 11 333231 232221 AAA AAA .011 012 111 A 关 于 矩 阵 A的 伴 随 矩 阵 的 几 点 说 明 ： 对 n阶 方 阵 A， 总 有 相 应 的 伴 随 矩 阵 A*， 并 不 依 赖 于 A的 可 逆 性 ； 可 以 验 证 ， 有 如 下 等 式 ： 若 A可 逆 ， *TT A

49、A EAAAAA .;1, 1*1* nAAAAAA 且可 逆则例 5 .411 020 321 1* ）及 （， 求设 AAA .22121 010 23121411 020 321211;441 312 1*213* AAAAAA ）（解 4.若 n 阶 矩 阵 A 可 逆 ,试 证 A 的 伴 随 阵 也 可 逆 , 并 写 出其 逆 阵 的 公 式 . . ?301 423 512.3 .,47 12.2 .,300 020 001.1 11 1 AA AA AA若 可 逆 则 求 出 是 否 可 逆求 求 .| 1.4 .112 23115 1436.3 .27 14.2 ,3100

50、 0210 001.1 1*11 AAAAAA 答 案思 考 练 习 第 2.5节 数 学 实 验 1.命 令 DetA,用 以 计 算 方 阵 A的 行 列 式 .2.命 令 RowReduceA,用 以 将 矩 阵 A化 为 行 最 简 形 ， 从 而 求 出 A的 秩 .3.命 令 InverseA,以 用 求 出 矩 阵 A的 逆 矩 阵 . . 503652 23725361012 9113281517 55120118 7851697 236422 AA ， 求设 例 1 返 回 解 打 开 Mathematica4.0窗 口 ， 键 入 命 令DetA按 “ Shift+Ente

51、r”键 ， 便 得 |A|的 值 . 503652 23725361012 9113281517 55120118 7851697 236422A 例 2 ).(25117 54227 21111 11112 ArA ， 求设 解根 据 A的 行 最 简 形 ， 得 r(A)=3. 例 3解 打 开 Mathematica4.0窗 口 ， 键 入 命 令 .,031948 118763 8126542 861741 1147056 1091143 1 AA 求设 031948 118763 8126542 861741 1147056 1091143AB=InverseA“A -1=”MatrixFormB按 “ Shift+Enter”键 ， 便 得 矩 阵 A的 逆 矩 阵 .