静力学第04章平面任意力系

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1、 第四章 平面任意力系 4-1 力 的 平 移 4-2 平 面 任 意 力 系 的 一 点 简 化 4-3 平 面 任 意 力 系 的 平 衡 条 件 4-4 刚 体 系 的 平 衡 4-5 静 定 与 静 不 定 问 题 的 概 念 4-1 力的平移： 作 用 于 刚 体 上 任 一 点 的 力 ，平 移 到 刚 体 上 任 一 点 ， 不 改 变 对 刚 体 的 作用 效 应 ， 但 需 增 加 一 附 加 力 偶 ， 附 加 力 偶矩 矢 等 于 原 力 对 新 作 用 点 的 矩 矢 。AB d F AB d FFF” F=F =F” AB dFMM=F*d 4-1 力的平移u 说 明

2、 ： 力 线 平 移 定 理 揭 示 了 力 与 力 偶 的 关 系 力 力 +力 偶 力 平 移 的 条 件 是 附 加 一 个 力 偶 M， 且 M与 d有 关 ， M=F*d 。 力 线 平 移 定 理 是 力 系 简 化 的 理 论 基 础 。 4-2 平面任意力系的一点简化一 、 平 面 任 意 力 系 的 一 点 简 化A2 AnA1F 2 F1FnO A2 AnA1F2 F1 FnO F1M1Mn FnM2F2FRO Mo 4-2 平面任意力系的一点简化一 般 力 系 （ 任 意 力 系 ） 向 一 点 简 化 汇 交 力 系 +力 偶 系 （ 未 知 力 系 ） （ 已 知 力

3、 系 ） 汇 交 力 系 力 ， R(主 矢 ) ， (作 用 在 简 化 中 心 ) 力 偶 系 力 偶 ， MO (主 矩 ) ， (作 用 在 该 平 面 上 ) 4-2 平面任意力系的一点简化 大 小 ： 主 矢 方 向 ： 简 化 中 心 (与 简 化 中 心 位 置 无 关 ) 因 主 矢 等 于 各 力 的 矢 量 和 R iFFFFR 321主 矢 )()()( 21 321 iOOOO FmFmFm mmmM 主 矩 2222 )()( YXRRR yx XYRRxy 11 tgtg（ 移 动 效 应 ） 4-2 平面任意力系的一点简化u 固 定 端 （ 插 入 端 ） 约

4、束 ： 在 工 程 中 常 见 的 大 小 ： 主 矩 MO 方 向 ： 方 向 规 定 + 简 化 中 心 ： (与 简 化 中 心 有 关 ) （ 因 主 矩 等 于 各 力 对 简 化 中 心 取 矩 的 代 数 和 ）)( iOO FmM （ 转 动 效 应 ） 雨 搭 车 刀 4-2 平面任意力系的一点简化二 、 平 面 力 系 的 简 化 结 果 分 析 O Mo 4-2 平面任意力系的一点简化O R 4-2 平面任意力系的一点简化平 面 一 般 力 系 简 化 的 结 果一 般 力 系汇 交 力 系 力 偶 系 合 力 F R=Fi 合 力 偶MO= MO ( Fi ) 4-2

5、平面任意力系的一点简化： 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 ： 合 力 偶 MO ； 合 力 合 力 矩 定 理 ： 由 于 主 矩 而 合 力 对 O点 的 矩 合 力 矩 定 理 由 于 简 化 中 心 是 任 意 选 取 的 ， 故 此 式有 普 遍 意 义 。 即 ： 平 面 任 意 力 系 的 合 力 对 作 用 面 内 任 一 点 之 矩 等 于 力 系 中 各 力 对 于 同 一 点 之 矩 的 代 数 和 。 R)(1 ni iOO FmM )()( 主 矩OO MdRRm )()( 1 ni iOO FmRM 4-2 平面任意力系的一点简化u 例 重 力 坝 受 力

6、 如 图 所 示 。 设P1=450kN ,P2=200kN,F1=300kN ,F2=70kN 。 求 力 系 的 合 力 。u 解 ： (1)先 将 力 系 向 点 O简 化 ， 求 主 矢 FR和 主 矩 MO， 如 图 (b)。 由 图 (a)计 算 主 矢FR 在 x 、 y 轴 上 的 投 影 。 B 1 2cos 232.9kNRxF X F F 1 2 2 sin 670.1kNRyF Y P P F 1 2 11.5 3.9 3 2355oM P P F KN m 4-2 平面任意力系的一点简化 式 中 主 矢 FR 的 大 小（ 2） 合 力 的 大 小 和 方 向 与 主

7、 矢 相 同 。 其 作 用线 位 置 根 据 合 力 矩 定 理 求 得 （ 图 ） ， 即 解 得 ： 7.16arctg CBABACB 2 2 709.4kNtg / , 70.84R Ry RxF X YF F RyORxOROO MMMM FFF m514.3 RyOFMx 4-3 平面任意力系的平衡条件一 、 平 面 一 般 力 系 的 平 衡 方 程u 平 面 任 意 力 系 平 衡 的 为 ： 力 系 的 主矢 FR和 主 矩 MO 都 等 于 零 ， 即 FR=0 力 平衡 条 件 ； MO=0 力 偶 平 衡 条 件 。u 一 般 力 系 的 平 衡 方 程 一 矩 式

8、(基 本 形 式 ） 0 xF 0yF ( ) 0OM F 上 式 有 三 个 独 立 方 程 ， 只 能 求 出 三 个 未 知 数 。 4-3 平面任意力系的平衡条件 二 矩 式 ： 必 要 性 条 件 ： 简 单 ， 只 要 平 衡 ， 上 式 一 定 成立 。 充 分 条 件 ： 0 xF ( ) 0Am F ( ) 0 B im F 条 件 ： x 轴 不 垂直 AB连 线 A B FR xO： 合 力 偶 、 合 力 和 力 系 平衡 。 假 设 力 系 不 平 衡 。 由 条 件 ， 不 可 能 简 化 成合 力 偶 ， 因 此 必 简 化 为 合 力 FR,且 作 用 线 过

9、A,B两点 。 由 0 cos 0 090 x R RF F F 且 4-3 平面任意力系的平衡条件 三 矩 式 ： 必 要 性 条 件 ： 简 单 ， 只 要 平 衡 ， 上 式 一 定成 立 。 充 分 性 条 件 ：( ) 0Am F ( ) 0Bm F ( ) 0 Cm F 条 件 ： A,B,C不在 同 一 直 线 上： 合 力 偶 、 合 力 和 力 系 平 衡 。假 设 力 系 不 平 衡 。 由 条 件 ， 不 可 能 简 化 成 合 力 偶 ，则 必 简 化 为 合 力 FR,且 作 用 线 过 A,B,C三 点 。 而 由附 加 条 件 ， 三 点 不 共 线 。 只 可

10、能 是 FR=0。 4-3 平面任意力系的平衡条件X = 0Y = 0MO(F) = 0 X = 0MA(F) = 0 MB(F) = 0 M A (F)= 0M B (F)= 0M C (F)= 0 4-3 平面任意力系的平衡条件u 一 般 力 系 的 平 衡 方 程 说 明 一 矩 式 ， 二 矩 式 ， 三 矩 式 ， 三 种 形 式 的平 衡 方 程 是 完 全 等 价 的 。 可 视 具 体 问 题 而选 用 其 中 的 任 一 种 。 但 都 只 有 三 个 独 立 方程 ， 只 能 求 出 三 个 未 知 数 。 在 求 解 平 面 一 般 力 系 的 平 衡 问 题 时 ， 尽

11、可 能 采 用 二 矩 式 或 者 三 矩 式 方 程 ， 以 减 少单 个 平 衡 方 程 中 未 知 量 的 个 数 。 4-3 平面任意力系的平衡条件u 例 已 知 ： P, a , 求 ： A、B两 点 的 支 座 反 力 ？u 解 ： 选 AB梁 研 究 ； 画 受 力 图 。( ) 0 Am F 32 ,032 PNaNaP BB 0X 0AX0Y 3 ,0 PYPNY ABB 4-3 平面任意力系的平衡条件二 、 平 面 平 行 力 系 的 平 衡 方 程u 平 面 平 行 力 系 :各 力 的 作 用 线 在 同 一 平 面 内 且 相 互平 行 的 力 系 。 xyOu 如

12、选 x 轴 与 各 力 垂 直 就 有 X 0， 则 独 立 的 平 衡 方 程 数 只 有 两个 Y = 0, MO ( F ) = 0 或 者 MA ( F ) = 0, MB ( F ) = 0 (A、 B 连 线 不 与 力 平 行 ) 4-3 平面任意力系的平衡条件u 例 已 知 ： P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m， 求 ： A、 B的 支 反 力 。u 解 ： 研 究 AB梁 ， 由0,0 AXX由 022; 0)( aPmaaqaR Fm B A 0Y 0 PqaRY BA )kN(122028.0162 8.02022 PamqaRB )kN

13、(24128.02020 BA RqaPY 4-4 刚体系的平衡： 指 若 干 刚 体 用 约 束 联 结 起 来 的 系统 。 ： 变 形 体 在 已 知 力 系 作 用 下 处 于平 衡 ， 若 将 变 形 后 的 变 形 体 换 成 刚 体 （ 刚化 ） ， 则 平 衡 状 态 不 变 。u 刚 体 的 平 衡 条 件 是 变 形 体 平 衡 的 必 要 条 件 ，而 不 是 充 分 条 件 。： 可 以 选 择 刚 体 系 整 体 或 其某 个 部 分 为 研 究 对 象 ， 写 出 相 应 的 平 衡 方程 。 4-5静定与静不定问题的概念一 、 静 定 与 静 不 定 问 题 的

14、概 念 两 个 独 立 方 程 ， 只 能 求 两 个 独 立 未 知 数 。 一 个 独 立 方 程 ， 只 能 求 一 个 独 立 未 知 数 。 三 个 独 立 方 程 ， 只 能 求 三 个 独 立 未 知 数 。 4-5静定与静不定问题的概念u 静 定 问 题 :独 立 方 程 数 目 未 知 数 数 目 （ 可求 解 ） 。u 静 不 定 问 题 （ 超 静 定 问 题 ） ： 独 立 方 程 数目 未 知 数 数 目 （ 不 能 解 ） 。 4-5静定与静不定问题的概念u 关 于 刚 体 的 三 种 约 束 状 态 运 动 的 自 由 度 数 N =Ne-Nr 独 立 的 平 衡

15、 方 程 数 Ne 约 束 力 个 数 Nr 约 束 状 态 完 全 约 束 Ne=Nr ， N=0 不 完 全 约 束 Ne Nr ， N 0 多 余 约 束 N e Nr ， N 0 4-5静定与静不定问题的概念u 对 于 平 面 问 题 一 般 任 意 运 动 的 自 由 度 数 3 平 面 力 系 独 立 的 平 衡 方 程 数 3 完 全 约 束 所 需 约 束 力 个 数 3 约 束 状 态 约 束 力 个 数 Nr 3 时 完 全 约 束 约 束 力 个 数 Nr 3 时 多 余 约 束 4-5静定与静不定问题的概念u 机 构 与 结 构机 构 不 完 全 约 束 （ 能 够 运 动 ）静 定 结 构 完 全 约 束结 构 超 静 定 结 构 完 全 约 束 , 多 余 约 束 4-5静定与静不定问题的概念 4-5静定与静不定问题的概念静 定（ 约 束 （ 未 知 数 ） 三 个 ） 静 不 定（ 约 束 （ 未 知 数 ） 四 个 ）静 不 定 问 题 在 强 度 力 学 （ 材 力 ,结 力 ,弹 力 ） 中 用位 移 谐 调 条 件 来 求 解 。 作 业 4-1 (a), (c), (e) 4-5 4-7 4-12 4-16 4-17 4-18