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1、极小值原理的一个实例背景最优控制主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少 燃料完成飞行任务，用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、 冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计 算机在线生产控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的 控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制。随着社会的进步和发展，特别是运输行业的大力发展，各种汽车数量不断增加，汽车拥 有率已成为衡量人民生活水平的重要标志。近 30 年来，国内汽车销售量以超过年均 15%的 速度增长，汽车需求量已占有 50% 上
2、的全球份额。在人们的生活中，汽车已经成为必不可少的部分，所以研究汽车的行驶，成为最优控制 理论研究的必然要求。本文通过一道例题，来说明最优控制理论在汽车行驶中的作用。最短时间问题一般情况下，汽车从开始运行，到停止要经过加速、匀速和减速的过程，在这个过程中， 速度从零开始先增加，然后保持不变，最后再减速到零。我们把汽车看成质点，且汽车的重 量忽略不计。记汽车的位移为x，速度为X，汽车受到的力是u。为了使问题简单化，我1 2们假设电梯开始的位置是X（0）= 0，开始的速度X（0）= 2，通过控制电梯受到的力u1 2且u（t） 1。求电梯在最短时间T内达到零态，即X（T） = 0,x（T） = 0。
3、下面把这个问题1 2转化为最优控制问题。根据电梯的运动，得到其运动方程为X - X 1 2X uJ 2初始条件为x（0）-0X（0）-21 2控制函数为u（t），在约束条件”（t）| 01, at + b 0通过对系统的分析，可知控制u在开始的一段时间内去u = 1，然后在某个时刻u= 1所以在u = 1时，解系统的状态方程x1x = 12解得x (t) = t2 + c t + c1 2 1 2 x (t) = -1 + c2 1由初始条件可得C1 = 2，C2 = 0。于是有x (t)一 -12 + 2t 1 2x (t )= t + 21 2设转换时刻为，当t=t1x (t ) = t2
4、 + 2t t1时，u二1状态方程为x = x 1 2x = 1 J 2其解为x (t)= 1 12 + Ct + c1 2 1 2 x (t) = t + c2 1将前一段状态在t = t1时的值作为后一段的初始条件即1 1ct2 + c t + c = t2 + 2t2 11122 11t + c = t + 2J111解得c = 2t + 2 1 1c = 12J 21将C、c代入上式得1 21x (t) = t2 + (-2t + 2 )t +12 1 2 1 1x (t ) = t 2t + 21 2 1由零态时的终点条件，把x (T)= 0,x (T) = 0代入上式得1 2-T 2 +(2t + 2)T 2 1T 2t + 2 = 0J 1解得t = 2 + J2V 1_T = 2 + 2 皐所以最优控制为u *(t )=-1,1,最优指标即最短时间为下面是最优控制u *(t)和最优轨迹x (t)u (t)t1tO*1/OPxA
极小值原理的一个实例
