《空间向量的夹角和距离公式(讲课)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量的夹角和距离公式(讲课)（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、 9.6 空 间 向 量 的 夹 角 和 距 离 公 式 莱 州 市 第 十 三 中 学 孙 兴 文 一 、 向 量 的 直 角 坐 标 运 算则设 ),(),( 321321 bbbbaaaa ; a b ; a b ; a ; a b/ ; .a b ; a b 1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b1 2 3( , , ),( ) a a a R1 1 2 2 3 3 ab a b a b1 1 2 2 3 3, , ( ) a b a b a b R1 1 2 2 2 2/ / / a b a b a b
2、1 1 2 2 3 3 0 ab a b a b | | ABAB AB AB2 1 2 1 2 1( , , ) x x y y z z2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) x x y y z z2 2 2, 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) A Bd x x y y z z在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 、 ， 则 1 1 1( , , )A x y z2 2 2( , , )B x y z二 、 距 离 与 夹 角（ 1） 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 cos , | | | | a ba b a b 1 1 2 2 3 32 2
3、2 2 2 21 2 3 1 2 3 ; ab a b a ba a a b b b（ 2） .两 个 向 量 夹 角 公 式注 意 ： （ 1） 当 时 ， 同 向 ； （ 2） 当 时 ， 反 向 ； （ 3） 当 时 ， 。cos , 1 a b 与 a bcos , 1 a b 与 a bcos , 0 a b a b思 考 ： 当 及 时 ， 的 夹 角 在 什 么 范 围 内 ？ 1cos ,0 a b ,1 0cos a b 练 习 一 ：1.求 下 列 两 个 向 量 的 夹 角 的 余 弦 ：(1) (2 , 3, 3) , (1, 0 , 0) ; a b(2) ( 1,
4、1,1) , ( 1, 0 ,1) ; a b2.求 下 列 两 点 间 的 距 离 ：(1) (1,1, 0) , (1,1,1) ;A B (2) ( 3,1, 5) , (0 , 2 , 3) . C D 三 、 应 用 举 例例 1 已 知 、 ， 求 ： 线 段 的 中 点 坐 标 和 长 度 ； (3, 3,1)A (1, 0 , 5)BAB解 ： 设 是 的 中 点 ， 则( , , )M x y z AB 1 1 3( ) (3, 3,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 ,2 2 2 OM OA OB 点 的 坐 标 是 .M 32 , , 32 2 2 2, (1 3)
5、(0 3) (5 1) 29 . A Bd OA BM 例 2 如 图 ， 在 正 方 体 中 ， ， 求 与 所 成 的 角 的 余 弦 值 。 1 1 1 1ABCD ABC D 1 1 B E1 11 1 4 ABDF 1BE 1DF F1 E1 C1 B1A1 D1 D A B C y zx O 解 ： 设 正 方 体 的 棱 长 为 1， 如 图 建立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 O xyz1 3(1,1, 0) , 1, ,1 ,4 B E 1 1(0 , 0 , 0) , 0 , 1 .4 ，D F1 3 11, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 ,4 4BE 例 2
6、 如 图 ， 在 正 方 体 中 ， ， 求 与 所 成 的 角 的 余 弦 值 。 1 1 1 1ABCD ABC D 1 1 B E1 11 1 4 ABDF 1BE 1DF F1 E1 C1 B1A1 D1 D A B Cx y zO 1 1 10 , 1 (0 , 0 , 0) 0 , 1 .4 4 ， ，DF 1 1 1 1 150 0 1 1 ,4 4 16 BE DF 1 117 17| | , | | .4 4 BE DF1 11 1 1 1 15 1516cos , .17| | | | 17 174 4 BE DFBE DF BE DF 正 方 体 ABCD-A1B1C1D
7、1,E,F分 别 是 C1A， D1 A1的 中 点 ， 1） 求 cos.2） 求 点 A到 直 线 EF的 距 离 。 （ 用 向 量 法 ） F E C1 B1A1 D1 D A B C 课 堂 练 习 ： x yzO1 1 1 1 1, ,ABCD ABC D E F1.若 正 方 体 的 边 长 为 分 别 是(1) , ,(2) .FA A EF 1 1 1CC ,D A的 中 点 .求 FE 点 到 直 线 的 距 离CB1A1 D1 C1BDA EF解 : ,O xyz建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系 得1 1(1,0,0), (1,1, ), ( ,0,1).2
8、 2A E F1 1 1( ,0, 1), ( ,1, ).2 2 2FA FE 5 6| | ,| | .2 2FA FE 3.4FE FA 30cos , .10 FE FA课 堂 练 习 ： x yzO1 1 1 1 1, ,ABCD ABC D E F1.若 正 方 体 的 边 长 为 分 别 是(1) , ,(2) .FA A EF 1 1 1CC ,D A的 中 点 .求 FE 点 到 直 线 的 距 离CB1A1 D1 C1BDA EF解 : 5 6(1) | | ,| | .2 2FA FE 由 知 30cos , .10 FE FA30sin , .10 FE FA M, .
9、AE AM FE连 结 作1 1| | | | sin , | | |2 2AEFS FA FE FA FE AM FE 5 30 6| | .2 10 4AM 6 .4A EF故 点 到 直 线 的 距 离 为课 堂 练 习 ： x yzO1 1 1 1 1, ,ABCD ABC D E F1.若 正 方 体 的 边 长 为 分 别 是(1) , ,(2) .FA A EF 1 1 1CC ,D A的 中 点 .求 FE 点 到 直 线 的 距 离CB1A1 D1 C1BDA EF思 路 二 : M, ,AE AM FE连 结 作 | |sin ,A EF AF FE 点 到 直 线 的 距
10、 离 公 式 d= AF在 直 角 三 角 形 AFM中| |sin , | |AMAF FE FA | | | | sin ,AM FA AF FE 课 堂 练 习 ： 四 、 课 堂 小 结 ：1.基 本 知 识 ：（ 1） 向 量 的 长 度 公 式 与 两 点 间 的 距 离 公 式 ；（ 2） 两 个 向 量 的 夹 角 公 式 。 2.思 想 方 法 ： 用 向 量 计 算 或 证 明 几 何 问 题时 ， 可 以 先 建 立 直 角 坐 标 系 ， 然 后 把 向 量 、 点 坐标 化 ， 借 助 向 量 的 直 角 坐 标 运 算 法 则 进 行 计 算 或证 明 。 作 业 与 练 习o P74： 1、 2、 4
空间向量的夹角和距离公式(讲课)
