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1、 数 列 通 项 公 式 的 求 法 na nn cos1 注 ： 有 的 数 列 没 有 通 项 公 式 ，如 ： 3， ， e， 6； 有 的 数 列 有 多 个 通 项 公 式 ,如 ： 数 列 的 通 项 公 式 :是 一 个数 列 的 第 n项 （ 即 an） 与 项 数 n之 间 的 函 数 关 系 一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观 察 数 列 中 各 项 与 其 序 号 间的 关 系 ， 分 解 各 项 中 的 变 化 部 分 与 不变 部 分 ， 再 探 索 各 项 中 变 化 部 分 与 序号 间 的 关 系 ， 从 而 归 纳 出 构 成 规 律 写出 通 项 公
2、 式 解 ： 变 形 为 ： 101 1， 1021， 1031，1041， 通 项 公 式 为 ：例 1： 数 列 9， 99， 999， 9999， 110 nna 例 2， 求 数 列 3， 5， 9， 17， 33， 解 ： 变 形 为 ： 21+1， 22+1， 23+1， 24+1， 25+1， 12 nna 可 见 联 想 与 转 化 是 由 已 知 认 识 未 知 的 两种 有 效 的 思 维 方 法 。注 意 ： 用 不 完 全 归 纳 法 ， 只 从 数 列 的 有 限 项来 归 纳 数 列 所 有 项 的 通 项 公 式 是 不 一 定 可 靠的 ， 如 2， 4， 8，
3、 。 可 归 纳 成 或 者 两 个 不 同 的 数 列 （ 便 不 同 ） nna 222 nnan 4a 通 项 公 式 为 ： 二 、 迭 加 法 （ 又 叫 加 减 法 ， 逐 加 法 ） 当 所 给 数 列 每 依 次 相 邻 两 项 之 间 的 差组 成 等 差 或 等 比 数 列 时 ， 就 可 用 迭 加 法进 行 消 元 例 3， 求 数 列 ： 1， 3， 6， 10， 15， 21， 的 通 项 公 式 na解 ： 两 边 相 加 得 ： 212 aa 323 aa 545 aa naa nn 1 naan 4321 )1(21 nnan434 aa 三、迭积法（逐积法）
4、 当 一 个 数 列 每 依 次 相 邻 两 项 之 商构 成 一 个 等 比 数 列 时 ， 就 可 用 迭 积 法进 行 消 元 例 4、 已 知 数 列 中 ， ， ，求 通 项 公 式 。 21 a nnn aa 31 na解 ： 由 已 知 ， ， 得 ： 把 1， 2， n分 别 代 入 上 式 得 ： 21 a nnn aa 31 nnnaa 31 1 12 3aa 223 3aa 11 3 nn naa na把 上 面 n-1条 式 子 左 右 两 边 同 时 相 乘 得 ： 2 1)1(3211 33 nnnnaa2 )1(32 nnna练 习 : 用 迭 加 法 推 导 等
5、 差 数 列 的 通 项 公 式 用 迭 积 法 推 导 等 比 数 列 的 通 项 公 式 ， ， ， 四、待定系数法： 用 待 定 系 数 法 解 题 时 ， 常 先 假 定 通 项 公 式或 前 n项 和 公 式 为 某 一 多 项 式 ， 一 般 地 ，若 数 列 为 等 差 数 列 ： 则 ， 或 是 （ b、 为 常 数 ） ， 若 数列 为 等 比 数 列 ， 则 ，或 。 na cbnan cnbns n 2 na 1 nn Aqa)1,0( qAqAAqs nn 例 5 已 知 数 列 的 前 n 项 和为 ， 若 为等 差 数 列 ， 求 p与 。 na nana解 ： 为
6、 等 差 数 列 na ndanddnnnas n )2(22 )1( 121 3)1(2 pnPPn 56330 122 11 adPP Pda pd ndnaa n 61)1(1 3)1(2 pnppnsn 例 6 设 数 列 的 各 项 是 一 个 等 差 数 列与 一 个 等 比 数 列 对 应 项 的 和 ， 若 c1=2，c2=4， c3=7， c4=12， 求 通 项 公 式 cn nc解 ： 设 1)1( nn bqdnac 132 21112123 72 42 nn ncabdqbqda bqda bqda ba 五 、 已 知 数 列 的 前 n项 和 公 式 ， 求 通
7、项 公式 的 基 本 方 法 是 ： 注 意 ： 要 先 分 n=1和 两 种 情 况 分 别 进行 运 算 ， 然 后 验 证 能 否 统 一 。 )2( )1(11 nss nsa nnn 2n 例 7 已 知 下 列 两 数 列 的 前 n项 和 sn的公 式 ， 求 的 通 项 公 式 。（ 1） （ 2） na na 12 nsn解 ： （ 1） ， 当 时 由 于 也 适 合 于 此 等 式 111 sa 2n 54)1(3)1(2)32( 221 nnnnnssa nnn 1a 54 nan（ 2） ， 当 时 由 于 不 适 合 于 此 等 式 011 sa 2n 121)1(
8、)1( 221 nnnssa nnn 1a )2(12 )1(0 nn na n nnsn 32 2 六、 换元法当 给 出 递 推 关 系 求 时 ， 主 要 掌 握 通 过 引 进辅 助 数 列 能 转 化 成 等 差 或 等 比 数 列 的 形 式 。na例 8， 已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ， 且 求 通 项 公 式 。 na 121 nn aa11 a na解 ： 12 1 nn aa )1(211 nn aa令 则 辅 助 数 列 是 公 比 为 2的 等 比 数 列 即 1 nn ab nb11 nn qbb nn n qaa 2)1(1 11 12 nna 2111
9、1 nnnn aabb 例 9 ， 已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ， 且 ， ，求 通 项 公 式 。 na42 12 nnn aaa 11 a 32 ana解 ： 42 12 nnn aaa 4)()( 112 nnnn aaaa令 则 数 列 是 以 4为 公 差 的 等 差 数 列 nnn aab 1 nb 2)1( 1211 aabdnbbn 241 naab nnn 21412 aa 22423 aa 234 34 aa 2)1(41 naa nn 两 边 分 别 相 加 得 ： )1(2 )1(32141 n naan342 2 naan 例 10， 已 知 ， ，且 ， 求 。 21 a 0na)(2 11 Nnaaaa nnnn na解 ： 即 02 11 nnnnn aaaaa 且211 1 nn aa 211 1 nn aa 令 ， 则 数 列 是 公 差 为 -2的 等 差数 列 因 此 nn ab 1 nb dnbbn )1(1 245)1(211 1 nnaan na n 45 2
(数学)数列通项公式的求法
