经济数学13极限的性质与运算法则

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1、 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则ESC 1.3极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 二 . 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 1.3 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 四 . 无 穷 小 量 的 比 较 三 . 无 穷 小 量 的 性 质 一 、 极 限 的 性 质定 理 1（ 唯 一 性 ） 若 极 限 lim ( )f x定 理 2（ 有 界 性 ） 若 极 限 存 在 ， 则 函 数 在 某 个 空 心 邻 域 内 有 界 。 0lim ( )x x f x定 理 3（ 保 号 性 ） 若 ， 则 在 的 某 空 心 邻 域 内 恒 有

2、。 0lim ( ) , 0( 0 x x f x A A A 且 或 ） 0 x( 0( ( 0)f x f x） 或 ） 若 0lim ( ) ,x x f x A 且 在 的 某 空 心 邻 域 内 恒 有 则 0 x ( 0( ( 0)f x f x ） 或 ）0( 0A A 或 ） 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 (f x） 0 x存 在 ， 则 极 限 值 唯 一 。 ESC 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 二 、 设 , , 则 Axf )(lim Bxg )(lim BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim .(1

3、)代 数 和 的 极 限 存 在 , 且)()(lim xgxf (2)乘 积 的 极 限 存 在 , 且)()(lim xgxf BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim . CBxgCxCg )(lim)(lim .特 别 地 , 有 (i) 常 数 因 子 可 提 到 极 限 符 号 的 前 面 , 即C(ii) 若 是 正 整 数 , 有m mmm Axfxf )(lim)(lim . 二 、 极 限 的 四 则运 算 法 则 ESC 设 , , 则 Axf )(lim Bxg )(lim(3) 若 ,商 的 极 限 存 在 , 且0)(lim Bxg )( )(lim

4、 xg xf .BAxg xfxg xf )(lim )(lim)( )(lim 要 注 意 极 限 的 四 则 运 算 法 则 使 用 的 前 提 条 件 ！ 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 ESC和 的 极 限 =极 限 的 和 求例 1 )135(lim 21 xxx .解 由 极 限 的 四 则 运 算 法 则 原 式 1lim3lim5lim 1121 xxx xx 113)lim(51lim3lim5 21121 xxx xxx常 数 因 子 可 提 到极 限 符 号 之 前 711315 2 .由 该 题 计 算 结 果 知 ， 对 多 项 式)(xP n

5、 nnnn axaxaxa 1110有 nnnn axaxaxa 0110100 )(lim0 xPnxx ).( 0 xPn )0( 0 a , 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 ESC不 能 直 接 用 极 限的 四 则 运 算 法 则解 显 然 , 分 子 与 分 母 的 极 限 都 是 0.原 式 求例 2 .32 9lim 2 23 xx xx应 将 分 子 分 母 分 解因 式 ,约 去 极 限 为 0的 公 因 子 ).3( x )1)(3( )3)(3(lim3 xx xxx 13lim 3 xxx商 的 极 限 =极 限 的 商 .2346 一 . 极

6、限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 例 3求 解 ： 当 时 ， 分 子 分 母 都 是 无 穷 大 ， 不 能 直接 利 用 商 的 极 限 运 算 法 则 ， 此 时 可 将 分 子 分 母 同时 除 以 得 到 22lim 1x xx x x2x 22lim 1x xx x 222 1lim 01 1 1x xx xx 分 子 分 母 同 时 除以 分 母 的 最 高 次项 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 例 4 求 解 ： 当 时 ， 分 子 分 母 都 是 无 穷 大 ， 不 能 直接 利 用 商 的 极 限 运 算 法 则 ， 此 时 可 将 分 子

7、 分 母 同时 除 以 得 到 222 3lim 2 2x xx xx x2x 2 22 21 322 3lim lim 22 22 2 1x x x xx xx x x x 分 子 分 母 同 时 除以 分 母 的 最 高 次项 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 一 般 地 ， 当 时 ， 有 理 分 式 （ ） 的 极 限 有 以 下 结 果 ： 练 习 ： 求 下 列 极 限 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 x 0 00, 0a b 22 4 23 2 3( 3)(2 1)4 5 3 3 2 71 lim (2) lim (3) lim2 8

8、 5 3 2 7x x x x xx x x xx x x （ ） mn mnba mnbxbxb axaxa mmm nnnx ,0lim 0011 1100 ， ESC 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 xxx 11lim0 解 原 式 )11( 11lim0 xx xx 21111lim0 xx)2144(lim 22 xxx例 6 2 4 ( 2)lim ( 2)( 2)x xx x 解 ： 原 式 2 1 1lim 2 4x x 例 5 求 ESC 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 )2(lim xxxx 例 7解 ： 原 式 2lim 2

9、x xx x 2lim 121 1x x 练 习 ： 求 下 列 极 限 2 4 2(1) lim ( 1 ) (2 lim( 1 )x xx x x x x ） 30 20504 4 (4 1) (3 2)3 lim (4) lim (4 2)5 3x xx x xxx （ ） ESC 一 . 极 限 的 性 质 与 四 则 运 算 法 则 2 22 21 30 11 35 lim (6)lim2 1 3( 1) 1 3lim lim )1 1x xx xx x xx x xx+ x xx x - x （ ） （ ） （ (7) 8201 2 11 2 0 3 6 ) (5) (6)2 3

10、31(7) (8) 12 x （ ） （ ） （ ） 3 (4)( 4 答 案 ： ESC 二 . 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 定 义 1.5 若 函 数 在 自 变 量 的 某 个 变 化 过 程 中 以 零 为 极 限 ， 则 称 在 该 变 化 过 程 中 , 为 无 穷 小 量 简 称 无 穷 小 )(xfy x )(xf 例 如 ， 当 时 ， ， ， 是无 穷 小 量 ； 当 时 ， 是 无 穷 小 量 ；当 时 ， ， 是 无 穷 小 量 0 x xsin 3 x 3x1x 2)1( xx 21x 21x ESC 我 们 经 常 用 希 腊 字 母 ， ， 来 表 示无

11、穷 小 量 定 理 4 函 数 以 为 极 限 的 充 分必 要 条 件 是 ： 可 以 表 示 为 与 一 个 无 穷小 量 之 和 即 )(xf A)(xf A AxfAxf )()(lim 0lim 其 中 二 . 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 ESC 二 . 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 定 义 1.6 若 在 自 变 量 的 某 个 变 化 过 程程 中 ,函 数 是 无 穷 小 量 ,即 ，则 称 在 该 变 化 过 程 中 ， 为 无 穷 大 量 ， 简 称无 穷 大 ， 记 作 x)(1xfy 0)(1lim xf)(xf )(lim xf ESC 二 . 无 穷

12、大 量 与 无 穷 小 量 例 如 ， 当 时 ， 是 无 穷 大 量 ； 当 时 ， ， 是 无 穷 大 量 ； 当时 ， ， 是 无 穷 大 量 0 x 31x 0 x xcot x1 x2x2x 当 时 ， 是 无 穷 小 量 ， 而 是 无 穷 大 量 ； 当 时 ， 是 无 穷 大量 ， 而 是 无 穷 小 量 这 说 明 无 穷 小量 和 无 穷 大 量 存 在 倒 数 关 系 0 x 3x 31x2xx21x ESC 二 . 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 例 8 求 23 34lim 21 xx xx 解 先 求 分 母 的 极 限 02131)23(lim 221 xxx

13、 ,先 考 虑 原 来 函 数 倒 数 的 极 限 . 034 0)34(lim )23(lim34 23lim 1 2121 x xxx xx xxx ESC 二 . 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 即 是 时 的 无 穷 小 由 无 穷小 量 与 无 穷 大 量 的 倒 数 关 系 ， 得 到34 232 x xx 1x 23 34lim 21 xx xx ESC 三 . 无 穷 小 量 的 性 质 性 质 1.1 有 限 个 无 穷 小 量 的 代 数 和 仍 然是 无 穷 小 量 性 质 1.2 有 界 变 量 乘 无 穷 小 量 仍 是 无 穷小 量 性 质 1.3 常 数 乘

14、无 穷 小 量 仍 是 无 穷 小 量 性 质 1.4 无 穷 小 量 乘 无 穷 小 量 仍 是 无 穷小 量 ESC例 7 求 xxx 1sinlim0 解 因 为 ， 所 以 是 有 界 变量 ； 11sin x x1sin根 据 性 质 1.2， 乘 积 是 无 穷 小 量 即xx 1sin01sinlim0 xxx 三 . 无 穷 小 量 的 性 质 ESC 四 . 无 穷 小 量 的 比 较 x 我 们 记 ， ， ， 它 们都 是 x1 x2 21x时 的 无 穷 小 量 但 01lim/1/1limlim 2 xxx xxx ，21/2/1limlim xxxx ， xxx x

15、xx 2lim/1 /2limlim 2 ESC， ， 趋 于 零 的 情 况x1 21xx2xx/1 x/2 2/1 x 1 10 100 1 000 10 000 1 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0 002 0.2 0.02 0.002 0.000 21 0.01 0.000 1 0.000 001 0.000 000 01 四 . 无 穷 小 量 的 比 较 ESC 定 义 1.7 设 、 是 同 一 变 化 过 程 中的 两 个 无 穷 小 量 ， (1)若 ,则 称 是 比 高 阶 的无 穷 小 量 也 称 是 比 低 阶 的 无 穷 小 量 0lim (2)若 (

16、 是 不 等 于 零 的 常 数 )，则 称 与 是 同 阶 无 穷 小 量 若 ， 则 称 与 是 等 价 无 穷 小 量 记 为 。clim c 1c 四 . 无 穷 小 量 的 比 较 ESC 思 考 ： 1.当 时 ， 相 比 哪 一 个 是 高 阶 无 穷 小 ？0 x 2 2 32x x x x 与2、 当 时 ， 无 穷 小 是 否 同 阶 ？ 是 否 等 价 ？1x 1 x (和 3 2111 (2) (1 )2x x （ ）3.下 列 变 量 ， 在 趋 于 何 值 时 是 无 穷 小 ？在 趋 于 何 值 时 是 无 穷 大 ？x x22 1 11 (2) sinxy y

17、xx （ ） 四 . 无 穷 小 量 的 比 较 ESC 内 容 小 结 1. 极限四则运算法则（注意使用条件）2. 求函数极限的方法分式函数极限求法0)1 xx时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2 xx时, 对 00型 , 约去零因子x)3时 , 对 型，分子分母同除以分母的最高次幂 ESC 内 容 小 结 （3） 无穷小量与无穷大量的关系3. 无穷小量与无穷大量（2） 无穷小量的性质（1） 无穷小量与无穷大量的定义4. 无穷小量的比较 ESC 课 堂 练 习1.求 下 列 函 数 的 极 限20 1sin arctan(1) lim (2) lim1 1lim( )cos (4)lim

18、(1 )sin 1x xx xx xx xx x xx x 2.指 出 下 列 变 量 ， 当 时 是 无 穷 小 ：?x12 2(1) (2)ln( 1) (3) (4)arctan1 xx x e xx 3.指 出 下 列 变 量 ， 当 时 是 无 穷 大 ：?x 12 1 1(1) (2)ln(1 ) (3) (4) arctan4 2xx x e xx ESC 课 堂 练 习答 案 ：2 (1) 2 (2) 2 (3) 0 03 1 2 2 2 13 0 4x x x x xx x x xx x (、 或、 （ ） 或 （ ） 或 （ ） （ ）1 ) 0 0 0 (4) P17 习 题 1.2 1（ 2） (3)（ 4） (6)(7)(8) ESC 布 置 作 业2.(2)(3)(4)(7)