北京大学量子力学课件第29讲

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1、 第第 二二 十十 九九 讲讲 .变分法变分法 A.A.体系的哈密顿量在任一满足物理要求体系的哈密顿量在任一满足物理要求的试探波函数上的平均值必大于等于体系基的试探波函数上的平均值必大于等于体系基态能量态能量1 B.Ritz B.Ritz 变分法变分法 基本思想基本思想：根据物理上的考虑，给出含一根据物理上的考虑，给出含一组参量的试探波函数组参量的试探波函数 求出能量平均值求出能量平均值2 对对 ，求极值，从而确定，求极值，从而确定 显然，显然，（基态能量）（基态能量）例：求氦原子的基态能量例：求氦原子的基态能量(即外有两个电子即外有两个电子)氦原子的哈密顿量为（忽略氦原子的哈密顿量为（忽略

2、）3 从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz变分法来求基态能量的近似值。变分法来求基态能量的近似值。因类氢离子的基态波函数为因类氢离子的基态波函数为4则则 满足满足所以，取试探波函数为所以，取试探波函数为 5显然，显然，于是于是 6 RitzRitz变分，是由给定变分，是由给定 （函数形式给定（函数形式给定 ），即）

3、，即 ，仅改变参量仅改变参量，使，使取极小（但函数形式不变），取极小（但函数形式不变），所以只能得到近似所以只能得到近似的本征函数和的本征函数和本征值的上限。本征值的上限。7 .量子跃迁量子跃迁 要处理的问题是：体系原处于要处理的问题是：体系原处于的本征态的本征态（或叠加），而后有一与（或叠加），而后有一与有关的微扰有关的微扰作作用到该体系。于是用到该体系。于是体系可能从一个态以一定几率体系可能从一个态以一定几率跃迁到另一态，称这一现象为量子跃迁。跃迁到另一态，称这一现象为量子跃迁。处理这样的问题就需要利用含时间的微扰论处理这样的问题就需要利用含时间的微扰论 （1 1）含时间的微扰论）含时间的

4、微扰论 8 与与 有关，体系有关，体系的哈氏量原为的哈氏量原为，随随有一微扰有一微扰 时，体系处于时，体系处于 的本征态的本征态 ，相应的定态为相应的定态为9 当然，当然，仍可按仍可按的定态的定态展开。但由展开。但由于于不是不是的定态的定态，所以展开系数是与，所以展开系数是与有有关。关。10于是有于是有11 时，体系处于时，体系处于 因此，在因此，在 时刻，测量发现体系处于时刻，测量发现体系处于 态的几率为态的几率为12（2）常微扰下的跃迁率：常微扰下的跃迁率：在某些实验中，在某些实验中，在作用时间内在作用时间内,微扰常常是不依赖于微扰常常是不依赖于的的 （）13 单位时间跃迁几率（称为跃迁速

5、率或跃迁单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率）率）它表明：它表明：跃迁率与时间无关。通常称为跃迁率与时间无关。通常称为FermiFermi黄金定则黄金定则;当当 一定大后，跃迁贡献主一定大后，跃迁贡献主要是来自同初态能量相同的末态。要是来自同初态能量相同的末态。14 B.B.周期性微扰下的跃迁率周期性微扰下的跃迁率 设：微扰随时间作周期性变化设：微扰随时间作周期性变化 与与t t无关无关 在一级近似下在一级近似下 15 根据前面分析，当根据前面分析，当 t t 足够大时，引起体系足够大时，引起体系从从 的的 态发生跃迁到态发生跃迁到 的的 态态的总跃迁率，是的总跃迁率，是 .于是有跃迁率为于

6、是有跃迁率为 16C辐射场下原子的跃迁率辐射场下原子的跃迁率 当微扰影响较小时，一级近似很好当微扰影响较小时，一级近似很好 现考虑原子被置于一个纯辐射场中现考虑原子被置于一个纯辐射场中 在原子区域中，无外电场在原子区域中，无外电场 。17 因因 。于是有（电磁场弱，忽略。于是有（电磁场弱，忽略项）项）由于由于满足满足令令18 且有且有 （由于（由于 为实）为实）在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则 可以证明可以证明 即受激辐射和退激发跃迁几率相等。即受激辐射和退激发跃迁几率相等。19 同样可以证明在同样可以证明在 弱辐射场弱辐射场 长波近似长波近似 辐射

7、是非极化的（极化各向同性，辐射是非极化的（极化各向同性，等几率）条件下：等几率）条件下：单位时间跃迁几率，即跃迁率单位时间跃迁几率，即跃迁率20 其中 为能量密度分布，即光强度分布为能量密度分布，即光强度分布。为单位时间通过垂直传播方向上的为单位时间通过垂直传播方向上的单位面积的能量分布。单位面积的能量分布。21 （3 3）磁共振）磁共振 均匀磁场均匀磁场（在（在Z方向方向），将使电子），将使电子的简并态（自旋的简并态（自旋）发生分裂，其能量差）发生分裂，其能量差其中其中当电子吸收一光子当电子吸收一光子，则将电子激发到，则将电子激发到较高能级，即自旋向上的态。较高能级，即自旋向上的态。22A.

8、跃迁几率和跃迁率跃迁几率和跃迁率设：有一垂直于静场设：有一垂直于静场的磁场。于是，总的磁场。于是，总磁场为磁场为若振荡场比静场小若振荡场比静场小23 电子的总哈密顿量在电子的总哈密顿量在表象，即在表象，即在表表象，中象，中24 设设时刻，电子自旋态的本征值为时刻，电子自旋态的本征值为。在一级近似下，从本征值为。在一级近似下，从本征值为的自的自旋态跃迁到本征值为旋态跃迁到本征值为的自旋态的几率的自旋态的几率25 若若为单位频率中的态密度，则总的为单位频率中的态密度，则总的跃迁几跃迁几率为率为26(若若t足够大或足够大或在共振区变化很缓慢在共振区变化很缓慢)27 所以，单位时间的跃迁几率（所以，单

9、位时间的跃迁几率（跃迁率）为跃迁率）为 28B.两能级间的震荡两能级间的震荡电子的总哈密顿量在电子的总哈密顿量在表象，即在表象，即在表表象中为象中为设设时刻，电子状态或称自旋态的表示为时刻，电子状态或称自旋态的表示为29于是有于是有30令令31 所以，所以，时，有解时，有解时，有解时，有解32于是有于是有普遍解为普遍解为33其中其中34 若若，电子处于，电子处于本征值为本征值为的本征态，其表示即为的本征态，其表示即为则要求则要求35所以，所以，36最后有解最后有解 37时刻，处于时刻，处于本征值为本征值为的本征的本征态，其表示即为态，其表示即为的几率为的几率为仍处于仍处于本征值为本征值为的本征

10、态，其表示的本征态，其表示即为即为的几率为的几率为38 我们直接看到，电子所处的态随时间在这我们直接看到，电子所处的态随时间在这两个态之间以一定的几率震荡。两个态之间以一定的几率震荡。39C.一级近似公式的精确性一级近似公式的精确性 我们能直接看到，在我们能直接看到，在时，精确解时，精确解和一级近似解才符合。和一级近似解才符合。40418.4 8.4 散射散射 （1 1）一般描述：一般描述：在束缚态问题中，我们是解本征值问题，在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。强度，即关心远处的波函数。42