积分变换法求解定解问题

《积分变换法求解定解问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《积分变换法求解定解问题（43页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1 在 复 变 函 数 理 论 中 ， 我 们 曾 用 拉 普 拉 斯 变 换 法 求 解常 微 分 方 程 经 过 变 换 ， 常 微 分 方 程 变 成 了 代 数 方 程 ，解 出 代 数 方 程 ， 再 进 行 反 演 就 得 到 了 原 来 常 微 分 方 程的 解 2 积 分 变 换 法 是 通 过 积 分 变 换 简 化 定 解 问 题 的 一 种 有 效 的 求解 方 法 对 于 多 个 自 变 量 的 线 性 偏 微 分 方 程 ， 可 以 通 过 实 施 积分 变 换 来 减 少 方 程 的 自 变 量 个 数 ， 直 至 化 为 常 微 分 方 程 ， 这 就使 问 题

2、得 到 大 大 简 化 ， 再 进 行 反 演 ， 就 得 到 了 原 来 偏 微 分 方 程的 解 积 分 变 换 法 在 数 学 物 理 方 程 （ 也 包 括 积 分 方 程 、 差 分方 程 等 ） 中 亦 具 有 广 泛 的 用 途 尤 其 当 泛 定 方 程 及 边 界 条 件 均为 非 齐 次 时 ， 用 经 典 的 分 离 变 量 法 求 解 ， 就 显 得 有 些 烦 琐 和 笨挫 ， 而 积 分 变 换 法 为 这 类 问 题 提 供 了 一 种 系 统 的 解 决 方 法 ， 并且 显 得 具 有 固 定 的 程 序 ， 按 照 解 法 程 序 进 行 易 于 求 解 利

3、 用 积分 变 换 ， 有 时 还 能 得 到 有 限 形 式 的 解 ， 而 这 往 往 是 用 分 离 变量 法 不 能 得 到 的 3 特 别 是 对 于 无 界 或 半 无 界 的 定 界 问 题 ， 用 积 分 变 换 来 求 解 ， 最 合 适 不 过 了 （ 注 明 ： 无 界 或 半 无 界 的 定 界 问 题也 可 以 用 行 波 法 求 解 ）用 积 分 变 换 求 解 定 解 问 题 的 步 骤 为 ：第 一 ： 根 据 自 变 量 的 变 化 范 围 和 定 解 条 件 确 定 选 择 适 当 的 积 分 变 换 ；对 于 自 变 量 在 ( , ) 内 变 化 的 定

4、 解 问 题（ 如 无 界 域 的 坐 标 变 量 ） 常 采 用 傅 氏 变 换 ， 而 自 变 量 在 4 (0, ) 内 变 化 的 定 解 问 题 （ 如 时 间 变 量 ） 常 采 用 拉 氏 变 换 第 二 ： 对 方 程 取 积 分 变 换 ， 将 一 个 含 两 个 自 变 量 的 偏 微 分 方程 化 为 一 个 含 参 量 的 常 微 分 方 程 ；第 三 ： 对 定 解 条 件 取 相 应 的 变 换 ， 导 出 常 微 分 方 程 的 定 解 条 件 ；第 四 ： 求 解 常 微 分 方 程 的 解 ， 即 为 原 定 解 问 题 的 变 换 ；第 五 ： 对 所 得

5、解 取 逆 变 换 ， 最 后 得 原 定 解 问 题 的 解 5 用 分 离 变 量 法 求 解 有 限 空 间 的 定 解 问 题 时 ， 所 得到 的 本 征 值 谱 是 分 立 的 ， 所 求 的 解 可 表 为 对 分 立 本 征值 求 和 的 傅 里 叶 级 数 对 于 无 限 空 间 ， 用 分 离 变 量 法求 解 定 解 问 题 时 ， 所 得 到 的 本 征 值 谱 一 般 是 连 续 的 ， 所求 的 解 可 表 为 对 连 续 本 征 值 求 积 分 的 傅 里 叶 积 分 因 此 ， 对 于 无 限 空 间 的 定 解 问 题 ， 傅 里 叶 变 换 是 一 种 很适

6、 用 的 求 解 方 法 本 节 将 通 过 几 个 例 子 说 明 运 用 傅 里 叶变 换 求 解 无 界 空 间 （ 含 一 维 半 无 界 空 间 ） 的 定 界 问 题 的基 本 方 法 ， 并 给 出 几 个 重 要 的 解 的 公 式 6 下 面 的 讨 论 我 们 假 设 待 求 解 的 函 数 u及 其 一 阶 导 数 是 有 限 的 .15.1.1 弦 振 动 问 题例 15.1.1 求 解 无 限 长 弦 的 自 由 振 动 定 解 问 题（ 假 定 ： 函 数 u及 其 一 阶 导 数 是 有 限 的 ， 以 后 不 再 特 别 指 出 这 一 定 解 问 题 在 行

7、波 法 中 已 经 介 绍 ， 读 者 可 以 比 较 行 波 解 法 和 傅 氏 解 法 ） 7 200 0,( )| ( ) | ( )tt xxtt tu a u xu xu x 【 解 】 应 用 傅 里 叶 变 换 ， 即 用 i xe 遍 乘 定 解 问 题 中 的 各 式 ，并 对 空 间 变 量 x积 分 （ 这 里 把 时 间 变 量 看 成 参 数 ） ， 按 照 傅里 叶 变 换 的 定 义 ， 我 们 采 用 如 下 的 傅 氏 变 换 对 ： 8 i i( , ) ( , ) d1( , ) ( , ) d2 x xU t u x t e xu x t U t e 简

8、 化 表 示 为 ( , ) ( , )u x t U tF对 其 它 函 数 也 作 傅 氏 变 换 ， 即 为 ( ) ( ) ( ) ( )xx FF 9 于 是 原 定 解 问 题 变 换 为 下 列 常 微 分 方 程 的 定 解 问 题2 2 22 00 ( , ) 0( , )|( , ) )(| )tt tU a U ttU tU t 上 述 常 微 分 方 程 的 通 解 为 i i( , ) ( ) ( )at atU t A e B e 10 代 入 初 始 条 件 可 以 定 出1 1 1( ) ( ) ( )2 2 i1 1 1( ) ( ) ( )2 2 iA aB

9、 a 这 样 i i i i1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 i 2 2 i( ) ( )cos( ) sin( )at at at atU t e e e ea aat ata 11 最 后 ， 上 式 乘 以 12 并 作 逆 傅 氏 变 换 应 用 延 迟 定理 和 积 分 定 理 得 到1 1( , ) ( ) ( ) ( )d2 2 x at x atu x t x at x at a 这 正 是 前 面 学 过 的 的 达 朗 贝 尔 公 式 .例 15.1.2 12 为 了 说 明 傅 氏 变 换 法 解 非 齐 次 方 程 特 别 简 便 ， 我

10、们 特 举 一 强 迫 弦 振 动 问 题 ：求 解 无 限 长 弦 的 强 迫 振 动 方 程 的 初 值 问 题 2 00 ( , ), ( )| ( ) | ( )tt xxtt tu a u f x t xu xu x 【 解 】 根 据 与 例 15.1.1 相 同 的 方 法 ， 作 傅 氏 变 换 13 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( ) ( ), ( ) ( )u x t U t f x t F tx x F FF F我 们 容 易 得 到 原 定 解 问 题 可 变 换 为 下 列 常 微 分 方 程 的 问 题 2 2 22 0 0( , ) ( ,

11、 )( , )| ( ),( , )| ( ),tt tU a U t F tt U tU t 14 上 述 问 题 的 解 为 01 ( )( , ) ( , )sin ( )d ( )cos( ) sin( )tU t F at at a ta a 利 用 傅 氏 变 换 的 性 质 有 01 1 ( , ) ( , )1 ( , ) ( , )di xxF t f x tF f FF故 得 到 0 ( )1 i ( ) 1 ( , ) ( , )di x a ta t xe F t f F 15 i ( ) i ( )1sin ( ) 2i a t a ta t e e 代 入 得 到

12、0 0( ) ( )01( , ) ( , )d ( , )d d21 1 ( ) ( ) ( )d2 2t x a t x a tx x x atx atu x t f fa x at x at a 即 得 ( )0 ( )1( , ) ( , )d d21 1 ( ) ( ) ( )d2 2t x a tx a t x atx atu x t fa x at x at a 16 15.1.2 热 传 导 问 题例 15.1. 3 求 解 无 限 长 细 杆 的 热 传 导 （ 无 热 源 ） 问 题2 0 0, ( , 0)| ( ) t xxtu a u x tu x 【 解 】 作 傅

13、 氏 变 换 ， ( , ) ( , )u x t U tF ( ) ( )x F定 解 问 题 变 换 为 2 2 ( , ) 0( ,0) ( )U a U tU 17 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题 的 解 是 2 2( , ) ( ) a tU t e 再 进 行 逆 傅 里 叶 变 换 ， 2 22 21 ii i1( , ) ( , ) ( ) d21 ( ) d d2 a t xa t xu x t U t e ee e e F交 换 积 分 次 序 2 2 i ( )1( , ) ( ) d d2 a t xu x t e e 18 引 用 积 分 公 式 22 2 2

14、4d ( )ae e e 且 令 , i( )a t x 以 便 利 用 积 分 公 式 ， 即 得 到 22( )41( , ) ( ) d2 x a tu x t ea t 19 例 15.1.4 求 解 无 限 长 细 杆 的 有 源 热 传 导 方 程 定 解 问 题20 ( , ), ( , 0)| ( ) t xxtu a u f x t x tu x 【 解 】 利 用 ( ,) ( ,), ( ,) ( ,), ( ) ( )u xt U t f xt F t x F F F对 定 解 问 题 作 傅 氏 变 换 ， 得 到 常 微 分 方 程 的 定 解 问 题 20 2 2

15、 ( , ) ( , )( ,0) ( ) U a U t F tU 上 述 问 题 的 解 为 2 2 2 2( )0( , ) ( ) ( , ) dta t a tU t e F e 为 了 求 出 上 式 的 逆 变 换 ， 利 用 下 面 傅 氏 变 换 的 卷 积 公 式 ， 即 若 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ),G g x F f x F F则 1 ( ) ( ) ( ) ( )dF G f x g F 21 而 积 分 2 2 2i 21 1d exp 2 42 a t x xe a ta t 即 为 2 2 21 21 exp 42 a t xe a ta t F

16、最 后 得 到 定 解 问 题 的 解 为 22 22 ( )( ) t 4 ( )4 01 1 ( , )( ,) ( ) d d d2 2 xx a ta t fu xt e ea t a t 22 15.1.3 稳 定 场 问 题 我 们 先 给 出 求 半 平 面 内 ( 0)y 拉 普 拉 斯 方 程 的 第 一边 值 问 题 的 傅 氏 变 换 系 统 解 法 （ 读 者 可 以 与 格 林 函 数 解 法 进行 比 较 ）例 15.1.5 定 解 问 题 x 0 ( , 0)( ,0) ( ) lim ( , ) 0 xx yyu u x yu x f xu x y 23 【 解

17、 】 对 于 变 量 x作 傅 氏 变 换 ， 有1 ( , ) ( , ), ( ) ( )u x y U y f x F F F定 解 问 题 变 换 为 常 微 分 方 程 2 22 ( , ) 0,( ,0) ( )lim ( , ) 0U U yyU FU y 24 因 为 可 取 正 、 负 值 ， 所 以 常 微 分 定 解 问 题 的 通 解 为 | | | |( , ) ( ) ( )y yU x y C e D e 因 为 lim ( , ) 0U y ， 故 得 到( ) 0, ( ) ( )C D F 常 微 分 方 程 的 解 为 | |( , ) ( ) yU y

18、F e 设 | |( , ) yG y e 25 根 据 傅 氏 变 换 定 义 ， | |ye 的 傅 氏 逆 变 换 为0| | i i i 2 201 1 1 1 1d d d 2 2 2 i i ( )y x y x y x ye e e e y x y x x y 再 利 用 卷 积 公 式 1 ( ) ( ) ( ) ( )dF G f g x F最 后 得 到 原 定 解 问 题 的 解 为 2 2( )( , ) d ( )y fu x y x y 26 容 易 看 出 与 格 林 函 数 解 出 的 结 果 具 有 相 同 的 表 示 式 例 15.1.6 如 果 定 解 问

19、 题 为 下 列 第 二 边 值 问 题 x 0 ( , 0)( ,0) ( ) lim ( , ) 0 xx yyyu u x yu x f xu x y 【 解 】 令 ( , ) ( , ),yx y u x yv 即 0( , ) ( , )dyyu x y x v 27 容 易 得 到 ( , )x yv 满 足 定 解 问 题 为x 0 ( , 0)( ,0) ( ) lim ( , ) 0 xx yy x yx f xx y v vv v则 根 据 上 述 稳 定 场 第 一 边 值 问 题 公 式 2 2( )( , ) d ( )y fx y x y v故 得 到 28 0

20、00 2 22 22 21 ( )( , ) ( , )d d d ( )1 d( )d ( )1 ( )ln( ) d ( ) y yy yyy fu x y x xf xf x y x v15.2 拉 普 拉 斯 变 换 解 数 学 物 理 定 解 问 题由 于 要 作 傅 氏 变 换 的 函 数 必 须 定 义 在 ),( 上 ， 故 当我 们 讨 论 半 无 界 问 题 时 ， 就 不 能 对 变 量 x作 傅 氏 变 换 了 29 由 此 本 节 介 绍 另 一 种 变 换 法 ： 拉 普 拉 斯 变 换 法 求 解 定 解 问 题 15.2.1 无 界 区 域 的 问 题例 15.

21、2.1 求 解 无 限 长 细 杆 的 热 传 导 （ 无 热 源 ） 问 题 2 0 ( , ), ( , 0)| ( ) t xxtu a u f x t x tu x (15.2.1)【 解 】 先 对 时 间 t 作 拉 氏 变 换 30 ( , ) ( , ), ( , ) ( , )u x t U x p f x t F x p L L ( , ) ( , ) ( ,0) (17.2.2)tu xt pU x p u x L由 此 原 定 解 问 题 中 的 泛 定 方 程 变 为 2 2 2 2 2d 1 1( ) ( , ) 0 (17.2.3)dU p U x F x px

22、a a a 对 方 程 (15.2.3)实 施 傅 氏 逆 变 换 来 进 行 求 解 .利 用 傅 氏 逆 变 换 公 式1 2 22 b xb eb F 31 以 及 卷 积 定 理 -1 ( ) ( ) ( ) ( )dF G f x g F得 方 程 (15.2.3)的 解 为1 1( , ) ( ) d ( , ) d2 2p px x a aU x p e F p ea p a p (15.2.4)(15.2.4)式 作 拉 氏 逆 变 换 ,并 查 阅 拉 氏 变 换 表 ， 32 得 原 定 解 问 题 (15.2.1)的 解 为 22 220 1 ( )( , ) ( ) e

23、xp d42 1 ( ) ( , ) exp d d (17.2.5)4 ( )2 ( )t xu x t a ta t xf a ta t 15.2.2半 无 界 区 域 的 问 题例 15.2.2 求 定 解 问 题 33 2 (0 , 0)( ,0) 0 , (0, ) ( )( , ) (0 , 0)t xx xu a u x tu x u t q tu x t M x t (15.2.6)【 解 】 首 先 作 变 量 t 的 拉 氏 变 换 ( ,) ( , ), ( ,) ( , ) ( ,0) (17.2.7) () ( ) tu xt U x p u xt pU x p u

24、xqt Qp L LL原 定 解 问 题 即 为 34 2 2 2d ( , ) 0 d(0, ) ( ) , ( , ) (17.2.8)xU pU x px aU p Q p U x p M 易 得 到 (15.2.8)式 的 解 为( , ) ( ) ( ) (17.2.9) p px xa aU x p C pe Dpe ( , ) (0 )u x p M x ( ) 0 (17.2.10)D p 35 又 (0, ) ( ) (17.2.11)xU p Q p故 ( , ) ( ) (17.2.12)p xaaU x p Q p ep 由 于 221 41 1 (17.2.13) x

25、p xa a te ep t L 36 及 拉 氏 变 换 的 卷 积 定 理1 0 ( ) ( ) ( ) ( )d (17.2.14)tF p G p f g t L最 后 ,得 原 定 解 问 题 的 解 为 224 ( )0( , ) ( ) d (17.2.15)( ) xt a tau x t q et 15.2.2半 无 界 区 域 的 问 题例 15.2.2 求 定 解 问 题 37 2 (0 , 0)( ,0) 0 , (0, ) ( )( , ) (0 , 0)t xx xu a u x tu x u t q tu x t M x t 【 解 】 首 先 作 变 量 t 的

26、 拉 氏 变 换 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( ,0) (17.2.7) () ( ) tu x t U x p u x t pU x p u xq t Q p L LL原 定 解 问 题 即 为2 2 2d ( , ) 0 d (0, ) ( ) , ( , ) (17.2.8) xU pU x px aU p Q p U x p M 38 易 得 到 (15.2.8)式 的 解 为( , ) ( ) ( ) (17.2.9)p px xa aU x p C p e D p e 因 为 ( , ) (0 )u x p M x 所 以( ) 0 (17.2.10)Dp

27、又 (0, ) ( ) (17.2.11)xU p Qp故 39 ( , ) ( ) (17.2.12)pxaaU x p Q p ep 利 用 2 21 41 1 (17.2.13) xp xa a te ep t L及 拉 氏 变 换 的 卷 积 定 理1 0 ( ) ( ) ( ) ( )d (17.2.14)tF p G p f g t L最 后 ,得 原 定 解 问 题 的 解 为 40 224 ( )0( , ) ( ) d (17.2.15)( ) xt a tau x t q et 例 15.2.3 求 解 在 无 失 真 条 件 下 ( )RC LG电 报 方 程 的 定 解

28、 问 题( )( ,0) 0, ( ,0) 0 (0, ) ( ), lim ( , ) 0 xx tt ttxLC RC LG RGx xt t x t v v v vv vv v （ 15.2.16） 41 【 解 】 令 2 1 , RGLC 并 考 虑 到 无 失 真 条 件 则 原 方 程 (15.2.16)化 为 221 2xx tt t v v v v （ 15.2.17）若 对 时 间 t 作 拉 氏 变 换 有 , ( , ) ( , ) () ( ) x t V x p t p vL L于 是 定 解 问 题 (15.2.16)化 为 下 列 常 微 分 方 程 的 边 值

29、 问 题 : 42 2 2 22 2d 1 2dV p p Vx a (0, ) ( ), lim ( , )xV p p V x p M (15.2.18)上 述 问 题 的 解 为 1 1( , ) ( ) ( ) p x p xV x p C p e D p e 因 为 lim ( , )x V x p M 所 以 ( ) 0.D p (0, ) ( ) ( )= ( ) V p p C p p 43 于 是 1( , ) ( ) p xV x p p e 最 后 利 用 拉 氏 变 换 的 延 迟 定 律 ,得 定 解 问 题 (15.2.16)的 解 为 ： 1( , ) ( , ) x x xt u tu x t V x p e L或 0 ( , ) x x xt t xteu x t (15.2.47)