测量误差分析与误差处理

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1、5-2 中 误 差 传 播 定 律 o 本 单 元 阐 述 了 观 测 值 中 误 差 与 其 函 数 中 误 差 之间 的 关 系 ， 称 作 误 差 传 播 定 律 。 它 是 求 观 测 值函 数 中 误 差 的 理 论 根 据 ， 希 望 大 家 认 真 掌 握 。o 本 单 元 主 要 内 容 ： 观 测 值 函 数 中 误 差 推 导 。 o 知 识 考 核 :倍 数 函 数 ， 和 、 差 函 数 ， 线 性 函 数及 一 般 函 数 中 误 差 公 式 ； 算 术 平 均 值 中 误 差 公式 。 o 第 一 单 元 介 绍 的 是 根 据 一 组 等 精 度 观 测 值 的

2、真 误差 ， 求 观 测 值 的 中 误 差 问 题 。 但 是 在 实 际 测 量 工作 中 ， 有 些 未 知 量 往 往 是 由 观 测 值 ， 通 过 一 定 的函 数 关 系 间 接 计 算 出 来 的 。 例 如 ， 水 准 测 量 时 ，高 差 h=a（ 后 视 读 数 ） -b（ 前 视 读 数 ） ， h是 a、b的 函 数 。 又 如 坐 标 增 量 x=Scos， y=Ssin， x及 y是 距 离 S和 坐 标 方 位 角的 函 数 。o 由 于 直 接 观 测 值 有 误 差 ， 故 它 的 函 数 也 必 然 会 有误 差 。 研 究 观 测 值 函 数 的 精 度

3、 评 定 问 题 ， 实 质 上就 是 研 究 观 测 值 函 数 的 中 误 差 与 观 测 值 中 误 差 的关 系 问 题 。 这 种 关 系 又 称 误 差 传 播 定 律 。 （ 一 ） 倍 数 函 数 的 中 误 差 o 设 有 函 数 Z=KX o 用 X与 Z分 别 表 示 X和 Z的 真 误 差 ， 则 oZ+ Z=K（ X+ X） 即 Z=K X o 这 就 是 函 数 真 误 差 与 观 测 值 真 误 差 的 关 系 式 o 设 对 X进 行 了 n次 观 测 ， 则 有o Z1=K X1o Z2= K X2o o ZN= K XNo 得 2Z1=K2 2X1o 2Z2

4、=K2 2X2o o 2ZN=K2 2XNo 2 Z=K2 2X o 按 中 误 差 定 义 ， 上 式 可 表 示 为 m2Z=K2m2Xo 或 mZ=KmX o 可 见 ， 倍 数 函 数 的 中 误 差 等 于 倍 数 （ 常 数 ） 与 观测 值 中 误 差 的 乘 积 。 o 用 比 例 尺 在 1： 1000的 图 上 量 得 长 度L=168 mm， 并 已 知 其 中 误 差 mi= 0.2 mm， 求 相 应 地 面 上 的 水 平 距 离 S及 中 误差 mS。 o 解 ： 相 应 地 面 上 的 水 平 距 离oS=1000L=168 mo 中 误 差omS=1000mi

5、= 0.2 mo 最 后 写 成oS=168 0.2 m （ 二 ） 和 、 差 函 数 的 中 误 差 o 设 有 函 数 Z=X+Y和 Z=Z-Y， 即 Z=X Y o X、 Y为 独 立 观 测 值 ， 所 谓 “ 独 立 ” ， 是 指观 测 值 之 间 相 互 无 影 响 ， 即 任 何 一 个 观 测值 产 生 的 误 差 ， 都 不 影 响 其 他 观 测 值 误 差的 大 小 。 一 般 来 说 ， 直 接 观 测 的 值 就 是 独立 观 测 值 。o 令 函 数 Z及 X、 Y的 真 误 差 分 别 为 Z、 X、 Y。 显 然o Z+ Z=（ X X） （ Y+ Y） 和

6、 差 函 数 的 中 误 差o Z= X Y o 观 测 n次 ， 则 有o Z1= X1 Y1o Z2= X2 Y2o o Zn= Xn Yno 将 上 列 各 式 两 边 平 方 并 求 和 ， 得o 2Z= 2X+ 2Y 2 X Y 例 题 例 题 习 题 1：o 如 图 所 示 的 测 站 点 O， 观 测 了 、 、 三 个 角 度 ，已 知 它 们 的 中 误 差 分 别 为 12、 24、 24秒 ， 求 由 此 而 得 圆 周 角 不 符 值 的 中 误 差 。 如 果用 方 向 观 测 法 观 测 了 这 三 个 角 且 测 角 中 误 差 为12秒 ， 请 问 计 算 角

7、的 中 误 差 是 多 少 ？ （ 三 ） 线 性 函 数 中 误 差o 设 有 函 数o Z= K1 x1 K2 x2 Kn xn o 式 中 K1、 K2、 、 Kn为 常 数 ； x1、 x2、 xn均 为 独立 观 测 值 ， 它 们 的 中 误 差 分 别 为 m1、 m2、 、 mn o 函 数 Z与 各 观 测 值 x1、 x2、 、 xn的 真 误 差 关 系 式 为o 根 据 中 误 差 的 定 义 公 式 可 得 ： xnnxx kkkz 2211 22222221212 nnz mkmkmkm 例 题 ：o 例 4： 对 某 一 直 线 作 等 精 度 观 测 。 往 测

8、 距 离 为 L1，返 测 距 离 为 L2， 其 中 误 差 均 为 m。 求 该 直 线 的 最后 结 果 及 其 中 误 差 。o 解 ； 最 后 结 果 L为o 设 L的 中 误 差 为 mL， 有o 即 2 21 LLL 2222 214141 mmmmL 2mmL （ 四 ） 一 般 函 数 的 中 误 差o 设 有 一 般 函 数o Z=f（ X1， X2， ， Xn） ； 式 中 ， X1， X2， ， Xn为 具 有 中误 差 ， mX1， mX2， ， mXn的 独 立 观 测 值 。 各 观 测 值 的 真 误差 分 别 为 X1、 X2、 、 Xn， 其 函 数 Z也

9、将 产 生 真 误 差 z.。o )取 全 微 分 ,得 o 则 有o 式 中 ， ， ， 为 函 数 对 各 个 变 量 所 取 得 的 偏 导 数 o 则 函 数 的 中 误 差 为 ：o 或 者 ： nn dXXfdXXfdXXfdz .2211 nnXfXfXf .22111Xf 2Xf nXf， ， 22222221212 )(.)()( xnnxxz mXfmXfmXfm 22222221 )()()( 21 nmfmfmfm nz 例 题o 设 沿 倾 斜 地 面 丈 量 A、 B两 点 ， 得 倾 斜 距 离 L=29.992 m， 测得 A、 B两 点 间 高 差 h=2.0

10、5m， 若 测 量 L、 h的 中 误 差 分 别 为 0.003 m和 0.05 m， 求 水 平 距 离 S及 其 中 误 差 ms。 o 解 ： 水 平 距 离 为o 水 平 距 离 的 中 误 差 为o 式 中o 则 有 ： 922.2905.2992.29 2222 hLs 22222 hLs mhSmLSm 0685.02121 2222 SLhL LLhLLS 0023.1)2(121 2222 ShhL hhhLhS mmS 005.0)05.00685.0()003.00023.1( 22 （ 五 ） 若 干 独 立 误 差 综 合 影 响 的 中 误 差 o 一 个 观 测

11、 值 的 中 误 差 ， 往 往 受 许 多 独 立 误 差 的 综 合影 响 。 例 如 ， 经 纬 仪 观 测 一 个 方 向 时 ， 就 受 目 标 偏心 、 仪 器 偏 心 （ 仪 器 未 真 正 对 中 ） 、 照 准 、 读 数 等误 差 的 综 合 影 响 。 这 些 独 立 误 差 都 属 于 偶 然 误 差 。可 以 认 为 各 独 立 真 误 差 1、 2、 、 n的 代 数 和就 是 综 合 影 响 的 真 误 差 F， o F= 1+ 2+ n 例 题 ：o已 知 使 用 某 一 经 纬 仪 观 测 一 个 方 向 的读 数 中 误 差 为 10 ， 照 准 中 误 差 为 3 ， 对 中 中 误 差 为 5 ， 目 标 偏心 中 误 差 为 15 ， 求 这 些 独 立 中 误差 对 观 测 一 个 方 向 的 综 合 影 响 mF。 o解 ： 91155310 2222 Fm