无穷大与无穷小

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1、 一 、 无 穷 小 0 x 时定 义 1： 在 自 变 量 的 某 种 趋 势 下 ， 以 零 为 极 限的 函 数 （ 变 量 ） 称 为 无 穷 小 量 ， 简 称 无 穷 小 .例 如 ：2, sin , tan , 1 cos , tan sinx x x x x x 21 , , arctan2xe xx .是 无 穷 小 量x时 是 无 穷 小 量 . Remark:（ 1） 无 穷 小 是 变 量 ,不 能 与 很 小 的 数 混 淆 ;（ 3） 零 是 可 以 作 为 无 穷 小 的 唯 一 的 数 .（ 2） 无 穷 小 是 变 量 的 一 种 变 化 趋 势 ; 例 如

2、,1 1lim 0,1x xx 1 1 .1x xx 函 数 是 当 时 的 无 穷 小,01lim xx .1 时 的 无 穷 小是 当函 数 xx,0)1(lim n nn .)1( 时 的 无 穷 小是 当数 列 nn n 10lim 0 xx e 10lim 0.xx e 例 1、 证 明证 0 1xe 要 使 1 lnx 只 要1ln 取1 0 ,ln x 当 时 1xe 有10lim 0 xx e 1lnx 只 要 2、 无 穷 小 与 函 数 极 限 的 关 系 :证 必 要 性 ,)(lim0 Axfxx 设 ,)()( Axfx 令 0lim ( ) 0,x x x 易 有

3、( ) ( ).f x A x 且充 分 性 ),()( xAxf 设 ,)( 0时 的 无 穷 小是 当其 中 xxx )(lim)(lim 00 xAxf xxxx 则 )(lim0 xA xx .A 意 义将 一 般 极 限 问 题 转 化 为 特 殊 极 限 问 题 (无 穷 小 ); 3、 无 穷 小 的 运 算 性 质 :定 理 2 在 同 一 过 程 中 , 有 限 个 无 穷 小 的 代 数 和 仍 是 无 穷 小 .注 意 无 穷 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 未 必 是 无 穷 小 . 3 3 31 2limn nn n n 例 如 , 2 2 21 2limn nn

4、 n n 定 理 3 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .证 (不 证 ) 0 1( ) ( , )ou x N x 设 函 数 在 内 有 界 ，0 10 0 ( ) .M x x u x M 则 ,当 时 ,恒 有0( ) ,x x x 又 设 是 当 时 的 无 穷 小 2 0 20 0 0 ( ) .x x x M , ,当 时 ,恒 有,min 21 取 恒 有时则 当 ,0 0 xx( ) ( ) ( ) ( )u x x u x x MM ,0 , ( ) ( ) .x x u x x 当 时 为 无 穷 小 推 论 1 在 同 一 过 程 中 , 有

5、极 限 的 变 量 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .推 论 2 常 数 （ 有 界 量 ） 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .推 论 3 有 限 个 无 穷 小 的 乘 积 也 是 无 穷 小 ., 0 x例 如 当 时 都 是 无 穷 小1sinx x 2 1, arctanx x 二 、 无 穷 大 1lim tan 2x x ，lim ln , x x 特 殊 情 形 ： 正 无 穷 大 ， 负 无 穷 大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xxx xx 或 0 1limx x ， lim xx e 2limx x 0lim lnx x 0l

6、im cot ,x x 10lim xx e 注 意（ 1） 无 穷 大 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;（ 3） 无 穷 大 是 一 种 特 殊 的 无 界 变 量 , .)(lim2 0 认 为 极 限 存 在） 切 勿 将（ xfxx 1 10 sinx y x x 例 如 ,当 时 ,是 无 界 变 量 ，但 不 是 无 穷 大 量 但 是 无 界 变 量 未 必 是 无 穷 大 (思 考 ) xxy 1sin11 1, 0 , sinx y x x 分 析 当 时 1(1) 0( )2 2kx kk 取 ,22)( kxy k .)(, Mxyk k 充 分 大

7、时当 1(2) 0( )2 kx kk 取 kkxy k 2sin2)(但 .0 M不 是 无 穷 大 无 界 ， 0lim ln .x x 例 2、 证 明证 0M ln x M要 使 Mx e只 要Me 若 取0 Mx e 当 时 ln x M有0lim ln .x x 10lim .xx e 例 3、 证 明证 1M 1 ,xe M要 使 1 ln ,Mx 只 要1 ,ln M 取10 ,lnx M 当 时 1xe M有10lim .xx e 1lnx M只 要 lim ( )x a f x 若 lim ( ) x f x A 若 lim ( )x a f x 或 ( )x a y f

8、x 称 直 线 为 曲 线 的 垂 直 渐 近 线 , lim ( ) ,x a f x 或 , lim ( )x a f x 或, lim ( ) x f x A 或 ( )y A y f x 称 直 线 为 曲 线 的 水 平 渐 近 线 2.渐 近 线 三 、 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系定 理 4 在 同 一 过 程 中 ,无 穷 大 的 倒 数 为 无 穷 小 ; 恒 不 为 零 的 无 穷 小 的 倒 数 为 无 穷 大 .证 （ 不 证 ） .)(lim0 xfxx设 00, 0, 0 x x 使 得 当 时.)(1 xf即 .)(1,0 为 无 穷 小时当 xfxx

9、1( )f x 恒 有 .0)(,0)(lim, 0 xfxfxx 且设反 之 ,1)( 0,0,0 0Mxf xxM 恒 有 时使 得 当 .)(1 Mxf 从 而.)(1,0 为 无 穷 大时当 xfxx ,0)( xf由 于意 义 关 于 无 穷 大 的 讨 论 , 都 可 归 结 为 关 于 无 穷 小 的 讨 论 . 四 、 无 穷 小 的 阶 及 其 比 较例 如 , xxx 3lim 20 xxx sinlim0 20limx xx .1sin,sin,0 22 都 是 无 穷 小时当 xxxxxx 极 限 不 同 , 反 映 了 趋 向 于 零 的 “ 快 慢 ” 程 度 不同

10、 . ;32 要 快 得 多比 xx ;sin 大 致 相 同与 xx,0 ,1观察各极限型 ）（ 00 ( )(1) lim 0( )xx 如 果 ，定 义 : ( ), ( ) , ( ) 0.x x x 设 是 中 的 两 个 无 穷 小 且同 一 过 程( )(2) lim 0( )x Cx 如 果 1, ( ) ( )C x x 如 果 称 与 是 等 价 无 穷 小 ；( ) ( )x x 低称 是 的 阶 无 穷 小 ；( ) ( )x x 高称 是 的 阶 无 穷 小 ；( ) ( ( )x o x 记 作 ： ； ( ) ( )x x 同称 与 是 阶 无 穷 小 ；( )

11、( ( )x O x 记 作 ： ( ) ( )x x 记 作 ： ； ( )(3) lim 0, 0, ( )kx C kx 如 果 (0 )x xx 通 常 ， 当 时 ， 取 为 标 准 无 穷 小 ；( .) x kx 的 阶是 无 穷 小称 ( ) ( )x x ax a 当 时 ， 取 为 标 准 无 穷 小 ；1( )x x x 当 时 ， 取 为 标 准 无 穷 小 ；( ) ( )x x k 若 是 标 准 无 穷 小 的 阶 无 穷 小 ， ( )x kx在 自 变 量 的 这 种 趋 势 下 阶称 ： ， 是 无 穷 小 。 ，03lim 20 xxx ，1sinlim0

12、 xxx 20 3 ;x x x 当 时 ， 是 的 高 阶 的 无 穷 小 ).0()3(2 xxox即 是 等 价 无 穷 小与时 ，当 xxx sin0 ).0(sin xxx即例 如 ， 0 sin 1x x也 称 ： 当 时 ， 是 阶 无 穷 小 。20 ;x x明 显 ， 当 时 ， 是 两 阶 的 无 穷 小 例 4 .sintan,0: 的 三 阶 无 穷 小为时当证 明 xxxx 解 30 sintanlim x xxx )cos1sincos1(lim 20 x xxxxx ,21.sintan 的 三 阶 无 穷 小为 xxx 2000 cos1limsinlimcos

13、1lim x xxxx xxx 230 sinx x x练 习 ： 1.当 时 ， 试 确 定 的 阶 .0 1-cosx x2.当 时 ， 试 确 定 的 阶 .2 20 1nx x x n Z 3.当 时 ， 比 较 -1与 的 阶 ( ).？ ？ ？ 是 不 是 任 意 两 个 无 穷 小 都 可 以进 行 阶 的 比 较,1)( xxf xxxg sin)( )( )(lim xf xgx xx sinlim 不 存 在 且 不 为 无 穷 大x时 的 无 穷 小 ( .2 )o 与 是 等 价 无 穷 小 的 充 要 条 件 为 定 理证 必 要 性 ，设 1limlim ，0 ，

14、即 )()( oo充 分 性 设 )( o )(limlim o ）（ )(lim o ，1 称 是 的 主 要 部 分 意 义 ： 用 等 价 无 穷 小 可 给 出 函 数 的 近 似 表 达 式 例 如 , ),(sin xoxx ).(21cos1 22 xoxx ,0时当 x xy cos1221y xsin ,x x 2121 cos x x 常 用 等 价 无 穷 小 :,0时当 x sin tanx x x arcsin arctanx x ln(1 ) 1xx e (1 ) 1 axa 211 cos 2x x 例 5解 sin 1 12 cosx x 1 tan 1 sin

15、 0 x x x 求 无 穷 小 量 的 阶 1 tan 1 sin1 tan 1 sin 1 tan 1 sinx xx x x x tan sin 2x x sin x x 1无 穷 小 量 为 阶 无 穷 小 量 。 五 、 等 价 无 穷 小 代 换定 理 3(等 价 无 穷 小 代 换 定 理 ) .limlim,lim, 则存 在且设证 lim )lim( limlimlim .lim lim ( ) ( ) ( ) ( ),x f x x x .若 存 在推 ，论 1 ( ) ( ), ( ) ( ),x x x x .若推 论 2 lim ( ) ( )x f x则 也 存 在

16、 ，lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x f x x f x 且 ( )lim ( )( )x f xx且 存 在 ，( )lim ( )( )x f xx则 也 存 在 ， ( ) ( )lim ( ) lim ( )( ) ( )x xf x f xx x 且 例 6 .cos1 2tanlim 20 xxx 求解 .22tan,21cos1,0 2 xxxxx 时当 220 21 )2(lim xxx原 式 .8若 未 定 式 的 分 子 或 分 母 为 若 干 个 因 子 的 乘 积 ， 则可 对 其 中 的 任 意 一 个 或 几 个 无 穷 小 因 子 作 等 价 无穷

17、 小 代 换 ， 而 不 会 改 变 原 式 的 极 限 0 1 coslim 1 cosx xx 练 习 ： 1 cos1 cos , 01 cosxx xx 解 ： 当 时 ：21 11 cos ,1 cos 2 2x x x x 0 1 coslim 1 cosx xx 20 12lim 1(1 cos ) 2x x x x 0 1 coslim (1 cos )(1 cos )x xx x 0lim 01 cosx x x 不 能 滥 用 等 价 无 穷 小 代 换 .只 可 对 函 数 的 因 子 作 等 价 无 穷 小 代 换 ，对 于 代 数 和 中 各 无 穷 小 一 般 不

18、能 分 别 代 换 .注 意 例 7 30 tan sinlim .sinx x xx 求解 ,0时当 x )cos1(tansintan xxxx ,21 3xsin ,x x 330 12lim ( )x xx原 式 1 .2 加减法中一般不用等价无穷小代换 小 结 小 结1、 主 要 内 容 : 定 义 ;关 系 ;运 算 性 质 .2、 几 点 注 意 :无 穷 小 与 无 穷 大 是 相 对 于 过 程 而 言 的 .（ 1） 无 穷 小 （ 大 ） 是 变 量 ,不 能 与 很 小 （ 大 ） 的 数 混 淆 ， 零 是 唯 一 的 无 穷 小 的 数 ；（ 2） 无 穷 多 个

19、无 穷 小 的 代 数 和 （ 乘 积 ） 未 必 是 无 穷 小 ；（ 3） 无 界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . 3、 无 穷 小 的 比 较反 映 了 同 一 过 程 中 , 两 无 穷 小 趋 于 零 的 速 度 快 慢 , 但 并 不 是 所 有 的 无 穷 小 都 可 进 行 比 较 .4、 等 价 无 穷 小 的 代 换 :求 极 限 的 又 一 种 方 法 , 注 意 适 用 条 件 .高 (低 )阶 无 穷 小 ; 等 价 无 穷 小 ; 无 穷 小 的 阶 . 作 业 P58: 3. 4. 5. 20 1 1 0 lim ( )cos 0 xx xe x 练 习 .求 型 0. lim(cos ) (1 )xx x 练 习 求 型解 ： 原 式 = 220lim 1 1 cosxxx e x 2 20 2lim 02x x xx