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1、 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!10.4 二项式定理一、明确复习目标1.正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式2.会区分项的系数与项的二项式系数 3.掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用4.熟练掌握二项式定理的基本问题通项公式及其应用二建构知识网络1二项式定理：，叫展开式的通项,是第r+1项. 特例:2二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，,注意和系数的区别. （1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴.（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值。（3）各二项式系数和：由，令，得 令x=1
2、,得3.二项式定理应用:(1)求常数项、有理项和系数最大等特定的项; (2)求和,证整除性;(3)近似计算,(1+a)n1+na, (当|a|非常小时);(4)二项式定理给出了一种计算方法,要注意在其它数学问题,如函数、数列、不等式中的应用。三、双基题目练练手1.（2006重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ( )A.540 B.162 C.162 D.5402已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则a0+a1+a2+a9等于（ ）A.29 B.49 C.39 D.13.(2006山东)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 (
3、)A.B.C.D.4.（2006浙江）若多项式,则a9等于 ( )(A)9 (B)10 (C)9 (D)105(2005辽宁)的展开式中常数项是 . 6.(2005湖北)的展开式中整理后的常数项为 . 7.在的二项展开式中,含的奇次幂的项之和为,当时, 等于_;8(2005湖南)在（1x）（1x）2（1x）6的展开式中，x 2项的系数是.（用数字作答）9(2005天津)设,则 . 10. 设 (+x) 10 a0 + a1 x + a2 x 2 + + a10 x 10，则 (a0 + a2 + a4 + + a10) 2(a1 + a3 + a5 + + a9) 2 的值为 练习简答: 1-
4、4.ABDD; 2.x的奇数次方的系数都是负值，只需赋值x=1; 4.= ;5. 160; 6. ; 7. ; 8. 35; 9. ; 10:设 f (x) (+x) 10 ，则(a0 + a2 + a4 + + a10) 2(a1 + a3 + a5 + + a9) 2 (a0 + a2 + + a10) +(a1 + a3 + + a9) (a0 + a2 + + a10)(a1 + a3 + + a9) f (1) f (1) (+1)10 (1) 101四、经典例题做一做【例1】求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数解：依题意：，为3和2的倍数，即为6的倍数，又，构成首项为0，公差为
5、6，末项为96的等差数列，由得，故系数为有理数的项共有17项提炼方法：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征【例2】设an=1+q+q2+q（nN*，q1），An=Ca1+Ca2+Can（1）用q和n表示An；（2）当3q1时，求解：（1）因为q1，所以an=1+q+q2+q=于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n（2）=1（）n因为3q1，且q1，所以0| |1所以=【例3】在二项式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求的范
6、围.解：（1）设T=C（axm）12r（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr为常数项，则有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5项.（2）第5项又是系数最大的项，有Ca8b4Ca9b3， Ca8b4Ca7b5. 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即.由得，.【例4】己知（1）（2）证明：（1）同理（2）由二项式定理有因此。【研讨.欣赏】求证：2（1+）n3（n2，nN*）.证明：（1+）n=C+C +C（）2+C（）n=1+1+C+C+C=2+2+2+=2+=3（）2.所以2（1+）n3.五提炼总结以为师1.正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展
7、开式.2.注意区分项的系数与项的二项式系数. 3.注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.同步练习 10.4 二项式定理 【选择题】 1.(2006湖北)在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有（ ）A3项 B4项 C5项 D6项 2.(2005重庆)若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，则n等于（ ）A4B6C8D103.(2005江苏)设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是( )A10B40C50D804.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯
8、不亮的可能性的种数为 ( )A.20 B.219C.220D.2201【填空题】5.（2006北京）在的展开式中，的系数是_（用数字作答）.6.(2005山东)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是_7.(2005浙江)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是_8. (2005广东)已知的展开式中的系数与的展开式中x3的系数相等，则= . 练习简答：1-4.CBCD; 4.C+C+C=2201; 5. 14; 6.21; 7.121; 8.【解答题】9.求式子（x+2）3的展开式中的常数项解法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常
9、数项的情况有：三个括号中全取2，得（2）3；一个括号取x，一个括号取，一个括号取2，得CC（2）=12，常数项为（2）3+（12）=20解法二：（|x|+2）3=（）6,设第r+1项为常数项，则T=C（1）r（）r|x|=（1）6C|x|，得62r=0，r=3. T3+1=（1）3C=2010.如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2=1+，得n=8.设第r+1项为有理项，T=Cx，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=x，T9=.11.求展开式中系数最大的项解：设第项系数最大，则有，即又故系数最大
10、项为点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项，的二项式系数相等且为最大12. 已知1m（1+n）m.证法一：由二项式定理（1+m）n=Cm0+Cm1+Cmn，（1+n）m=Cn0+Cn1+C，又因为C=，C=，而AmiA，所以Cm2C，CCn3，CC.又因为C=C，C=C，所以（1+m）n（1+n）m.证法二：（1+m）n（1+n）mnln（1+m）mln（1+n）. 令f（x）=，x2，+，只要证f（x）在2，+上单调递减，只要证f （x）0.f （x）=.当x2时，xlg（1+x）0，得f （x）0，即x2,+时，f （x）（1+n）m.【探索题】已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列. （1）求和： （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. （3）设q1，Sn是等比数列的前n项和，求： .解：（1）（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为a1，公比为q的等比数列，则（3）因为 感谢阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!
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