高考试题数学理北京卷版高中数学

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1、02X年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类)(北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页,第卷至9页，共10分。考试时间20分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷(选择题 共0分）注意事项： 1答第I卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 .每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8小题，每小题分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。.在复平面内，复数对应的点位于 第一

2、象限 B.第二象限 .第三象限 D.第四象限2已知向量不共线,如果，那么 A.且与同向 B.且与反向 C且与同向 D且与反向3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 A向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度4.若正四棱柱的底面边长为1，与底面成0角，则到底面的距离为 B1 . D.“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 充分必要条件 D既不充分也不必要条件若为有理数）,则 A5 B5 C70 D807用到9这10个数字,可

3、以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 .3 B28 C360 D.648点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 A直线上的所有点都是“点” .直线上仅有有限个点是“点” .直线上的所有点都不是“点” .直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 202年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类)（北京卷)第卷（共10分)注意事项:1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分1511781920分数二、填空题:本大题共6小题，每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。9_。w.ww.k.s.5.u

4、.om 10.若实数满足则的最小值为_。1设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为_。椭圆的焦点为，点在椭圆上,若,则_；的小大为_。13若函数 则不等式的解集为_。1.已知数列满足：则_;=_。ww.k.5u.o.m 三 、解答题:本大题共小题，共8分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.（本小题共分) 在中,角的对边分别为,。(I）求的值；(）求的面积。.w.s5.uc.o.m 16(本小题共4分) 如图,在三棱锥中,底面，点，分别在棱上,且（I）求证：平面；（）当为的中点时,求与平面所成的角的大小;()是否存在点使得二面角为直二面角?并说 明理由。

5、1.（本小题共13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2mi。(）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.ww.su.co.m (）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。1（本小题共3分)设函数(I）求曲线在点处的切线方程;(）求函数的单调区间;()若函数在区间内单调递增,求的取值范围。.w.k.s.5.u.c.om 19.(本小题共分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为(I）求双曲线的方程；（)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.

6、k.s.5u.c.o. 20（本小题共1分） 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。（I)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由；（）证明：，且（)证明:当时,成等比数列。ww.s5u. 答案解析在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A.第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ，复数所对应的点为,故选B.2已知向量a、b不共线,bR),dab,如果cd，那么 ( ） A且与同向 B.且c与反向 且c与d同向 D.且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法

7、 属于基础知识、基本运算的考查. 取，b,若，则cab,db, 显然,a与b不平行，排除A、B 若,则c，db，即cd且c与d反向，排除,故选D.3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 （ ) A向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度 B向右平移3个单位长度,再向上平移个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【答案】【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查 .wk.s.5.u.o.m ,B,C，D.故应选.4若正四棱柱的底面边长为1，与底面成角，则到底面的距离为 （ ） A. B .

8、 D.【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图)属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，,如图，故选D.5.“”是“”的 （ ） A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时,ww.w.ks.5.o.m 反之，当时,有, 或，故应选.6.若为有理数）,则 w.wks.5.c.o.m ( ） .4 55 C70 D.8【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基

9、础知识、基本运算的考查. ，w.ww.k.5.u.c.o.m 由已知,得,故选C.7.用0到这1个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） .324 B328 .360 D.48【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查 首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时，有(个）， 当0不排在末位时，有(个)， 于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有（个).故选B8点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点,且，则称点为“点”,那么下列结论中正确的是 ( ) 直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C.直线上

10、的所有点都不是“点” D.直线上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型 本题采作数形结合法易于求解，如图，设，则,(第8题解答图）消去n,整理得关于x的方程 (）恒成立,方程()恒有实数解,应选0年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）(北京卷）第卷(共10分）注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分1567181分数二、填空题:本大题共6小题，每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。._.W【答案】【解析

11、】本题主要考极限的基本运算,其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查 ，故应填.10若实数满足则的最小值为_.【答案】【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当时,为最小值.故应填(第1题解答图）11设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_【答案】【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算的考查.取，如图，采用数形结合法，易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.12椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_;的小大为_. （第11题解答图）【答案】 【解析】本题主要考查椭圆的

12、定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理 属于基础知识、基本运算的考查. ，,又, (第12题解答图)，又由余弦定理，得,故应填 w.w.w.k.s.5.u.om 13.若函数 则不等式的解集为_.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. （1)由. (2)由. 不等式的解集为,应填.4已知数列满足：则_；=_.【答案】,0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得, 应填，0.三、解答题：本大题共6小题，共0分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15（本小题共1分） 在中,角的对边分别为,.w.w.w

13、.k.5u.c.o.m (）求的值;()求的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识,主要考查基本运算能力（）A、B、C为BC的内角,且，. （）由(）知，ww.w.s.5.u.c.o. 又，在ABC中，由正弦定理，得ABC的面积.w.k.s.uco. 1.(本小题共14分） 如图,在三棱锥中,底面,点，分别在棱上，且 w.wk.5u.o.m (）求证:平面；()当为的中点时，求与平面所成的角的大小；(）是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运

14、算能力和推理论证能力.()PA底面AB，PABC.又，ACBC.平面PC.（)D为PB的中点,DE/C,又由()知，C平面AC,DE平面PC,垂足为点E.AE是A与平面PAC所成的角，PA底面ABC,PAAB，又PAB，BP为等腰直角三角形,，在RtBC中，在tADE中,与平面所成的角的大小.(）AE/C,又由（）知，B平面PAC,D平面PAC,又E平面PAC,P平面PC,DEA，DEE,EP为二面角的平面角，A底面BC,AC,w.w.w.s.5.c.m 在棱PC上存在一点E,使得AEPC,这时，故存在点E使得二面角是直二面角【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设,由已知可得 .

15、 （),w.w.s5.c.o.m ，BA.又，BCC，BC平面AC.（)D为PB的中点,E/C，E为P的中点，又由(）知,BC平面P，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是D与平面PA所成的角，与平面所成的角的大小()同解法1.17.（本小题共3分）某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2n.（)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;ww.w.k.s.5.c.o.m （)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变

16、量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力（)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为()由题意，可得可能取的值为0，,6,8（单位：m）. .wk.5u.o.m 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2，,4），w.wwk.s.5.u.o.m 即的分布列是024的期望是8.(本小题共3分)设函数(）求曲线在点处的切线方程;（）求函数的单调区间;.ww.ks.5.u.m (）若函数在区间内单调递增,求的取值范围.w.w.k.s.5.u.c

17、.m 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.(), 曲线在点处的切线方程为.(）由,得, 若,则当时,，函数单调递减， 当时,函数单调递增,.w.w.k.s.5.uc.om 若，则当时,，函数单调递增, 当时,，函数单调递减，ww.w.k.5.u.o.m (）由（）知，若,则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当,即时，函数内单调递增,w.w.wk.s.5.u.m 综上可知，函数内单调递增时,的取值范围是19.（本小题共14分）已知双曲线的离心率为,右准线方程为（)求双曲线的方程;(）设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于

18、不同的两点,证明的大小为定值w.k.s5.c.o 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.（)由题意，得，解得，w.w.w.k.5.c.o. ,所求双曲线的方程为.（）点在圆上，w.w.w.s.5.u.c.o.m 圆在点处的切线方程为，化简得. w.w.k.5u.co.m 由及得,切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,，且，w.w.k.5u.c. 设A、两点的坐标分别为，则,.w.w.s5.u.c.o.m ,且, w.w.w.ks.u.c.o.m 的大小为w.k.s5.u.co.m 【解法】（)同解法(

19、）点在圆上，w.w.s.5.u.c.o.m 圆在点处的切线方程为,化简得由及得w.w.w.5u.c.m 切线与双曲线交于不同的两点A、B,且,设A、B两点的坐标分别为,则,w.w.k.s5.uco.m ,的大小为.k.s.5u.c.o. （且，,从而当时,方程和方程的判别式均大于零).20（本小题共13分) 已知数集具有性质;对任意的，与两数中至少有一个属于. w.w.s.5.o.m （)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；()证明：，且；（）证明：当时,成等比数列ks.5. w.w.wk.s.5.u.co 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（)由于与均不属于数集,该数集不具有性质P. 由于都属于数集， 该数集具有性质P. （)具有性质,与中至少有一个属于A,由于，故.w.w.s.5.u.co. 从而，.w.ww.k.s5.u.c.m ， ，故. 由A具有性质P可知又，.w.k.s.5.u.c.o 从而，. wwwk.s.5u.c.o.m ()由()知，当时，有，即， ,，,由A具有性质P可知. .wk.u.c.o.m 由，得，且，即是首项为，公比为成等比数列.k.s5.