信号与系统零输入响应和零状态响应

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1、信号与系统 信号与系统起始状态与激励源的等效转换在 一 定 条 件 下 ， 激 励 源 与 起 始 状 态 之 间 可 以 等 效 转 换 。 即 可 以 将 原 始储 能 看 作 是 激 励 源 。 信号与系统 也 称 固 有 响 应 ， 对 应 于 齐 次 解 。 由 系 统 本 身 特 性 决 定 ， 与 外 加 激 励 形 式 无 关 ， 但 与 起 始 点 点 跳 变 有 关 系 。 形 式 取 决 于 外 加 激 励 。 对 应 于 特 解 。 没 有 外 加 激 励 信 号 的 作 用 ， 只 由 起 始 状 态 （ 起 始 时 刻 系 统 储 能 ） 所 产 生 的 响 应 。

2、 不 考 虑 原 始 时 刻 系 统 储 能 的 作 用 （ 起 始 状 态 等 于零 ） ， 由 系 统 的 外 加 激 励 信 号 产 生 的 响 应 。 自 由 响 应 ：强 迫 响 应 ：零 输 入 响 应 ：零 状 态 响 应 ： 各种系统响应定义自 由 响 应 强 迫 响 应 (Natural+forced)零 输 入 响 应 零 状 态 响 应 (Zero-input+Zero-state) 信号与系统 系 统 零 输 入 响 应 ， 实 际 上 是 求 系 统 方 程 的 齐 次 解 ， 由 非 零 的系 统 起 始 状 态 值 决 定 的 初 始 值 求 出 待 定 系 数

3、。 零输入响应 nkcdtyddt tyda kknk kk ,2,1,0,)0(0)( zik0 zik 起 始 条 件 ：1( ) in tzi iiy t C e系 统 方 程 ：解 的 形 式 ：由 起 始 状 态 求 待 定 系 数 。 信号与系统 系 统 零 状 态 响 应 ， 是 在 激 励 作 用 下 求 系 统 方 程 的 非 齐 次 解 ， 由 起 始 状 态 值 为 零 决 定 的 初 始 值 求 出 待 定 系 数 。 零状态响应系 统 方 程 ：解 的 形 式 ： 齐 次 解 +特 解 nkdtyd dt txdbdt tyda kzx mk kknk kzsk ,2

4、,1,0,0)0( )()( k 0 k0 k 起 始 条 件 ： 1( ) ( )in ti piy t C e y t 由 初 始 条 件 求 待 定 系 数 ， 需 要 计 算 从 到 跳 变 ， 一 般 根 据 实 际的 工 程 问 题 的 物 理 关 系 求 跳 变 ， 也 可 以 作 为 一 个 纯 粹 的 数 字 问 题 求 解 。 。00 信号与系统 用 经 典 法 求 解 微 分 方 程 完 全 解 的 待 定 系 数 时 ， 作 为 一 个 数 学 问 题 ，所 需 要 的 初 始 条 件 常 常 为 一 组 已 知 的 数 据 ， 利 用 这 组 数 据 可 求 得 方

5、程 完 全 解中 的 各 项 系 数 iC iC 而 作 为 工 程 技 术 问 题 ， 一 般 激 励 都 是 从 时 刻 加 入 ， 系 统 的 响 应 时间 范 围 是 ， 则 系 统 的 初 始 条 件 要 根 据 系 统 的 原 始 内 部 储 能 和 激励 接 入 瞬 时 的 情 况 来 确 定 。 0t t0如 具 体 电 路 系 统 ， 根 据 如 下 条 件 从 起 始 条 件 求 初 始 条 件 )0()0( )0()0( LL CC ii uu 时 刻 等 效 电 路 0t 零状态响应 信号与系统【 例 2-2-6】 如 图 2-2-2所 示 的 电 路 ， 以 前 开

6、关 位 于 “ 1”， 已 进 入 稳 态 ， 时 刻 ， 与 同 时 自 “ 1”转 至 “ 2”， 求 输 出 电 压 的 零 输 入 响 应 、 零 状态 响 应 和 完 全 响 应 。 0t 0t1S 2S )(tu V10)0()0( CC uu A5)0()0( LL ii激 励 加 入 的 瞬 时 0t 信号与系统零输入响应 F1 H1)(tiL)(tuC )(tu2 ( )Lu t 零 输 入 等 效 电 路 0t0)()(dd2)(dd2 tututtut zizizi零 输 入 响 应 形 式 为列 写 电 路 的 微 分 方 程 为 ： tzitzizi tCCtu ee

7、)( 21 ( 0)t 信号与系统零 输 入 响 应 形 式 为 tzitzizi tCCtu ee)( 21 ( 0)t 其 中 ， 待 定 系 数 和 得 根 据 初 始 条 件 和 确 定 。 1ziC 2ziC )0( ziu )0(dd ziut时 刻 的 零 输 入 初 始 值 等 效 电 路 0t V10)0()0( CC uu A5)0()0( LL ii 零输入响应 信号与系统V10)0( ziu由 电 路 可 求 得 ：d d(0 ) (0 )d dzi Lu i Rt t (0 )d (0 ) 0d LL uit L d (0 ) 0V/sd ziut 信号与系统零 输

8、入 响 应 形 式 为 tzitzizi tCCtu ee)( 21 ( 0)t 初 始 条 件 V10)0( ziu d (0 ) 0V/sd ziut 可 求 得 零 输 入 响 应 为 ： ttzi ttu e10e10)( ( 0)t 零输入响应 信号与系统讨 论 ： 由 时 刻 的 电 路0t 可 计 算 (0 ) 10V= (0 ) zi ziu u d d(0 ) 0V/s= (0 )d dzi ziu ut t 在 零 输 入 的 情 况 下 ， 起 始 点 没有 跳 变 。 可 以 起 始 条 件 计 算 零 输入 响 应 。 不 用 计 算 初 始 条 件 。 零输入响应

9、信号与系统零状态响应零 状 态 响 应 ： 不 考 虑 系 统 起 始 储 能 ， 零 状 态 响 应 等 效 电 路 如 图 列 出 零 状 态 等 效 电 路 的 微 分 方 程 为 )(2)()(dd2)(dd 2 titututtut szizszs 其 中 ， ， ， 0)0( zsu 0)0(dd zsut )(3)( tutis 根 据 微 分 方 程 经 典 解 法 易 求 得 零 状 态 响 应 中 的 特 解 为 常 数 6 _ _ 1 2( ) ( ) ( ) e e 6t tzs zs h zs p zs zsu t u t u t C C t ( 0)t 信号与系统6

10、ee)( 21 tzstzszs tCCtu ( 0)t 零 状 态 响 应其 中 ， 待 定 系 数 和 得 根 据 初 始 条 件 和 确 定 。 1zsC 2zsC (0 )zsu d (0 )d zsut 时 刻 的 零 状 态 初 始 值 等 效 电 路 0t 0)0()0( CC uu 0)0()0( LL ii )0( zsu )0(dd zsut 零状态响应 信号与系统0)0()0( CC uu 0)0()0( LL iiV0)0( zsu求 得 初 始 条 件 为d d(0 ) (0 )d dzs Lu i Rt t (0 )d (0 ) 0d LL uit L d (0 )

11、 0V/sd zsut 信号与系统将 初 始 条 件 ， 代 入 零 状 态 响 应 形 式 V0)0( zsu d (0 ) 0V/sd zsut 6ee)( 21 tzstzszs tCCtu ( 0)t 解 得 ： ( ) ( ) ( ) (4e 4e 6) ( )t tzi zsu t u t u t t u t 讨 论 ： 本 例 中 零 状 态 响 应 的 初 始 条 件 与 起 始 条 件 相 同 ， 只 是 特 例 。另 一 例 子 ， 电 流 是 有 跳 变 的 。 所 以 零 状 态 响 应 一 定 要 用 初 始 条 件 计 算 。( )i t (0 ) 0i (0 )d

12、 (0 ) 1d Luit L (0 ) 0i d (0 ) 0d it 信号与系统讨 论 ：用 经 典 法 从 起 始 条 件 求 出 时 刻 的 初 始 条 件 的 过 程 往 往 比 较 复 杂 ， 需根 据 实 际 的 物 理 系 统 的 约 束 关 系 求 解 。 0t作 为 纯 粹 的 数 学 问 题 ， 也 可 从 起 始 条 件 求 出 时 刻 的 初 始 条 件 ， 有 兴 趣的 同 学 有 参 考 有 关 的 参 考 课 。 “ 微 分 方 程 冲 激 函 数 匹 配 原 理 判 断 时 刻 和 时 刻 状 态 的 变 化 ” 0t 0 0在 系 统 的 时 域 分 析 中

13、 ， 引 入 冲 激 响 应 后 ， 利 用 卷 积 积 分 求 系 统 的 零 状 态 响 应 比较 方 便 ， 它 绕 过 了 求 时 刻 的 初 始 条 件 的 步 骤 。 0t第 5章 还 将 介 绍 系 统 的 复 频 域 分 析 法 ， 利 用 复 频 域 分 析 法 求 解 系 统 响 应 ， 可 以自 动 代 入 时 刻 的 起 始 条 件 ， 从 而 更 方 便 地 求 得 零 输 入 响 应 、 零 状 态 响 应和 完 全 响 应 。 0t 信号与系统求 解 非 齐 次 微 分 方 程 是 比 较 烦 琐 的 工 作 ， 所 以 引 出 卷 积 积 分 法 。零状态响应

14、( ) ( ) ( )r t e t h t 系 统 的 零 状 态 响 应 =激 励 与 系 统 冲 激 响 应 的 卷 积 ， 即 信号与系统对系统线性的进一步认识由 常 系 数 微 分 方 程 描 述 的 系 统 在 下 述 意 义 上 是 线 性 的 。(1)响 应 可 分 解 为 ： 零 输 入 响 应 零 状 态 响 应 。(2)零 状 态 线 性 ： 当 起 始 状 态 为 零 时 ， 系 统 的 零 状 态 响 应 对 于 各 激 励 信 号 呈 线性 。(3)零 输 入 线 性 ： 当 激 励 为 零 时 ， 系 统 的 零 输 入 响 应 对 于 各 起 始 状 态 呈 线

15、 性 。 信号与系统(0 ) 1r (0 ) 0r ttzi eetr 21 )( (0 ) 0r (0 ) 1r ttzi eetr 22 22)( )()( 3 tuete t )()23()( 323 tueeetr tttzs 1)0(,2)0( rr 3( ) ( ) 3 ( )tx t t e u t 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )zs zi zs zi zir t r t r t r t r t r t 例 ： 二 阶 系 统 对， 的 起 始 状 态 1的 零 输 入 响 应 为 对 ， 的 起 始 状 态 2的 零 输 入 响 应 为 系 统 对

16、 激 励 的 零 状 态 响 就 为求 系 统 在 起 始 状 态 下 ， 对 激 励解 ： 的 完 全 响 应 。 对系统线性的进一步认识 信号与系统 31 zi zs( ) ( ) ( ) 2e sin(2 ) ( )tr t r t r t t u t 32 zi zs( ) ( ) 2 ( ) e 2sin(2 ) ( )tr t r t r t t u t 解 ： 对系统线性的进一步认识 信号与系统 3 zi zs 0( ) ( ) ( )r t r t r t t 03( )3 0 03e ( ) e sin(2 2 ) ( )t ttu t t t u t t 4 zi zs( ) 2 ( ) 0.5 ( )r t r t r t 3 32 3e ( ) 0.5 e sin(2 ) ( )t tu t t u t 解 得 3zi 1 2( ) 2 ( ) 2 ( ) 3e ( )tr t r t r t u t 3zs 1( ) ( ) ( ) e sin(2 ) ( )tzir t r t r t t u t 35.5e 0.5sin(2 ) ( )t t u t 对系统线性的进一步认识 信号与系统作 业 （ 13-4-02）P49 2-14(3) 2-16(1)