矩阵乘法的概念(苏教版)

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1、矩阵乘法的概念 回 忆 我 们 学 过 的 变 换 所 对 应 的 矩 阵 .恒 等 伸 压反 射旋 转 投 影切 变 1 00 1 k 00 1 1 00 k 1 0 1 0 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ， ， ， ，cos sinsin cos 01 01,10 00,00 011 1 0, 0 1 1k k 复 习 回 顾 2 00 1 xy 2: x x xT y y y 二 阶 矩 阵 与 平 面 列 向 量 的 乘 法 法 则 为 :0 11 0 12 011 1221 22 0 21 0 22 0 x a x a ya aa a y a x a

2、y 2xy 复 习 回 顾阅 读 教 材 P36 规 定 ： 矩 阵 乘 法 的 法 则 是 :a b e f c d g h ae bg af bhce dg cf dh 建 构 数 学 矩 阵 的 乘 法 的 几 何 意 义 ： 矩 阵 乘 法 MN的 几 何 意 义 为 ： 对 向 量 连 续实 施 的 两 次 几 何 变 换 (先 TN,后 TM)的 复 合 变 换 .建 构 数 学 当 连 续 对 向 量 实 施 n(n N*)次 变 换 TM时 ，记 作 ： Mn=MM Mn个 M 1 12 21 12 2 1 12 21 12 2 1 00 2 1 42 3 1 00 0 1 0

3、0 1 1 00 2 例 1、 (1)已 知 A= ,B=(2)已 知 A= ,B= (3)已 知 A= ,B= ,C=计 算 AB， AC; ,计 算 AB;,计 算 AB， BA;数 学 运 用阅 读 教 材 37页 阅 读 部 分 1、 在 矩 阵 的 乘 法 中 ， 一 般 情 况 下 ， AB BA2、 在 矩 阵 乘 法 中 ， AB=AC且 A0 B=C 在 矩 阵 的 乘 法 中 ， 不 满 足 交 换 律 ， 和 约 去 律 . 1 0 3 12 1 0 2 4 1 01 1 32 0 11 3 4 例 2、 求 矩 阵 A= 与 B= 的 乘 积 AB解 ： C=AB= 1

4、 0 3 12 1 0 2 4 1 01 1 32 0 11 3 4 1 4 0 ( 1) 1 1 0 1 1 0 0 33 2 ( 1) 1 3 0 ( 1) 3 3 1 ( 1) 4 2 4 1 ( 1) 2 1 1 1 2 0 1 30 2 2 1 0 0 2 3 0 1 2 4 9 2 19 9 11 数 学 运 用 BA=?AB有 意 义 ， 但 是 BA没 有 意 义 ， 故要 注 意 相 乘 顺 序 。 （ ABBA） 例 3、 已 知 梯 形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先 将 梯 形 作 关 于 x轴 的 反 射 变 换 ， 再 将 所

5、 得 图形 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 90度 ，求 连 续 两 次 变 换 所 对 应 的 变 换 矩 阵 M;数 学 运 用解 ： 关 于 x轴 的 反 射 变 换 矩 阵 A= 1 00 1 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 90度 的 变 换 矩 阵 B= 0 11 0 则 M=BA= 0 11 0 0 11 0 1 00 1 先 将 梯 形 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 90度 ， 再 将 所 得 图形 作 关 于 x轴 的 反 射 变 换 ,求 连 续 两 次 变 换 所 对应 的 变 换 矩 阵 M变 式 训 练 0 11 0M cos sin cos sinA ,Bsin

6、cos sin cos 若(1)求 AB， BA 并 对 其 几 何 意 义 给 予 解 释 。 (2)求 A2数 学 运 用例 4、(3)求 An cos2 sin2sin2 cos2 cos sinsin cosn nn n (1)从 上 述 问 题 中 ， 我 们 发 现 将 图 形 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 + 角的 旋 转 变 换 可 以 看 成 是 将 图 形 先 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 ， 再 绕原 点 逆 时 针 旋 转 角 这 两 个 变 换 复 合 而 成 .(2)在 数 学 中 ， 一 一 对 应 的 平 面 几 何 变 换 都 可 以 看 作 是 由

7、恒 等 ， 伸压 ， 反 射 ， 旋 转 ， 切 变 变 换 一 次 或 多 次 复 合 而 成 .而 恒 等 、 伸 压 、 反 射 、 切 变 等 变 换 通 常 叫 做 初 等 变 换 ， 对 应 的 矩阵 叫 初 等 变 换 矩 阵 .A,B AB 从 几 何 角 度 讲 ， 分 别 表 示 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 ， 角 的 旋 转变 换 矩 阵 ， 对 平 面 上 的 图 形 施 加 矩 阵 对 应 的 变 换 ， 相 当 于 将图 形 先 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 ， 再 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 角 ， 它 和对 图 形 绕 原 点 逆 时 针 旋 转

8、+ 角 的 旋 转 变 换 是 一 致 的 . 13 2l y x 例 、 已 知 直 线 ： 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 60 ， 并 将 所得 的 图 形 作 关 于 y轴 的 对 称 变 换 ， 求 变 换 后 的 直 线 方 程 .解 ： l 直 线 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 60 的 变 换 矩 阵 为 :1 3cos60 sin60 2 2A sin60 cos60 3 12 2 关 于 y轴 的 对 称 变 换 矩 阵 为 ： 1 00 1B 1 31 0 2 2M=BA= 0 1 3 12 2 则 1 3-2 2= 3 12 2 0 0 0P( , )P (x ,y

9、),x y l设 为 变 换 后 图 形 上 的 任 意 一 点 ， 对 应 直 线上 的 点 则 有001 3- xx 2 23 12 2 yy 0 00 01 3- x2 23 1x2 2x yy y 00 3x 232y xx yy 0 01x2y y (8 5 3)x 即 在 数 学 中 ， 一 一 对 应 的 平 面 几 何 变 换都 可 以 看 做 是 伸 压 、 反 射 、 旋 转 、 切 变 变换 的 一 次 或 多 次 复 合 ， 而 伸 压 、 反 射 、 旋转 、 切 变 等 变 换 通 常 叫 做 初 等 变 换 ， 对 应的 矩 阵 叫 做 初 等 变 换 矩 阵 。 本 节 小 结 1.熟 练 掌 握 二 阶 矩 阵 与 二 阶 矩 阵 的 乘 法 . 2.理 解 两 个 二 阶 矩 阵 相 乘 的 结 果 仍 然 是 一 个二 阶 矩 阵 ,从 几 何 变 换 角 度 看 ,它 表 示 的 原 来两 个 矩 阵 对 应 的 连 续 两 次 变 换 . 3.矩 阵 乘 法 MN的 几 何 意 义 为 对 向 量 连 续 实施 的 两 次 几 何 变 换 (先 TN,后 TM)的 复 合 变 换 . 课后思考：根据本节内容，能得出矩阵乘法具有那些运算性质？不具有那些运算性质？