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1、第三章 第八节 正弦定理和余弦定理应用举例题组一距 离问 题1一船自西向东航行,上午1时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的处,下午时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 （ )A.海里/时 B.34海里/时C海里/时 D.34海里/时解析:如图.由题意知MP=75+5=12，PNM=5.在PMN中,由正弦定理,得,M6=34.又由M到N所用时间为14-10=4小时,船的航行速度= （海里/时).答案：A.一船以每小时15 k的速度向东航行,船在处看到一灯塔M在北偏东60方向,行驶 h后，船到达B处,看到这个灯塔在北偏东5方向,这时船与灯塔的距离为_km.解析:如图,依题意有A
2、B=1460,MAB3，B=45，在M中，由正弦定理得=，解得BM30 .答案：30.如图所示，为了测量河对岸,两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出D=a和ACD60，C30,BDC=10,ADC60,试求AB的长解：在ACD中,已知D=a,ACD=60,AD60，所以C=a. 在BCD中,由正弦定理可得BC=a 在AC中，已经求得AC和B，又因为ACB=30,所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB=a.题组二高 度 问 题4据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后
3、,折成与地面成5角，树干也倾斜为与地面成5角，树干底部与树尖着地处相距2米,则折断点与树干底部的距离是 ( )A.米 B.10米 .米 D.20米解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为,折断点为,则AO=45,AOB=5,B=0.由正弦定理知,AO= (米)答案:A5.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30m,测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进10 m,又测得塔顶的仰角为4,则塔的高度为_.解析：如图,依题意有P=BA30,C=BC.在三角形BC中，由余弦定理可得cos2=,所以2=,4=,在三角形PCD中,可得P=Psin4=10=15（)答案：1m6某人在
4、山顶观察地面上相距 500 m的A、两个目标，测得目标在南偏西，俯角为0，同时测得B在南偏东7，俯角是45,求山高(设、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.m).解:画出示意图(如图所示)设山高PQ=h,则Q、PQ均为直角三角形，在图(1）中，PAQ=30，P=45.Q=，BQ=h.在图(2)中,QB=7+78=135，AB=2 0，所以由余弦定理得：B2=A+B2-2AQBQcosAQB,即2 5002=()2+h2h35=(4)h2，h94.4().答:山高约98.4 m.题组三角 度 问题7在B中，角、B、C所对的边分别为a,b，c,如果c=a，B0,那么角C等于 ()120 10
5、C.90 D解析：ca,sinC=sinA=sin(18030C)sin(30)=(sinC+coC)，即snC=coC.tanC=又C(0,180)，10答案：8如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( )A.锐角三角形 .直角三角形 钝角三角形 D由增加的长度决定解析:设增加同样的长度为，原三边长为、b、c，且ca2+,a+bc新的三角形的三边长为a、bx、+x，知c+x为最大边,其对应角最大而(a+x)2+(b+x)2-(c+）2x+2（ab-）x0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角,那么它为锐角三角形答案:A题组四正、余弦定理的综合应用9有
6、一山坡，坡角为，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成0角的小路前进一段路后,升高了1米，则此人行走的路程为 ( )A3m 4 m C.20 m D.200 m解析：如图，AD为山坡底线,AB为行走路线,BC垂直水平面则BC=100,BC=0,D30，B=200，ABD=400 米答案:B10线段A外有一点C,B=60，AB=200 km，汽车以8 /的速度由A向B行驶，同时摩托车以 kmh的速度由B向C行驶,则运动开始_后，两车的距离最小解析:如图所示:设t 后，汽车由A行驶到，摩托车由B行驶到E,则D80t,E=50t因为AB=200，所以D=2-80t，问题就是求E最小时t的值由余弦定
7、理:DE=BD+B2-2DBEcos60（200-80t)250t2-(20-8t)50t=12900t2-402X+000.当t=时最小答案:如图,扇形AO,圆心角等于60,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于O的直线和OA交于点，设OP=，求PO面积的最大值及此时的值.解：因为CO,所以COB=60,OC=10.在POC中，由正弦定理得=，所以Cin.又，O=sn(60-).因此PO的面积为S()=CPOCin120=sinsin(60)=sisin(60-)in(cos-n)=cos(2-)-，（0,0）所以当=时，S（)取得最大值为.1(2X宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示,根据要求AB至少长2. m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，CD=60,已知建造支架的材料每米的价格一定,问怎样设计A，D的长,可使建造这个支架的成本最低？解:设Cam（1.4)，Cbm,连接BD.则在D中,（b-)2=b2a2-2abc60.=.b+2=a.设ta-，t-1=04,则+2a2(t+1)=3t7,等号成立时t.504,=.，b=.答：当AB m，C=4 m时，建造这个支架的成本最低.
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