高三数学一轮复习必备第六章三角函数高中数学

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1、20X 届高三数学一轮复习必备精品：第六章第六章三角函数三角函数1了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切.掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及运用3.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sinxAy的简图,理解

2、、A、的物理意义.会由已知三角函数值求角，并会用符号rcnx,arcosx,rctanx 表示角.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题.三角部分的知识是每年高考中必考的内容,近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1.降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数图象和性质的考查尤其是三角函数的最大值与最小值、周期.以小题为主一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等.更加强调三角函数的工具性,加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角

3、形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识第第 1 课时课时任意角的三角函数任意角的三角函数基础过关基础过关知识网络知识网络高考导航高考导航任意角的三角函数三角函数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切ysinx,ycosx 的图象和性质ytanx 的图象和性质yAsin(x)的图象已知三角函数值求角考纲导读考纲导读一、一、角的概念的推广与角终边相同的角的集合为2与角终边互为反向延长线的角的集合为轴线角(终边在坐标轴上的角)终边在 x 轴上的角的集合为，终边在 y

4、轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为4象限角是指：5.区间角是指：弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角,它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：10=弧度，=弧度,1 弧度=.8弧长公式：l=；扇形面积公式:S.二、二、任意角的三角函数9.定义:设 P(,y)是角终边上任意一点，且|PO|=r,则 sin=;co；tan;三角函数的符号与角所在象限的关系:12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式y=xyytanx定义域值域13.三角函数线:在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线.例例 若是第二象限的角，试分别确定

5、 2,2,3的终边所在位置.+cosx,sinx,tanx,xyOxyOxyOxyO典型例题典型例题解解:是第二象限的角,k360+90k6+180（kZ）（1）2k36+18022k0+36（kZ），2是第三或第四象限的角,或角的终边在 y 轴的非正半轴上(2）0+45280+9(kZ），当 k2n（n)时,360+452n3+9;当 k2（nZ）时,302252n60+20.2是第一或第三象限的角.(）k120+3k260(）,当 k=3n(nZ)时,n60+303660；当=3n+1（nZ）时,n36+1503n60+180；当 k=3+2（nZ）时,n360+203n36+003是第一

6、或第二或第四象限的角变式训练：变式训练：已知是第三象限角,问3是哪个象限的角？解解:是第三象限角,18060270+k360（），60+12030k.当=3m(mZ)时,可得60+m360390m360（mZ）.故3的终边在第一象限.当 k=31(mZ)时，可得10+m36031m360(mZ）.故3的终边在第三象限.当 k=m+(mZ）时,可得00+m60333+m360(m）.故3的终边在第四象限.综上可知,3是第一、第三或第四象限的角例例.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:（1)si23;(2)cos21.解解:（)作直线 y=23交单位圆于、两点,连结 O

7、、B，则 OA 与 OB 围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为|2k+3k+32,Z.(2）作直线=21交单位圆于 C、两点,连结、OD，则 OC 与 O围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为Zkkk,342322|.变式训练变式训练 2：求下列函数的定义域:（1)y=1cos2x；（2)=lg(3-4sinx).解解：(1)2osx-10,cox21.由三角函数线画出满足条件的终边范围(如图阴影所示).x32,32kk（kZ).（）4sin2x，i2x43,23sinx23.利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如右图阴影),x(k-3,k+

8、3)（kZ).例例 3.已知角的终边在直线 3x+=0 上,求 sin,cos，ta的值.解解：角的终边在直线 3x+y=0 上，在角的终边上任取一点 P(4t，-3t)（t0),则 x=4，y-3t,=5)3()4(2222ttyx|t|,当 t时，r5t,sin=5353ttry,os=5454ttrx，tan=4343ttxy;当时,s=53,cos=54,ta=43;t0）,当为何值时,该扇形面积最大,并求此最大值.解：解：(）设弧长为 l,弓形面积为 S弓。)(32cmlSSS扇弓3sin221232212=)332(（c2）扇形周长RRlRC22222CR22)22(2121CRS

9、扇1624241244122222CCC当且仅当 22=4,即时扇形面积最大为162c变式训练变式训练 4:扇形 OAB 的面积是c2,它的周长是 4,求中心角的弧度数和弦长 A.解：解：设扇形的半径为 r，弧长为,中心角的弧度数为则有12142lrlr21lr由|rl得2|=2sin 1(m).本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好:如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系2.在计算或化简三角函数的关系式时,常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论,因此,在解答这类题时首先要弄清：角的范围是什么?对应的三角函数值

10、是正还是负？与此相关的定义、性质或公式有哪些第第 2 课时课时同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式.同角公式:（1）平方关系：si2+os2=1，+tan2=,1cot2(2)商数关系:ta=，cot=(3)倒数关系:tan=1,si,cot2.诱导公式:22k+incos222323sco规律:奇变偶不变，符号看象限3同角三角函数的关系式的基本用途:根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明同角的三角恒等式诱导公式的作用：小结归纳小结归纳基础过关基础过关诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0角的三角函数值例例.已知 f()

11、sin()tan()tan()2cos()sin(;(1)化简 f(）;（2）若是第三象限角，且 co5123,求 f()的值.解解:（1)f()=sintan)tan(cossin=-o.(2)co23=sin,sin=51,cos=-65251522,f（)=652.变式训练变式训练:已知=)(cos)cos(sin)sin(Zkkk则 A 构成的集合是(）A.1，,2,2B1，-1C 2，-2-2，-,01，2解解:例例 2求值：()已知53)7cos(,2，求)2cos(的值.)已知11tantan，求下列各式的值cossincos3sin；2cossinsin2解：解：(1)54)2

12、2cos(;（）35cossincos3sin变式训练变式训练 2:化简：)4sin()8cos(tan)5sin(，)4cos()4sin(解解:原式n原式=0例例 3.已知-02 x，sinx+csx51.(1)求 sin x-co x 的值.(2)求xxxtan1sin22sin2的值解解：（1)57，（）17524变式训练变式训练 3:已知n+os51，（0，).求值:(1)t;(2)si-cs;（3)sn3+cos解解方法一方法一s+cos=51,(,）,典型例题典型例题(sino）2=251=12sico，sincs2512,o0,cos0,incos0,sincos=57.(3)

13、i3+os3=(sn+o)(in2-sincos+cos2)512512112537.例例 4已知an2，求下列各式的值:(）cos9sin4cos3sin2;（2)2222cos9sin4cos3sin2;（)sin2-3sncs-cos2.解解:(1)原式19243229tan43tan2.（2）759243229tan43tan2cos9sin4cos3sin222222222.（3)sincos2=1,4si2incos-co2=2222cossincos5cossin3sin4=114523441tan5tan3tan422.变式训练变式训练：已知 si(+)=-co（k)(kZ).

14、求：(1)sin3cos5cos2sin4;(2)41si2+52co2.解解：由已知得 cos(+k),ta(+k）=-2（kZ)，即a=-2.（1)10tan352tan4sin3cos5cos2sin4.（）41sin252cos2=2222cossincos52sin41=2571tan52tan4122.求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式（如例 1）,应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例 2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.求函数的值域没有通用方法和固定模式，

15、除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外，应根据问题的不同特点,综合而灵活地选择方法.第第 3 课时课时两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数.两角和的余弦公式的推导方法：2基本公式sin(）sin oscs sincos()=;tan()=.3.公式的变式t+anan(+）(1tn n)1-ta ta=)tan(tantan4常见的角的变换:2(+）（）；2+2(+)()+2=(-2）（2)；)4()4(xx=2例例 1求i50sin0(1+3tan1)80sin22的值典型例题典型例题小结归纳小结归纳基础过关基础过关解解：原式=80s

16、in210cos10sin3110sin50sin2=80sin2)10cos10sin310cos10sin50sin2(=10cos210cos10sin2310cos2110sin250sin2=10cos210cos40sin10sin250sin2=60sin2210cos210cos60sin2.62322变式训练变式训练:（）已知(2,),i=53,则 tn(4)等于(）A.71B.C.-71D.7()sin163sin22+in53sin33等于（)A.21B.21.23.23解解:()A(2)B例例 已知（4，43),(0，4),cos(-4）53,si(43)135,求 s

17、（+)的值解解:443+2（43,4）(0,1sin311x）4(0,2）+43(43,)sin（4）=54(43）-1312sin（+)cos2+(+)=co（4)+(43）=6556变式训练变式训练 2:设 cos(-2)=-91,sin（2）32，且2，02,求(+）解：解：2,02,42，-42-2.故由 cs(2）=-91，得n（-2）=954.由 sin(2）=32，得s（2-)=35.cos2cs(2)（2)=cos()cos()sin()sin()2222=1524 593397 527cos（+)2c221=27 5227=729239.例例 3.若 siA=55,in=10

18、10,且 A，B 均为钝角,求 A+的值.解解、B 均为钝角且 sinA55，snB1010，A=A2sin1=52=552，cB-B2sin1=-103-10103,cs(A)=oAcosnsi55210103551010=22又2，2B,A+B由知，A=47.变式训练变式训练 3：在C 中,角 A、C 满足 4i22CA-cs2=27，求角 B 的度数解解在BC 中,A+B+C=180,由 4sn2CA-cos2B=27,得2)cos(1CA2os21=27,所以 4cs2-4coB+10于是 cs21,B=6.例例 4.化简in2sn+cos2cos221co2s2.解解方法一方法一（复

19、角单角,从“角”入手）原式=sin2sincs2co-21(2cs2-1)(2c-1)sin2sin+os2cos-21(4o2cos22s2-cos+)=sisn2cos2cos2+s2c221=si2sn2+ossi+cos2-21=in2+o-21=121=21方法二方法二(从“名”入手,异名化同名）原式=in22+(-sin2)cos2-21os2cs2=cos-si(os2-sin2)-21cs2cs2=co2-sin2co2-21cc2=cos2-os22cos21sin2=22cos1cos)sin21(21sin22=22cos1-21co2=21.方法三方法三（从“幂”入手，

20、利用降幂公式先降次）原式=22cos122cos1+22cos122cos1-21co2o2=41(+os2s-cs2-cs)+41（+c2c2cos2co2)-21co2cos2=21.方法四方法四（从“形”入手,利用配方法，先对二次项配方)原式=(sinicosco)2+sinsincscs-21cs2os2=cs（+)21si2sn21cs2cos2=o2()-21cs(2+）cos2()-212os2(+)-1=21变式训练变式训练 4:化简：（1）2sn x46cos x4;(2）4sin4tan21cos222解解（)原式2xx4cos234sin2122xx4cos6cos4si

21、n6sin22cx46=2cs(x-12).（2)原式=22cos1tan1tan12cos=)2sin1(2sin12cos2cos=1.三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异,进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征,从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题,这样可以避免一些较复杂的计算，如：2+()等.2.在应用过程中要能灵活运用公式,并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用,还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形

22、用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如 sn3cox、sncos的三角函数式要创造条件使用公式.第第 4 课时课时二倍角的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切1基本公式:in2=;co2=；an=.2.公式的变用：1+cos2；cs2例例 1.求值：140cos40cos2)40cos21(40sin2解:原式80cos40cos80sin40sin)2060cos()2060cos()2060sin()2060sin(=3变式训练变式训练 1:)12sin12(cos（cos12n12)()A.-2321.21D23解：D例例 2 已知为锐角，且21tan，求2cos2sin

23、sincos2sin的值解：解：为锐角典型例题典型例题小结归纳小结归纳基础过关基础过关2cos2sinsincos2sin=2coscossin2)1cos2(sin2=cos1=2tan145变式训练变式训练:化简:)4(sin)4tan(21cos222解：解：原式=)4(cos)4cos()4sin(22cos2=例例 3.已知xxxxfcossinsin3)(2;(1)求)625(f的值;()设2341)2(),0(f,求 sin的值.解解:（1)23625cos21625sin0625cos625sin625cos3)625(2f(2）xxxf2sin21232cos23)(2341

24、23sin21cos23)2(af16sn2-4sin1=0解得8531sin0sin),0(2故8531sin变式训练变式训练 3：已知 sin（6)31，求 cos（232）的值.解：解：o(32+2）=co2(3+)-sin2(6-）1=97例例 4.已知sin2cs-cos,(0,2),求 sin、tn的值解解:由已知得sn2s2cos2co2=0即（sn2+cs)(sin2cos)=0cos2(1sin)(2sin）=0(0,2)cos0si-12sin1n21ta33变式训练变式训练:已知、r 是公比为的等比数列)2,0(,且 s、sn、sn也成等比数列,求、r 的值解：解：、r

25、成公比为 2 的等比数列.2,r4sin、i、snr 成等比数列12cos2cos2sin4sinsin2sinsinsinsinsin2r即01cos2cos22，解得 c=1 或21cos当 cs=1 时，sn与等比数列首项不为零矛盾故s舍去当21cos时，20，2322或32238,34,32r或316,38,34r二倍角公式是和角公式的特殊情况,在学习时要注意它们之间的联系；要理解二倍角的相对性,能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用).对三角函数式的变形有以下常用的方法:降次(常用降次公式)消元(化同名或同角的三角函数）消去常数“”或用“1”替换角的范围的确定第第 5 课时

26、课时三角函数的化简和求值三角函数的化简和求值1三角函数式的化简的一般要求：函数名称尽可能少；项数尽可能少;尽可能不含根式；次数尽可能低、尽可能求出值2常用的基本变换方法有:异角化同角、异名化同名、异次化同次.3求值问题的基本类型及方法“给角求值”一般所给的角都是非特殊角,解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系,通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解.“给值求值”即给出某些角的三角函数(式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；“给值求角”关键也是:变角,把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角4.反三角函数 ar

27、csin、arccos、aan分别表示2,2、0,、（2,2)的角.例例.()化简:40cos170sin)10tan31(50sin40cos典型例题典型例题小结归纳小结归纳基础过关基础过关（2）化简:xxxx4466cossin1cossin1解解:10cos10sin310cos10tan31=10cos50cos210cos)1060cos(2原式20cos220cos220cos2140cos20cos270sin10cos50cos50sin240cos2222变式训练变式训练 1:已知xxxf11)(,若),2(，则)(cosf)cos(f可化简为解：解：sin2例例.已知0co

28、s2cossinsin622，2，,求sin（2+3)的值解法一解法一:由已知得(3si2cos)(2sn-cs)=03sn2cos=0 或 2sics=0由已知条件可知 co2即(2,)an32in（23)sincos3cos2sin3=sncos23(os2-sin2)222222sincossincos23sincoscossin=222tan1tan123tan1tan=2635136解法二解法二:由已知条件可知 cs0则2从而条件可化为6 tnan-20(2，）解得 tan32（下同解法一)变式训练变式训练 2:在AC 中,22cossinAA,2AC,3AB，求tanA 的值和AB

29、的面积.解解:sinA+cosA222sincsA=21从而 cosA(,2)sinAcosA=AAAAcossin4)cos(sin226据可得sinA=426 sA426 a-3SABC4)26(3例例 3已知 tan()21,tan=-71，且、(0，),求的值.解：解：由n=71(0，)得（2,)由 tantn(-)31(0，)得 02由 tan2=43知 02tan（2）=tan2tan1tan2tan=1由知2（,)=43(或利用-=2()求解)变式训练变式训练 3:已知为第二象限角,且 s=415,求12cos2sin)4sin(的值解解:由 sn=415为第二象限角cos-41

30、)cos(sincos2)4sin(12cos2sin)4sin(=cos221=-2例例.已知310cottan,43.（1)求 tn的值；（2)求)2sin(282cos112cos2sin82sin522的值解解:()由310cottan得03tan102tan32解得 ta=-或31tan又43，所以31tan为所求（2)原式：cos282cos111sin42cos15cos2216cos1111sin8cos55625226tan8cos22cos66sin8变式训练变式训练 4：已知ktan12sinsin22(4,)的图象,可以看做是 ysnx 的图象上所有点的纵坐标都,（A1

31、)或(0A0，1）的图象，可以看做是把 ysin的图象上各点的横坐标（1)或(00)的周期为.相位变换：ysin(x)(0）的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向(0)或向（0)或向右()平移个单位后一种方法第二步相位变换是向左()或向右(0，0)若 A=3,21,3，作出函数在一个周期内的简图 若表示一个振动量,其振动频率是2,当 x24时,相位是3,求和解：解：(1）y=3si（32x)列表(略)图象如下：32x0223x323538311314y0330ysinx相位变换周期变换振幅变换ysinx周期变换相位变换振幅变换321-1-2-3323538311314xy0(2）依

32、题意有：32422f64变式训练变式训练:已知函数 ysin)32(x，(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；()说明 y=2sin)32(x的图象可由=ix 的图象经过怎样的变换而得到.解解（1)y=2in)32(x的振幅2,周期 T=22=，初相=3.(2）令 X=2+3,则 y2sn)32(x=sin.列表,并描点画出图象：x612312765X0223ysX010-0y2sn(2x+3)020-2(3）方法一方法一把 y=si的图象上所有的点向左平移3个单位,得到 ysin)3(x的图象，再把 ysn)3(x的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍(纵

33、坐标不变),得到=si)32(x的图象,最后把 yn)32(x上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），即可得到 y=2sin)32(x的图象.方法二方法二将 y=sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到 y=i2的图象;再将 y=si2x 的图象向左平移6个单位；得到 y=sin2)6(xsin)32(x的图象；再将in)32(x的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,得到=2i)32(x的图象.例例 2 已知函数3sin)421(x(）用五点法作出函数的图象;(2）说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的;(3）求此函

34、数的振幅、周期和初相；(4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解解(1)列表：x223252729421x22323sin)421(x030-0描点、连线,如图所示:（2)方法一方法一“先平移，后伸缩”.先把=six 的图象上所有点向右平移4个单位，得到 y=sin)4(x的图象;再把 y=sin)4(x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变)，得到y=sn)421(x的图象，最后将=sin)421(x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变），就得到 y=3sin)421(x的图象.方法二方法二“先伸缩,后平移”先把sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的

35、 2 倍（纵坐标不变），得到=sn21x 的图象；再把y=si21x 图象上所有的点向右平移2个单位,得到=sin21(x2)=)42(x的图象,最后将=sin)42(x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍(横坐标不变）,就得到3sin)421(x的图象(3）周期 T=2=212=4,振幅 A=3,初相是-4.(4)令421x=2+(kZ）,得=2k+23(kZ),此为对称轴方程.令21-4=(kZ）得 x=2+2k(kZ).对称中心为)0,22(k(kZ).变式训练变式训练 2:已知函数23cossin3)(2xxxcoxxf),(RxR的最小正周期为且图象关于6x对称;()求(x）的解

36、析式；（2)若函数 y1-()的图象与直线a 在2,0上中有一个交点，求实数 a 的范围.解：解：(1）2322cos12sin23)(wxwxxf12cos212sin23wxwx1)62sin(wxwR122wwT当=1 时,1)62sin()(xxf此时6x不是它的对称轴=)62sin(11)62sin()(xxxf(2）)62sin()(1xxfy6762620 xx如图:直线 y=a 在2,0上与 y=1f(x）图象只有一个交点2121a或 a例例 3.如图为 y=in（x+）的图象的一段，求其解析式.解解方法一方法一以 N 为第一个零点,则 A-3,T=2)365(=,=2，此时解

37、析式为-3sin（2x+).点 N)0,6(，-62+=0,3，所求解析式为 y=-3sin)32(x.方法二方法二由图象知 A3，02121yx667以)0,3(为第一个零点,P)0,65(为第二个零点列方程组6503解之得322所求解析式为 y3in)322(x.变式训练变式训练 3：函数=Asin（x+）（,|2,xR）的部分图象如图,则函数表达式为()A.y=-4)48(xB.y=4si)48(xC.y=4sin)48(xD.y=4sin)48(x答案答案B例例 4.设关于 x 的方程 cos2x3sn2=k1 在，2内有两不同根，求+的值及 k 的取值范围解解:由 cos23sin2

38、x=k得2sin(2+6）=k+1即i（2x6)21k设:=sin(2x+6)，：=21k,在同一坐标系中作出它们的图象（略）由图易知当2121k1 时,即 0k，0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（43,0)对称,且在区间,2上是单调函数,求和的值解：解：由()是偶函数,得 f(-x)=(）即 sin(-x)s(x+）cosinosix 对任意 x 都成立,且0，os=0依题意设 02由(x）的图象关于点 M 对称，得 f(43-x)-f(43+x)取 x0 得 f(43）=-f（43）f(43)=(43）sin(432)=cos430又0 得432+k=32（2k+1)(k=0，1,

39、)当 k=时,=32f(x）=sin(232x)在0，2上是减函数;当 k1 时，=2f(x）=sn(2x2）在0，2上是减函数;当 k2 时,310f()sin(2）在0，2上不是减函数;=32或21图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换=sinxysin(）y=sn（x）先周期变换后相位变换y=siny=sinxy=si(x)2给出图象求解析式Asn()+B 的难点在于、的确定,本质为待定系数法,基本方法是:“五点法”运用“五点”中的一点确定 图像变换法,即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零点或最值点确定 T.第第 8 课时课时三角函数的性质三角函数的性质1.三角函数的

40、性质函数ysix=cosx=tax定义域值域奇偶性有界性周期性单调性最大(小)值2函数 y=sinx 的对称性与周期性的关系 若相邻两条对称轴为 x=a 和 x=b，则 T 若相邻两对称点（a,)和（，0)，则 T 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴=b，则 T.注：该结论可以推广到其它任一函数例例 1.化简(x）=c（xk2316)os(xk2316）3sin(3+2x)(xR，kZ).并求(x)典型例题典型例题基础过关基础过关小结归纳小结归纳的值域和最小正周期.解解：(1）f()=2sn(ax+3）(1）由于 f（x)(x)最小正周期相同得a2=m即=2又 f(1)=2(1）即

41、2sin（a+3)2tn(m+6）把 a=2m 代入得 sin(m+3)tn(m6）sn(m6)cs(6)6cos()6sin(mmsin（+6）=或 cos（+6)22当 sin(m6)0 时,k6（kz）,这与 0m1 矛盾当 cs(m+6)22时，m=k+12或 mk125(kz),现由 0.-cox1,0cosx1.方法一方法一利用余弦函数的简图得知定义域为|-2+2kx2+2,kZ.方法二方法二利用单位圆中的余弦线 OM,依题意知 0即2n(4）从而得 2+4xk45函数的定义域为(45242，kk)(z)0sn(-4)0sinx-o2即21 log(ix-cosx）21 log2-

42、21故函数(x)的值域为21,+（2)sinxcsx2in(x-4)在(x）的定义域上的单调递增区间为（452432，kk)()，单调递减区间为43242，kk(kz)(3)(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称f（)是非奇非偶函数()f(x+)=21 logsin(x2)cos（+2)=21 log(x-cosx)（x)f(x)函数的最小正周期 T2例例 4已知函数cosxb 的最大值为 1，最小值是,试确定)(xfb sin(a3)的单调区间.解解：（1）若 a0,则 a+b=1，a+b-3,a=2，b-,此时,)(xf-sin（23)单调增区间为+12,k+127(kz)单调减区间

43、为k125,k12（k)（2)若 a0，则-a+b=1，ab-3,a,=-，单调增区间为k-12，k125(z)单调减区间为k+125，1211(kz)变式训练变式训练 4：某港口水的深度 y（米)是时间(t，0)的单调区间的确定的基本思想是把(x)看作一个整体,再利用正弦函数的单调区间解出即为所求.若0,可用诱导公式变为 y=-Asin（x-)再仿照以上方法解之第第 9 课时课时三角函数的最值三角函数的最值1.一元二次函数与一元二次方程基础过关基础过关小结归纳小结归纳一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点我们要

44、弄清楚它们之间的对应关系:一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解;反之,一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标函数与方程两个函数()yf x与()yg x图象交点的横坐标就是方程()()f xg x的解；反之，要求方程()()f xg x的解，也只要求函数()yf x与()yg x图象交点的横坐标.3.二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n,则必有()()0f mf n,再取区间的中点2mnp,再判断()()f pf m的正负号,若()()0f pf m，则根在区间(,)m p中；若()()0f pf

45、m,则根在(,)p n中;若()0f p,则p即为方程的根 按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值.例例 1.求下列函数的最值xxxcos1sin2sin；y cos(3+x）+2cos;xxycos3sin1解：解：()yxxxxxxcos2cos2cos1sincossin22=21)21(cos22x 当 co=21时,min=21 csx函数 y 没有最大值。(2)y=2cos（x3)+2cosx=2cosxxxcos2sin3sin2cos3=ox3sn23os(6x)当 cos(6x)=1 时，yin-32典型例题典型例题当

46、os(6x)=1 时,ax32(3)由xxycos3sin1得inx-ycosx=3y)sin(12xy3y-1(tn=y)|sin(+）|1|3-112y解得 0y43故xxycos3sin1的值域为0,43注:此题也可用其几何意义在求值域.变式训练变式训练 1：求下列函数的值域：(1）yxxxcos1sin2sin；(2）=sinx+cos+sinxco;（3)y=co)3(x+2cs.解解（1)y=xxxxcos1sincossin2=xxxcos1)cos1(cos22=2cs2x+2cosx=22)21(cosx-21.于是当且仅当 cosx=1 时取得 yx=4,但 csx，y4，

47、且 ymin-21,当且仅当 cs=-21时取得.故函数值域为4,21.（）令nx+cos,则有 t2=1+2sixosx,即 sicos212t.有 yf(t）=t+212t=1)1(212t又=sncsx2)4(x,2t2故 yf(t)=1)1(212t（-22),从而知:f(-)y(2)，即-1y221即函数的值域为212,1.(3)y=2s)3(xcosx=o3cosx-2in3sinx+2csx=3cosx3sinx=3xxsin21cos23=3o)6(x.)6cos(x该函数值域为-23,23.例例 2 试求函数snx+csx+2sinxcox+2 的最大值与最小值，又若2,0

48、x呢？解：解：令 t=snx+co则2，2又sin+cox=(ixcosx)2-1=t212t1=(t+21)243,显然 ymax=32若 x0，2则 t1,2y(t21）+43在1,2单调递增.当 t=1 即 x=0 或=2时，y 取最小值当2即 x=4时,y 取最大值 3+2.变式训练变式训练 2：求函数3()cos(sincos),44f xxxxxx 的最大值和最小值.点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解,此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单解：解：f(x)=x21（i2+cos2x）21(x)=12sin（-4)-4，432x-4-43，45令 f（x)0 得 s

49、in(2x4)-22x0，4,43f(0)-，而 f(4)-4f(43)43当 x43时，f()x43当0 时，(x)min=1例例 3.已知ix+sny31，求 siny-os2的最大值.解解:sinx+sin31sny=xsin31ny-co2x=xsin31（1-six）xx2sinsin321211)21(sin2x又-iny11sin311x而-1six32snx1当n=32时，sicos2x 取得最大值94。变式训练变式训练 3：在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若=，求 y=BBBcossin2sin1的取值范围解解:y=)4sin(2cossincossi

50、n)cos(sin2BBBBBBB又osB=acaccaacbca222222221 0时,2a（1,+）yx=baaba41)21(22=0ymn441)21(22baaba由得2 时，而2a=（1,)舍去.故只有一组解 a=，=2.变式训练变式训练 4：设函数axxxxfcossincos3)(2(其中0,R）,且(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6（）求的值;(）如果)(xf在区间65,3x的最小值为3,求的值.解解:(）（）23os21sn2x+23asn(2x3)23a依题意得 2632解得=21(）由(1)知 f（)=s（2x+3)+23+a又当 x65,3时,x+

51、367,0故-21in(x3）1从而 f()在65,3上取得最小值21+23a因此，由题设知21+23+a=3故 a=213 1求三角函数最值的方法有:配方法;化为一个角的三角函数；数形结合；换元法；基本不等式法.三角函数的最值都是在给定区间上取得的因而特别要注意题设所给出的区间.3求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性4含参数函数的最值,解题要注意参数的作用.三角函数章节测试题三角函数章节测试题一、选择题一、选择题小结归纳小结归纳1.已知 sin53，in20,则 tan等于（)A-43B43.43或43.54 若20 x，则 2x 与

52、 3snx 的大小关系是()A.xxsin32 xxsin32 C.xxsin32.与的取值有关3 已知、均为锐角，若 P:sisi（)，：0,对于函数)0(sinsin)(xxaxxf,下列结论正确的是(）A有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值1yxO12yxO121yxO121yxO121D既无最大值又无最小值7.函数 f()=xxcos2cos1(）A.在0,2、,2上递增,在23,、2,23上递减20，、23，上递增,在,2、223，上递减.在，2、223，上递增,在20，、23，上递减D.在23,、2,23上递增，在20，、,2上递减8 in(x-12)co

53、s（x-12),正确的是()A.T2,对称中心为(12,）,对称中心为（12,0)C=,对称中心为(6，0）D.T=，对称中心为(6，0)9.把曲线 y csx2=0 先沿轴向右平移2，再沿 y 轴向下平移个单位,得到的曲线方程为().（1-y）sin+23=0B(y-1）sinx+2y-0C（1)sx+y+10D.(1）sin2y+1010已知，函数 y=2sn（x+)为偶函数(0)的部分如图，则 f(1)+(）（11)=.12已 sin(4x)53,则 si2的值为。13.2,0,sin2sin)(xxxxf的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同交点,则 k 的取值范围是262201已知s

54、in1cot22=1，则（1sn）(2+cos)。5.平移 f(x）si(x)(0,22），给出下列 4 个论断:图象关于 x12对称图象关于点(3，0）对称周期是 在6，0上是增函数以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：(1)(2).三、解答题三、解答题1.已知21)4tan(,（）求tan的值;（2）求222cos1cossin的值.7设函数)()(cbaxf，其中a(sin,cox）,b=(in,-3cosx)，c=(cosx，sinx)，xR；(）求函数 f（x）的最大值和最小正周期;(2）将函数 y=f（x)的图象按向量d平移，使平移后的图象关于坐标原点成

55、中心对称，求d|最小的d.1在ABC 中，i(snBosB)sn=，sB+co2C0,求角、B、C 的大小.1.设 f(x)=cos2x23sxosx 的最大值为 M,最小正周期为 T.求 M、T若有 10 个互不相等的函数满足(xi)M,且xi10,求 x1x2+x10的值2.已知(x）=2si(x+2)cos(x2)23os2(+2)3。化简 f（x）的解析式。若 0，求使函数(x)为偶函数。在成立的条件下,求满足 f()1,，的的集合。21已知函数)(xf=2os2x+23snx o1(1)若 x0,时，)(xfa 有两异根，求两根之和;(2)函数 y)(xf，x6，67的图象与直线 y

56、4 围成图形的面积是多少?三角函数章节测试题参考答案三角函数章节测试题参考答案1.A2 D.4 B5.6.B7.8.B.C1.A1.2221257131k 0nAosA，即 taA1又 0 AA4,从而 C=43-B由 siBcos2C=0,得 sinB+cos2(43B）=0即 siB（1-2csB）=co21=3C=125)(xf2sin(2x+6)(1)M=2T=(）)(ixf=2 si(2xi6)=12xi+6=22xi2k6（kz)又 xi k0,1,2,x1+x+x0=(12+)+06314020.解:(1)（x)sn(2x)3c(2x)=2sn(2+3)（2)要使 f（x)为偶函

57、数，则必有(-x)()2sin(-2x3)=2s（2x3)sin2x cos(+3)=0 对 x恒成立 cos(+3)=0 又 0=6()当=6时 f(x)=in(2x+2）=cos2xcos2x21x-,x=3或321.)(xf2in(2x6）2由五点法作出 y=)(xf的图象(略）(1)由图表知：a，且 a当 0a3 时,x1+x234当 34 时，1x=3(2）由对称性知，面积为21(67-6）4=.五年高考荟萃五年高考荟萃202X202X 年高考题年高考题一、选择题一、选择题1(202海南宁夏理,).有四个关于三角函数的命题:1p：R,2sin2x2cos2x=122p:、y,sin(

58、x)=inxs3p：x0,1 cos22x=six4p:sn=cox+y2其中假命题的是A.1p，4pB2p,4pC1p，3pD.2p,4p答案A2.（02X 辽宁理,8)已知函数()f xAos（x）的图象如图，2()23f，则(0)f=(）A.23B23C.-12.12答案C（202X 辽宁文,8)已知tan2，则22sinsincos2cos（）A43B.54 C.34.45答案D4.（0X 全国 I 文，1）sin585的值为.22.22C.32D.32答案5.(0X 全国 I 文，4)已知ana=4,cot=13,则 ta(+)=（)A.711B.711.713.713答案B6.(2

59、0X 全国文，4)已知ABC中，12cot5A ，则cos A A.1213B513513D.1213解析：已知ABC中,12cot5A ，(,)2A.221112cos1351tan1()12AA 故选 D.(22全国 II 文，9)若将函数)0)(4tan(xy的图像向右平移6个单位长度后,与函数)6tan(xy的图像重合，则的最小值为（）A.61B.41C.31D.21答案D（X 北京文)“6”是“1cos22”的A 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析 本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识

60、、基本运算的考查.当6时，1cos2cos32,反之,当1cos22时,2236kkkZ，或2236kkkZ,故应选 A.9.（02X 北京理）“2()6kkZ”是“1cos22”的()A充分而不必要条件必要而不充分条件.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查当2()6kkZ时，1cos2cos 4cos332k反之,当1cos22时,有2236kkkZ,或2236kkkZ，故应选 A.10(202X 全国卷文）已知C中,12cot5A ,则cos A A.1213B.513C.513D.1213答案

61、：D解析:本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 cotA=125知 A 为钝角，cos排除 A 和，再由1312cos1cossin,512sincoscot22AAAAAA求得和选1(2X 四川卷文）已知函数)(2sin()(Rxxxf，下面结论错误的是A.函数)(xf的最小正周期为 2函数)(xf在区间0，2上是增函数C C.函数)(xf的图象关于直线x对称D D.函数)(xf是奇函数答案D D解析xxxfcos)2sin()(,A、均正确，故错误的是 D【易错提醒】【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。1（2全国卷理）已知ABC中,12cot5A ,则cos A()A1213B.5

62、13C.513.1213解析:已知ABC中，12cot5A ，(,)2A.221112cos1351tan1()12AA 故选.答案D13(202X 湖北卷文)“si=21”是“212cos”的（)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由1cos22a 可得21sin2a ,故211sinsin24aa是是成立的充分不必要条件,故选1(202X 重庆卷文)下列关系式中正确的是（)A.000sin11cos10sin168B.000sin168sin11cos10C000sin11sin168cos10D000sin168cos10sin11答案

63、C解析因为sin160sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80，由于正弦函数sinyx在区间0,90 上为递增函数,因此sin11sin12sin80,即sin11sin160cos105.(2X 海南宁夏理,5）.有四个关于三角函数的命题:1p:xR,2sin2x+2cos2x=122p:x、yR，sin(xy)=sx-siy3p:x0,，1 cos22x=sinx4p：sinx=cosy+y=2其中假命题的是.1p,4p.2p，4pC.1p,3pD.2p,4p答案A16.（202辽宁理，8）已知函数()f x=As(x）的图象如图所示，2()23f,则(0)f

64、=（)A.23B23C.-12D.12答案C17.(202X 辽宁文，)已知tan2，则22sinsincos2cos(）A.43B54 C.34D.45答案1.(202全国 I 文,1)sin585的值为.22B22.3232答案19.（20X 全国 I 文,4）已知 tana=4，ct=13,则 t(a+)=()711B.711.713D.713答案B2.（202X 全国 II 文,4)已知ABC中，12cot5A ，则cos A.1213.513C513.1213解析：已知ABC中，12cot5A ,(,)2A.221112cos1351tan1()12AA 故选 D21.(202X 全

65、国 I文，)若将函数)0)(4tan(xy的图像向右平移6个单位长度后,与函数)6tan(xy的图像重合，则的最小值为()A.61B.41C.31D.21答案22（22北京文)“6”是“1cos22”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当6时,1cos2cos32，反之，当1cos22时，2236kkkZ,或2236kkkZ,故应选 A.(20北京理）“2()6kkZ”是“1cos22”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件C充分必要条件既不充分也

66、不必要条件答案A解析本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当2()6kkZ时,1cos2cos 4cos332k反之,当1cos22时,有2236kkkZ,或2236kkkZ,故应选 A.24.(202X 全国卷文)已知C中,12cot5A ,则cos A A.1213B513C.513D.1213答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 ctA=125知 A 为钝角，oA0 排除 A 和,再由1312cos1cossin,512sincoscot22AAAAAA求得和选2.(22X 四川卷文)已知函数)(2sin()(Rxxxf，下面结论错误的是A 函数)(xf的最小正周期为 2 函数)(xf在区间，2上是增函数.函数)(xf的图象关于直线x=0 对称.函数)(xf是奇函数答案解析xxxfcos)2sin()(,、B、C 均正确，故错误的是 D【易错提醒】【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。26（0X 全国卷理）已知ABC中,12cot5A ，则cos A（）A.1213B.513.513D.1213解析：已知ABC