机械原理第十章机械运动动力学方程

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1、机 械 运 动 动 力 学 方 程第 十 章 本 章 教 学 内 容 机 械 运 转 的 三 个 阶 段 机 械 运 动 方 程 的 一 般 表 达 式 机 械 系 统 的 等 效 动 力 学 模 型 机 械 运 动 方 程 式 的 求 解 了 解 机 器 运 动 和 外 力 的 定 量 关 系 掌 握 等 效 质 量 、 等 效 转 动 惯 量 、 等 效 力 、 等 效 力 矩 的 概 念 及 其 计 算 方 法本章教 学 目 的 第 一 节 作 用 在 机 械 上 的 力 及 机 械 的 运 转 过 程一 、 作 用 在 机 械 上 的 力机 械 特 性 ： 力 (力 矩 ） 与 运 动

2、 参 数 之 间的 关 系 称 为 机 械 特 性 。工 作 阻 力 ： 工 作 负 荷 。 （ 有 害 阻 力 ）驱 动 力 ： 驱 动 原 动 件 运 动 的 力 。 二 、 机 械 运 转 的 三 个 阶 段1) 启 动 阶 段 Wd-(Wr+Wf)=Wd-Wc E2 E1 0Wd驱 动 力 所 做 的 功 ， 输 入 功 ； P238Wr克 服 工 作 阻 力 所 做 的 功 ， Wf克 服 有 害 阻 力 所 做 的 功 ， 耗 功 . 主 动 件 的 速 度 从 零 值 上 升 到 正 常 工 作 速 度 。 Tmo 起 动 稳 定 运 转 停 车T 2)稳 定 运 转 阶 段 W

3、d Wc E2 E1 0a .匀 速 稳 定 运 转 速 度 保 持 不 变 ， 在 任 何 时 间间 隔 都 有 ： Wd Wc E2 E1 0b .变 速 稳 定 运 转 围 绕 平 均 速 度 作 周 期 性 波 动 一 个 周 期 的 时 间 间 隔 ,Wd=Wc,E2=E1; 不 满 一 个 周 期 的 时 间 间 隔 ,Wd Wc,E2 E13)停 车 阶 段 Wd-Wc E2 E1 0 起 动 阶 段 与 停 车 阶 段 统 称 为 过 渡 阶 段 。 T mo 起 动 稳 定 运 转 停 车T 第 二 节 机 械 的 等 效 动 力 学 模 型一 、 等 效 动 力 学 模 型

4、 的 建 立 根 据 动 能 定 理 ， 所 有 驱 动 力 和 工 作 阻 力所 做 的 功 的 总 和 W， 应 该 等 于 系 统 的 动 能增 量 E 。 E=W 称 为 为 机 械 系 统 的 运 动 方 程 式 。 说 明 ： v 对 一 个 单 自 由 度 的 机 械 系 统 ， 当 原 件 的 运 动 规 律 确定 后 ， 其 余 的 构 件 的 运 动 规 律 也 就 确 定 ， 所 以 机 械 系统 的 运 动 研 究 可 简 化 为 对 该 系 统 的 一 个 具 有 等 效 转 动惯 量 Je（ ） ， 在 其 上 作 用 有 等 效 力 矩 Me（ , ,t） 的假

5、想 构 件 的 运 动 的 研 究 。具 有 等 效 转 动 惯 量 ， 其 上 作用 有 等 效 力 矩 的 等 效 构 件等 效 构 件等效构件作为原 机 械 系 统 等效 动 力 学 模 型 等 效 构 件 ： 把 复 杂 的 机 械 系 统 简 化 为 一 个 构 件 ，此 构 件 称 为 等 效 构 件 。 即 系 统 的 等 效 动 力 学 模型 。等 效 条 件 ： 使 系 统 转 化 前 后 的 动 力 学 效 果 保 持 不变 。 即 ： a. 等 效 构 件 的 质 量 或 转 动 惯 量 所 具 有 的 动 能 ， 应等 于 整 个 系 统 的 总 动 能 ； b. 等

6、效 构 件 上 的 等 效 力 、 等 效 力 矩 所 做 的 功 或 所产 生 的 功 率 ， 应 等 于 整 个 系 统 的 所 有 力 、 所 有 力矩 所 做 功 或 所 产 生 的 功 率 之 和 。 等 效 动 力 学 模 型 的 意 义 ： JeMe(a) 注 意 ： 、 是 某 构 件 的 真 实 运 动 ； Me是 系 统 的 等 效 力 矩 ； Je是 系 统 的 等 效 转 动 惯 量 。 注 意 ： s、 v是 某 构 件 的 真 实 运 动 ； F e是 系 统 的 等 效 力 ； me是 系 统 的 等 效 质 量 。 等 效 构 件 +等 效 质 量 (等 效 转

7、 动 惯 量 )+等 效 力 (等 效 力 矩 )等 效 动 力 学 模 型 (b)m eFe vs 二 、 等 效 量 的 计 算 1、 等 效 力 和 等 效 力 矩 JeMe 当 等 效 构 件 为 转 动 构 件 时 eMp ni jjmjiii MvF1 1 )()cos( 根 据 等 效 前 后 功 率 相 等 的 原 则 ： ni jjmjiiie MvFM 1 1 )()cos( 得 ：等效力矩计算结果的正负号表示： e eM F v与 和 与 的 方 向 如 果 是 相 同 取 ,相 反 取 。 根 据 等 效 前 后 功 率 相 等 的 原 则 ： 当 等 效 构 件 为

8、移 动 构 件 时vFp e ni jjmjiii MvF1 1 )()cos( meFe v得 ： ni jjmjiiie vMvvFF 1 1 )()cos( 等效力计算结果的正负号表示：e eM F v与 和 与 的 方 向 如 果 是 相 同 取 ,相 反 取 。 2、 等 效 质 量 和 等 效 转 动 惯 量 mj jsjni siie JvmJE 1 21 22 212121 根 据 等 效 前 后 动 能 相 等 的 原 则 ： mj jsjni siie JvmJ 1 21 2 JeMe 当 等 效 构 件 为 转 动 构 件 时得 ： ni mj jsjsiie vJvvm

9、m 1 1 22 )()( ni mj jsjsiie JvmvmE 1 1 222 212121 根 据 等 效 前 后 动 能 相 等 的 原 则 ： 当 等 效 构 件 为 移 动 构 件 时 meFe v得：等效量不仅与作用与机械系统中的力、力矩以及各活动构件的质量、转动惯量有关，而且和各构件与等效构件的速比有关，但与系统的真实运动无关。因此，可在机械真实运动未知的情况下计算各等效量。 例 1 图示的行星轮系中 ，已知各轮的齿数为z1=z2=20，z3=60，各构件的质心均在其相对回转轴线上，它们的转动惯量J1 =J2 =0.01 ， JH=0.16 ，行星轮2的质量 m2=2，模数

10、m=10mm，作用在行星架H上的力矩MH=40Nm。 求构件1为等效构件时的等效力矩Me 和等效 转动惯量Je 。 解 （1）求等效力矩Me 根据功率等效的原则： 31 13113 zzi HH HHe MM 1得：mNMe .10方向与1相同。1HHe MM 41 H (2) 求等效转动惯量Je 212102221222111 HHe JvmJJJ 2121221221 HHHH JlmJJ 等 效 力 矩 (等 效 力 )与 等 效 驱 动 力 矩 (等 效驱 动 力 )和 等 效 阻 力 矩 (等 效 阻 力 )的 关 系 :erede MMM erede FFF 在 不 引 起 混 淆

11、 的 情 况 下 ， 可 以 省 去 等 效 符 号 e上 式 简 写 为 ： M=Md-Mr, F=Fd-Fr注 意 : F和 M是 一 个 假 想 的 力 和 力 矩 ， 它 不 是 被 代 替 的 已 知力 和 力 矩 的 合 力 或 合 成 矩 。 求 机 构 各 力 的 合 力 时 不 能用 等 效 力 和 等 效 力 矩 的 原 理 。 例 10 2： 正 弦 机 构 ， 已 知取 构 件 1为 等 效 构 件 ， 求 等 效 转 动 惯 量 Je和 阻 抗 力 F3的 等 效 阻 力 矩 Mer。解 ： , 33211 cFmmJl 232221121 21212121 cBe

12、vmvmJJ 2 2 1 2 31 11 11 1 1cos CBeBC vvJ J m mv lv l 111 1 11331 coscos180cos cllFM vFMer Cer P241 第 三 节 机 械 运 动 方 程 式 的 建 立 及 求 解一 、 机 械 运 动 方 程 式 的 建 立1、 动 能 形 式 的 运 动 方 程 式 （积分形式）根 据 功 能 原 理 EW 211222 2121)(2121 eeerede JJdMMdM 等效构件在一定时间间隔内，由位置1运动到位置2：211222 2121)(2121 vmvmdsFFdsF eess eredss e 2

13、、 力 矩 (力 )形 式 的 运 动 方 程 式（ 微 分 形 式 ）其 中 dtddddtddd (力 矩 形 式 的 方 程 式 )代 入 得 dtdJddJM eee 22 )21( 2 ee JddM ddJddJJddM eeee 2)21( 22 (力 形 式 的 方 程 式 ) dtdvmdsdmvF eee 22 dtdvmFdtdJM eeee ,当 Je和 me为 常 数 时 ， 则 ： (P243印 刷 错 误 ) 二 、 机 械 运 动 方 程 式 的 求 解 本章以等效构件为转动构件，假设等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数，驱动力矩和阻抗力矩也为位置的函数，即：)

14、,(),( rrdd MMMM )(),( eeee JJMM 故 00 )(2121 202 dMMJJ rd则 00 )(220 dMMJJJ rd可 得从 而 可 解 出 dtd /)( ;)(00 ddttt积 分 0 )(0 dtt等 效 构 件 的 角 加 速 度 ：e eM d d d dJ dt d dt d 2/2000 ttt 例 ： 在 图 中 所 示 定 轴 轮 系 中 ， 已 知 各 齿 轮 齿 数 Z1=Z2=20，Z2=Z3=40， 各 轮 对 其 轮 心 的 转 动 惯 量 分 别 为 J1=J2=0.01kgm2，J2=J3=0.04kgm2， 作 用 在 轮

15、 1上 的 驱 动 力 矩 Md=60Nm， 作 用 在轮 3上 的 阻 力 矩 Mr=120Nm。 设 该 轮 系 原 来 静 止 ， 试 求 在 Md和Mr作 用 下 ， 运 转 到 t=1.5s时 ， 轮 1的 角 速 度 和 角 加 速 度 。解：（1）取构件1为等效构件，由等效条件2 33222221121 21)(212121 JJJJJe 2 232 21221 2133212221 .025.0 )(04.0)(01.004.0(01.0 )()(mkg zz zzzz JJJJJe 得等效转动惯量： （ 2） 由 功 率 等 效 条 件 ： 311 rde MMM 得等效力矩

16、：mN MMM rde .30 )41(12060)( 13 211 1200025.030 seeJM st 11 18005.11200 方向与驱动力矩一致。（3）角加速度：（4）角速度： 第四节机械运转速度波动及调节1.产 生 周 期 性 速 度 波 动 的 原 因 图 10-6 因驱动力矩和阻力矩及其等效力矩往往是原动件转角的周期性函数，在等效构件回转过角时，其驱动功和阻抗功分别是：一、周期性速度波动及调节 a dMMWWW rdrd )()()( ) ( ) , ( ) ( )a ad d r rW M d W M d 其差值：rd MM 当 多 余 出 来 的 功 称 盈 功 ；

17、等 效 构 件 上 升 ；rd MM 当 不 足 的 功 称 为 亏 功 ； 等 效 构 件 下 降 。 若在Me和Je的公共周期内，Wd=Wr则，即02/2/)( 22 aaaard JJdMMaa 在 变 化 一 个 公 共 周 期 后 ， 机械 的 动 能 又 恢 复 到 原 来 的 值 ，则 等 效 构 件 的 角 速 度 也 将 恢 复到 原 来 的 数 值 ， 由 此 可 知 ， 等效 构 件 的 角 速 度 在 稳 定 运 转 过程 中 将 呈 现 周 期 性 波 动 周期 性 速 度 波 动 。 1、 平 均 角 速 度2、 速 度 波 动 系 数 )(21 minmax m

18、(1) m minmax (2)于 是 可 得 22min2max 2 m C maxminmA B DO周 期 性 变 速 稳 定 运 动 三 参 数 ： 周 期 、 平 均 角 速 度 m、 速 度 不 均 匀 系 数 由 (1)和 (2)解 得 )21(max m )21(min m， 2、速度波动程度的衡量指标 T T T dTm 01 3、 周 期 性 速 度 波 动 调 节 方 法飞 轮 转 动 惯 量 较 大 的 回 转 件 。 目 的 ： 调 速 ， 使 速 度 波 动 减 小 。 安 装 飞 轮 的 实 质 就 是 增 加 机 械 系 统 的 转 动 惯 量 。 飞 轮 在

19、系 统 中 的 作 用 相 当 于 一 个 容 量 很 大 的 储 能 器 。 当系 统 出 现 盈 功 ， 它 将 多 余 的 能 量 以 动 能 形 式 “ 储 存 ” 起来 ， 并 使 系 统 运 转 速 度 的 升 高 幅 度 减 小 ； 反 之 ， 当 系 统出 现 亏 功 时 ， 它 可 将 “ 储 存 ” 的 动 能 释 放 出 来 以 弥 补 能量 的 不 足 ， 并 使 系 统 运 转 速 度 下 降 的 幅 度 减 小 。 从 而 减小 了 系 统 运 转 速 度 波 动 的 程 度 ， 获 得 了 调 速 的 效 果 。飞 轮 的 作 用 ： 二 、 非 周 期 性 速

20、度 波 动 及 其 调 节 方 法 非 周 期 性 速 度 波 动 ： 如 果 机 械 在 运 转 过 程 中 ，等 效 力 矩 (M=Md-Mr) 的 变 化 是 非 周 期 性 的 ，则 机 械 出 现 的 速 度 波 动 称 为 非 周 期 性 速 度 波 动 。 1、 非 周 期 性 速 度 波 动 产 生 的 原 因 由 于 工 作 阻 力 或 驱 动 力 在 机 械 运 转 过 程 中发 生 突 变 ， 从 而 使 输 入 能 量 与 输 出 能 量 在 一 段较 长 时 间 内 失 衡 所 造 成 的 。 2、 非 周 期 性 速 度 波 动 的 调 节 方 法 当 机 械 的

21、原 动 机 所 发 出 的 驱 动 力 矩 是 速 度 的 函数 且 具 有 下 降 的 趋 势 时 ， 机 械 具 有 自 动 调 节 非周 期 性 速 度 波 动 的 能 力 。 对 于 没 有 自 调 性 的 机 械 系 统 就 必 须 安 装 一 种 专门 的 调 节 装 置 - 调 速 器 ， 来 调 节 机 械 出 现 的 非 周期 性 速 度 波 动 。 P249 调 速 器 来 调 节 非 周 期 性 速 度 波 动 P249 调 速 器 的 工 作 原 理 ： 1表 示 原 动 机 ， 2表 示 工 作机 ， 5表示调速器,如 果 机 器 的 转 速 过 高 ， 两 个 重球

22、 K将 张 开 ， 驱 动 滑 块 M上 升 ， 再 通 过 连 杆 机 构 关 小节 流 阀 6,使 得 油 门 变 小 ， 从 而 降 低 机 器 转 速 。 22min2maxminmax )()(21 mFF JJJJEEW 根 据 动 能 定 理 ：图10-6 )( 2 Fm JJW得：设计要求：根据m和许可的确定 JF 。)( 2 Fm JJW JWJ mF 2 则：J 为系统中除飞轮以外其它运动构件的等效转动惯量。若 JJF ，则 2 mF WJ 飞 轮 设 计 的 基 本 问 题 就 是 计 算 飞 轮 的 转 动 惯 量 。 三 、 飞 轮 设 计 P249max min W

23、 W W 其中： 是最大盈亏功 222 900 n WWJ mF （ 1)当 W 与 n 一 定 时 ， 若 加 大 飞 轮 转 动 惯 量 JF ，则 机 械 的 速 度 波 动 系 数 将 下 降 ， 起 到 减 小 机 械 速 度 波动 的 作 用 ， 达 到 调 速 的 目 的 。 但 是 ， 如 果 值 取得 很 小 ， 飞 轮 转 动 惯 量 就 会 很 大 ， 而 且 JF 有 一 个 有限 值 ， 不 可 能 使 =0 。 因 此 ， 不 能 过 分 追 求 机 械运 转 速 度 的 均 匀 性 ， 否 则 将 会 使 飞 轮 过 于 笨 重 。 (2)当 W 与 一 定 时

24、， JF与 n的 平 方 值 成 反 比 ， 所以 为 减 小 飞 轮 转 动 惯 量 ， 最 好 将 飞 轮 安 装 在 机 械 的 高速 轴 上 。 2、 最 大 盈 亏 功 W的 确 定 为了确定最大盈亏功 W ，需要先确定机械动能最大增量 Emax 和最小增量 Emin 出现的位置。因为在这两个位置，机械分别有最大角速度 max 和最小角速度min 。 Emax 和 Emin 应出现在 Md 与 Mr 两曲线的交点处。 最大盈亏功： W = W max - Wmin 可借助于能量指示图来确定 W 。EdMMW rd 0 )( b点 处 具 有 最 小 的 动 能 增 量Emin， 对

25、应 于 最 大 的 亏 功Wmin， 其 值 等 于 图 (a)中 的阴 影 面 积 f1； c点 ， 具 有 最 大 的 动 能 增 量Emax， 它 对 应 于 最 大 的 盈功 Wmax， 其 值 等 于 图 (a)中的 阴 影 面 积 f2与 阴 影 面 积 -f1之 和 。 最 大 盈 功 与 最 大 亏 功之 差 称 为 最 大 盈 亏 功 ， 用W表 示 。 也 可 以 用 能 量 指 示 图 表 示 。 dMMWWW cb rd )( minmax 例 （ 与 P253例10-4类 似 ） 图 为 发 动 机 在 一 个 运 动 周 期内 的 的 驱 动 力 矩 (Md)图 ，

26、 且 等 效 阻 力 矩 Mr为 常 数 ， 若 不计 机 械 中 其 它 构 件 的 转 动 惯 量 ,只 考 虑 飞 轮 转 动 惯 量 ,设 等 效 构 件 的 平 均 转 速 为 1000r/min， 运 转 不 均 匀 系 数=0.02,试 计 算 飞 轮 的 转 动 惯 量 JF。90 180 360 450 540 630 720 )(M/(N.m) Md75 100-50 -75 50 -100 75o 周 期 性 变 速 稳 定 运 转 的 特 点 : 一个周期的时间间隔内:Wd=Wr, E2=E1;解 ： 90 180 360 450 540 630 720 )(M/(N.

27、m) Md75 100-50 -75 50 -100 75o（ 1） 根 据 一 个 周 期 的 时 间 间 内 :Wr = Wd， 求 出 等效 阻 力 矩 Mr； 210027525010025022754 rM mNM r 875.21 面 积 )(JW F1 F2 F3 F4 F5 F626.56 78.13-35.94 F7-48.4414.06 -60.9426.56(2)计 算 各 块 盈 亏 功 面 积 ,90 180 360 450 540 630 720 )(M/(N.m) Md75 100-50 -75 50 -100 75o MrA B C D E F G A(3)确

28、定 Emax(max) 、 Emin(min)的 位 置 ，位 置 JE/ A B C D E F0 A026.56-9.38 68.75 20.3134.37-26.56G 用能量指示图来确定 W 68.75 ( 26.56 )95.31 299.44 )- (N m 一般飞轮计算不需要很精确，应用上述简化计算已能满足要求，这种简化计算是工程中的实用方法。max 、 min的 位 置 分 别 在 D、 G 处 （ 4） 求 W（ 5） 计 算 飞 轮 的 转 动 惯 量 JF 222 36.1900 mkgn WJ mF max min W E E 四 、 飞 轮 主 要 尺 寸 的 确 定

29、 )(8)4(2 22212221 DDmDDmJF 当 选 定 飞 轮 边 缘 的 平 均 直 径 D后 ， 即 可 求 出 质 量 m。 BHDBDDm )(41 2221 轮形飞轮 轮形飞轮由轮毂、轮辐和轮缘三部分组成。由于与轮缘相比，其它两部分的转动惯量很小，可略去。 轮 缘 的 转 动 惯 量 ： 当 轮 缘 厚 度 H 不 大 时 ： m D2 称 为 飞 轮 矩 ， 其 单 位 为 kgm2。 知 道 了 飞 轮 的 转动 惯 量 ， 就 可 以 求 得 其 飞 轮 矩 。 m是 质 量 。4 2mDJ F 盘 形 飞 轮 当 飞 轮 的 转 动 惯 量 不 大 时 ， 可 采 用 盘 形 飞 轮 。 飞 轮 的 转 动 惯 量 ： 当 根 据 安 装 空 间 选 定 飞 轮 直 径 D后 ， 即 可 计算 出 飞 轮 质 量 m 。 选 择 飞 轮 的 宽 度 B：22( )2 2 8F m D mDJ 24DmB 习 题 P254习 题 10-1习 题 10-2习 题 10-5习 题 10-6习 题 10-8 思 考 题