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1、1 问 题 的 提 出基 本 概 念第 一 节 微 分 方 程 的 基 本 概 念 2 解 xxy 2dd xxy d2 ,2 Cxy 即 求 得.1 2 xy ,1C ),(xyy 例 一 曲 线 通 过 点 ),2,1( 且 在 该 曲 线 上 任 一 点),( yxM 处 的 切 线 的 斜 率 为 ,2x 求 这 曲 线 的 方 程 .一 、 问 题 的 提 出设 所 求 曲 线 的 方 程 为所 求 曲 线 方 程 为 则 .2,1 yx 时其 中代 入 上 式 ，把 2,1 yx 3 如 xyy 0dd)( 2 xxtxt xeyyy 32 yxxz 二 、 基 本 概 念 含 有
2、 未 知 函 数 的 导 数 (或 微 分 )的 方 程 .未 知 函 数 是 一 元 函 数 的 方 程 为1. 微 分 方 程 : 常 微 分 方 程 ;未 知 函 数 是 多 元 函 数 的 方 程 为 偏 微 分 方 程 . 方 程 中 未 知 函 数 及 其 导 数 是 一 次 的 方 程 称 为线 性 微 分 方 程 ； 否 则 称 为非 线 性 微 分 方 程 . 4 ,0),( yyxF一 阶 微 分 方 程 : );,( yxfy 高 阶 (二 阶 及 二 阶 以 上 )微 分 方 程 : 一 般 的 n阶 微 分 方 程 为 ,0),( )( nyyyxF ).,( )1(
3、)( nn yyyxfy 今 后 主 要 讨 论 2. 微 分 方 程 的 阶微 分 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 的 最 高 阶 导 数 的 阶 数 . 5 代 入 微 分 方 程 能 使 方 程 成 为 恒 等 式 的 函 数 .3. 微 分 方 程 的 解微 分 方 程 的 解 的 分 类(1)通 解 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 数 ,的 个 数 与 微 分 方 程 的 阶 数 相 同 .(2) 特 解 确 定 了 通 解 中 任 意 常 数 以 后 的 解 .如 方 程 Cxy 2 .12 xy,2dd xxy 通 解 特 解注 通 解 和 特 解 是 一
4、 般 和 特 殊 的 关 系 .且 任 意 常 数 6 初 值 问 题 (柯 西 问 题 )求 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 的 解 的 问 题 .解 的 图 象通 解 的 图 象 微 分 方 程 的 积 分 曲 线 .积 分 曲 线 族 .初 始 条 件 用 来 确 定 任 意 常 数 的 条 件 .曲 线 通 过 点 (1, 2).如 前 例 , 7二 阶 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx几 何 意 义 : 的 积 分 曲 线 .是 过 且 在 此 点 切 线 的 斜 率 为 定 值),( 00 yx 00 ),( yy yxfy xx一 阶几 何 意 义
5、: 是 过 的 积 分 曲 线 ;),( 00 yx 8解 t xdd 22ddtx xtx和将 22dd 是 微 分 方 程验 证 ： 函 数 ktCktCx sincos 21 .0dd, 00 的 特 解 tt txAx ktkCktkC cossin 21 ktCkktCk sincos 2212 例 的 表 达 式 代 入 原 方 程 , 0)sincos()sincos( 212212 ktCktCkktCktCk .0dd 222 的 解 xktx 并 求 满 足 初 等 条 件 9 ktCktCx sincos 21 故 Ax t 0 .0 2 C所 求 特 解 为 .cosk
6、tAx ,0dd 222 xktx 且 为通 解 . 0dd 0 ttx又 1CA而 是 原 方 程 的 解 ,0dd, 00 tt txAx ktkCktkCtx cossindd 21 10 作 业习 题 6.1 (5页 ) 1. (1)(3) 2. (1)(3) 3. (1) 11 思 考 题 (是 非 题 )微 分 方 程 的 通 解 是 否 包 含 它 所 有 的 解 ?非解 答 微 分 方 程 的 通 解 不 一 定 否 包 含 它 所 有 的 解 .例 如 , 微 分 方 程 0d)3(d)4( 234 yyxxyx的 通 解 为 .1121 32 Cyyxx 其 中 C为 任 意 常 数 .的 通 解 为 但 它 不 能 包 含 方 程 的 解 :.00 yx 或
微分方程基本概念(IV)
