建筑力学21-位移法

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1、15.5 用位移法计算一般刚架n图15.21(a)所示连续梁，有两个刚结点B和C，无结点线位移。其位移法基本结构如图15.21(b)所示。n基本结构受荷载及结点转角Z1、Z2共同作用，根据基本结构附加刚臂上的反力矩等于零这一条件，按叠加法可建立位移法典型方程如下：nr11Z1+r12Z2+R1P=0nr21Z1+r22Z2+R2P=0 图15.21 n例如：r11为Z1=1产生的刚臂1的反力矩，r12为Z2=1产生的刚臂1的反力矩，R1P为荷载产生的刚臂1的反力矩；r21为Z1=1产生的刚臂2的反力矩，r22为Z2=1产生的刚臂2的反力矩，R2P为荷载产生的刚臂2的反力矩。n为了计算典型方程中

2、的系数和自由项，分别绘出M1图(图15.21(c)、M2图(图15.21(d)和MP图(图15.21(e)。n这些系数和自由项都是刚臂的反力矩，均可由结点平衡条件M=0求出。也可以不截取结点，而直接按前述公式求出： nr11=M杆端=4i+6i=10inr12=3inr21=3in这里r12=r21，符合反力互等定理。nr22=6i+3i=9inR1P=M固端=20-80=-60kNmnR2P=80-60.94=19.06kNmn n将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得nZ1=7.37/I Z2=-4.57/in最后按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP可绘出连续梁的最后弯矩图如图15

3、.21(f)所示。 n【例15.8】用位移法计算图15.22(a)所示刚架，并绘M图。n【解】此刚架具有两个刚结点B和C，无结点线位移，其基本结构如图15.22(b)所示。n列位移法典型方程：nr11Z1+r12Z2+R1P=0nr21Z1+r22Z2+R2P=0n分别绘出M1图(图15.22(c)、M2图(图15.22(d)和MP图(图15.22(e)。n各系数和自由项分别计算如下： 图15.22 nr11=M杆端=4i+8i=12inr21=r12=4inr22=8i+6i+4i=18inR1P=M固端+m=-26.67-10=-36.67kNmnR2P=26.67-30=-3.33kNm

4、n将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得n Z1=3.23/iZ2=-0.53/in按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图15.22(f)所示。 n【例15.9】用位移法计算图15.23(a)所示刚架，并绘M图n【解】此刚架具有一个独立转角Z1和一个独立线位移Z2。在结点C加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图15.23(b)所示的基本结构。n根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立n位移法方程如下：nr11Z1+r12Z2+R1P=0 nr21Z1+r22Z2+R2P=0n分别绘出M1图（图15.23(c)）、M2图（15.23(d)和MP图（图15

5、.23(e)。 图15.23 n求第一个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是刚臂的反力矩，可根据物理意义由刚臂所在结点的平衡条件M=0求出，实际上可按由此平衡条件推出的相应公式直接写出。n由M1图：nr11=M杆端=3i+4i=7in由M2图：nr12=-3/2in由MP图:nR1P=M固端=0 n求第二个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是附加支杆的反力，可根据物理意义由包含附加支杆反力的截面平衡条件X=0求出，或按由此平衡条件推出的相应公式直接计算。n求r21可在M1图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体(图15.24(a)，n 由X=0：nr

6、21-QCD=0n故r21=QCD=r12 图15.24 n为求r22，可在M2图上引截面，由隔离体(图15.24(b)的平衡条件X=0，可推出计算公式如下：nn 对于本例：n同理可求得R2P，由MP图：nR2P=被截柱顶剪力+P n故 R2P=-60kN22 2 21 212 3i ir l l 被截柱顶剪力22 2 21 212 3 154 4 16i i ir n将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=20.87/I Z2=97.39/in按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图15.23(f)所示 n【例15.10】计算图15.25(a)所示结构C点的竖向位

7、移。n【解】变截面处C点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图15.25(b)所示。其中未知量Z2即为所求。n位移法方程如下：nr11Z1+r12Z2+R1P=0nr21Z1+r22Z2+R2P=0n分别绘出M1图(图15.25(c)、M2图(图15.25(d)和MP图(图15.25(e)。各系数和自由项计算如下：nr11=8i+4i=12i nr12=-6i/l=r21 图15.25 nR1P=ql2/12-ql2/12=0nr22=36i/l2nR2P=-qln将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=ql3/(66EI) nZ2=ql3/33=ql4/(33EI)nZ2即

8、为所求的C点的竖向位移。 15.6 用结点、截面平衡方程计算刚架n如图15.26(a)所示刚架，共有刚结点C的转角Z1和结点C、D的水平线位移Z2两个基本未知量。设Z1顺时针方向转动，Z2向右移动。n首先利用转角位移方程将各杆杆端弯矩表示为结点位移的函数。例如，将杆AC视为两端固定梁，C端转动了Z1、移动了Z2，并受到已知荷载的作用，杆端弯矩表达式如下：nMAC=2iZ1-6i/lZ2-ql2/12=2Z1-Z2-3 nMCA=4iZ1-6i/lZ2+ql2/12=4Z1-Z2+3 图15.26 n同理，CD杆、BD杆的杆端弯矩表达式为：nMCD=3iZ1=3Z1nMBD=-3i/lZ2=-0

9、.5Z2n由以上各式可以看出，只要知道结点位移Z1、Z2，则可求得全部杆端弯矩。n下面建立求解Z1、Z2的位移法方程。n有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：n一是与结点转角Z1对应的基本方程为结点C的力矩平衡方程。取结点C为隔离体(如图15.26(b)，由M C=0得 nMCA+MCD=0n即 7Z1-Z2+3=0n二是与结点线位移Z2对应的基本方程为横梁CD的截面平衡方程，取两立柱顶端以上的横梁CD为隔离体(图20.26(c)，由X=0得nQCA+QDB=0n为了计算QCA和QDB，分别考虑立柱CA和DB的平衡。 n取立柱CA为隔离体(图15.26(d)，由MA=0得nQCA=-(6Z1-2

10、Z2)/6-ql/2=-Z1+Z2/3-3 n同样，取立柱DB为隔离体（图15.26(e)，由MB=0得nQDB=0.5Z2/6=Z2/12n将QCA、QDB代入式(b)得n-Z1+Z2/3+Z2/12-3=0n即 -Z1+5/12Z2-3=0n联立方程(a)、(c)的位移法基本方程为n7Z1-Z2+3=0 n-Z1+5/12Z2-3=0n解得 Z1=0.91 Z2=9.37 n将Z1、Z2的值回代杆端弯矩表达式，得nMAC=20.91-9.37-3=-10.55 kNmnMCA=40.91-9.37+3=-2.73 kNmnMCD=30.91=2.73 kNmnMBD=-0.59.37=-4

11、.69 kNmn根据所求得的杆端弯矩以及杆上荷载，可作出最后弯矩图如图15.26(f)所示。 补充：刚架的设计与比较1，刚架的特点是梁柱互助，协同抗弯；1）刚架形成的主要原因2）刚架使两产生负弯矩，减少了梁内的弯矩值3）使刚架比排架的跨度更大，空间更加紧凑2，减少柱的弯矩，转成柱的轴力；3，梁柱线刚度比值k，影响弯矩的分布 ；1）侧向力作用下，当k=0时，接近排架，当k=时，反弯点在柱中，当k=3时，梁柱弯矩的峰值接近；2）排架时饺接于柱顶，所以梁柱的弯矩与梁柱的刚度无关；3）竖向力作用下，当k=0时，柱刚度大，梁接近两端固定，当k=时，柱刚度小，梁接近两端铰接的简支梁，当k=0.5时，梁柱弯矩的峰值相等；