方差分析包括三因素

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1、1 方 差 分 析 2如某种农作物的收获量受作物品种、肥料种类及数量等的影响；选择不同的品种、肥 料 种 类 及 数 量 进 行 试 验 ， 日 常 生 活 中 经 常 发 现 ， 影响 一 个 事 物 的 因 素 很 多 ，希 望 找 到 影 响 最 显 著 的 因素 3 看 哪 一 个 影 响 大 ？ 并 需 要 知 道起 显 著 作 用 的 因 素 在 什 么 时 候起 最 好 的 影 响 作 用 。方 差 分 析 就 是 解 决 这些 问 题 的一 种 有 效 方 法 。 4 因 素 （ 因 子 ） 可 以 控 制 的 试 验 条 件因 素 的 水 平 因 素 所 处 的 状 态 或

2、等 级单 （ 双 ） 因 素 方 差 分 析 讨 论 一 个 （ 两 个 ）因 素 对 试 验 结 果 有 没 有 显 著 影 响 。第 一 节 概 述 5 例 如 ： 某 厂 对 某 种 晴 棉 漂 白 工 艺 中 酸 液 浓 度 （ g/k） 进行 试 验 ， 以 观 察 酸 液 浓 度 对 汗 布 冲 击 强 力 有 无 显 著 影响 。序号冲击强力浓度1 2 3 4 5 6A1 16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0 A2 16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7A3 19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7 方差分析就是把总的试

3、验数据的波动分成1、反映因素水平改变引起的波动。2、反映随机因素所引起的波动。然后加以比较进行统计判断，得出结论。 6 方 差 分 析 的 基 本 思 想 ： 把 全 部 数 据 关 于 总 均 值 的 离 差 平 方 和分 解 成 几 部 分 ， 每 一 部 分 表 示 某 因 素 诸 水 平 交 互 作 用 所 产 生的 效 应 ， 将 各 部 分 均 方 与 误 差 均 方 相 比 较 ， 从 而 确 认 或 否 认某 些 因 素 或 交 互 作 用 的 重 要 性 。 用 公 式 概 括 为 ： 总 变 异 =组 间 变 异 +组 内 变 异各因素引起由个体差异引起（误差）种 类 ：

4、常 用 方 差 分 析 法 有 以 下 4种1、 完 全 随 机 设 计 资 料 的 方 差 分 析 （ 单 因 素 方 差 分 析 ）2、 随 机 区 组 设 计 资 料 的 方 差 分 析 （ 二 因 素 方 差 分 析 ）3、 拉 丁 方 设 计 资 料 的 方 差 分 析 （ 三 因 素 方 差 分 析 ）4、 R*C析 因 设 计 资 料 的 方 差 分 析 （ 有 交 互 因 素 方 差 分 析 ） 7 第 二 节 单 因 素 方 差 分 析一 、 假 设 检 验 设 ： A1、 A2、 A3、 为 三 个 总 体 X1、 X2、 X3， 每 个 总 体 有 6个 样本 Xi1、

5、Xi2、 Xi6 ( i=1,2,3 )。注 ： 要 判 断 酸 液 浓 度 的 3种 水 平 对 汗 布 的 冲 击 强 力 是 否 有 显 著 影 响 ， 实质 上 就 是 检 验 3种 不 同 水 平 所 对 应 的 3个 总 体 是 否 有 显 著 差 异 的 问 题 。 即检 验 3个 总 体 数 学 期 望 是 否 相 等 。以 后 就 是 求 解 问 题 ， 为 了 说 明 一 般 解 的 公 式 （ 方 法 ） ， 如 下 作 一 般 分 析 。 8 一般形式：序号结果水平1 2 nA1 X11 X12 X1n A2 X21 X22 X2nA3 Xm1 Xm2 Xmn。假定：数

6、据满足正态性、独立性、方差齐性。 （进行方差分析的条件） 要检验因素A对指标是否显著影响，就是检验假设： H0： 1=2=m 接受H0：即认为来自同一总体，差异由随机因素所造成。 若拒绝H0：表明它们之间差异显著，差异有因素水平的改变所引起。做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。 9 二、离差平方和的分解与显著检验 记： nj iji XnX 11 mi nj ijXmnX 1 11 mi nj XXijQ 1 1 2)(将Q进行分解： mi nj iiij XXXXQ 1 1 2)()( mi nj iiijmi nj mi nj iiij XXXXXXXX 1 1

7、1 1 1 1 22 )(2)()(由于 mi nj iiij XXXX1 1 )( 0)()()( 11 1 mi iiimi nj iiji XnXnXXXXXX 10 故： mi nj mi nj iiij XXXXQ 1 1 1 1 22 )()( mi nj mi iiij XXnXX1 1 1 22 )()(下面通过比较Q E和Q A来检验假设H0。在假设H0成立的条件下，可以证明：)1( 22 mnQ )1(22 nmQE )1(22 mQA 相互独立 11 方法：（检验方法）（1）当H0：1=2=m 成立时。（2）统计量： )1(,1()1( )1( 22 nmmFnm QmQ

8、F EA )1(,1()1( )1( nmmFnm QmQF EA即： 12 （3）给定显著性水平 ，查表得临界值（4）由样本观察值计算出F（5）若F ，则拒绝H0。 （说明因素A各水平间有显著性差异）（6）若F ，则接受H0。（说明因素A各水平间无显著性差异） )1(,1( nmmF)1(,1( nmmF )1(,1( nmmF三、计算的简化1、 对Q、Q E、Q A计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法） 令： nj iji XT 1 mi nj mi iij TXT 1 1 1 mi nj mi nj ijijij XXXXXXQ 1 1 1 1 222 )2()( mi n

9、j mi nj mi nj ijijij XmnXXmnX1 1 1 1 1 1 2222 )(1 mi nj ij mnTX1 1 22 13 同样可推出： mi nj mi iijE TnXQ 1 1 1 22 1 mnTTnQ mi iA 21 21 2、数据的简化： 试验数据经过变换 )( aXbX ijij 数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果四、方差分析表 方差来源 离差平方和 自由度 F值 F0.05 F0.01 显著性因素A Q A m-1 )1( )1( nm QmQF EA试验误差 Q E m(n-1)总误差 Q mn-1 14 例：前例题 1、对数据的简化

10、)17(10 ijij XX得下表：序号冲击强力浓度1 2 3 4 5 6 A1 -8 -19 -12 -22 1 -20 -80 1454 A2 -2 5 1 -11 14 7 14 396A3 20 31 19 12 35 27 144 3820iT 61 2j iX)17(10 ijij XX 由表中数据可算出 31 61 2 5670i j ijX 7831 61 31 i j i iij TXT2733231 2 i iT 15 计算7.11142733261567061 31 231 61 2 i ii j ijE TXQ 3.421718608427332616361 231 2

11、 TTQ i iA 53323.42177.1114 AE QQQ计算出F值：38.285 7.11142 3.4217)16(3( )13( EAQQ 16 方差来源 离差平方和 自由度 F值 F0.05 F0.01 显著性因素A 4217.3 2 28.38 3.68 6.38 *(十分显著） 试验误差 1114.7 15总误差 5332 17列表：说明： ，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。)15,2(FF 17 五、各水平下试验次数不等时的方差分析设第 i个水平试验次数为ni, 则有 mi nj mi nj ijiji i nTXXXQ 1 1 1 1 222)( mi nj

12、 mi nj mi iiijiijE i i nTXXXQ 1 1 1 1 1 222)( mi mi iiiiA nTnTXXnQ 1 1 222)( mi inn 1 inj iji XT 1 mi inj ijXT 1 1iii nTX nTX 自由度分别为f=n-1, fE=n-m, fA=m-1 . 检验统计量为 式中： ),1()( )1( mnmFmnQmQF EA 18 第 三 节 双 因 素 方 差 分 析例如：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验，考察回火温度A和淬火温度B两个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表：BjAi试验结果B1（1210

13、C）B2（1235C）B3（1250C）A1（280C） 64 66 68 A2（300C） 66 68 67A3（320C） 65 67 68 假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。 19 假设检验：1）在假设H0成立的条件下。2）统计量 )1)(1(,1()1)(1( )1( lmmFlm QmQF EAA )1)(1(,1()1)(1( )1( lmlFlm QlQF EBB3）给定显著水平 ，查表得临界值 )1)(1(,1( lmmF4）由样本观察值计算FA、FB5）若 时，接受H0，因素的影响不显著。 若 时，拒绝H0

14、。 对因素B同理说明。 )1)(1(,1( lmFFA )1)(1(,1( lmFFA mi lj ij mlTXQ 1 1 22 mi iA mlTTlQ 1 22.1 lj jB mlTTmQ 1 22.1 BAE QQQQ 20 方差分析表：方差来源 离差平方和 自由度 F值 F0.05(2,4) F0.01(2,4) 显著性因素A 1.56 2 FA=1.01 6.94 18.0因素B 11.56 2 FB=7.46 6.94 18.0 *试验误差 3.1 4总误差 16.22 8 31 3 1 22 22.1633i j ij TXQ 56.13331 31 22. i iA TTQ

15、 3 1 22. 56.113331 j jB TTQ 1.3 BAE QQQQ)4,2(05.0FFA A影响不显著。)4,2()4,2( 01.005.0 FFF B B影响显著，由于高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250C为好，因素A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。 21 SAS系 统 中 区 分 两 种 情 况 ：1、 每 组 观 测 数 据 相 等 ， 可 用 ANOVA过 程 处 理以 上 四 种 情 形 的 方 差 分 析 。2、 若 每 组 观 测 数 据 不 相 等 ， 可 用 GLM过 程 处理 以 上 四 种 情 形 的 方 差

16、分 析 。 22 均 衡 数 据 的 方 差 分 析 （ ANOVA过 程 ）过 程 说 明 ：1、 PROC ANOVA；2、 CLASS 变 量 表 ；3、 MODEL 因 变 量 表 =效 应 ；4、 MEANS 效 应 /选 择 项 ；5、 ALPHA=p 显 著 性 水 平 （ 缺 省 值 为 0.05）CLASS和 MODEL是 必 需 的 ，CLASS必 须 的 MODEL之 前 。可 以 是 数 值 型 和 字 符型是 指 因 变 量 与 自 变 量 效 应 ， 模 型 如 下 ：1、 主 效 应 模 型 MODEL y=a b c; (a b c是 主 效 应 ， y是 因

17、变 量 ）2、 交 互 模 型 MODEL y=a b c a*b a*c b*c a*b*c; 3、 嵌 套 效 应 MODEL y=a b c(a b);4、 混 合 效 应 模 型 号 MODEL y=a b(a) c(a) b*c(a);输 出 因 变 量 均 数 ， 对 主 效 应 均 数 间 的 检验 。 23 例 ： 1、 单 因 素 方 差 分 析 某 劳 动 卫 生 组 织 研 究 棉 布 、 府 绸 、 的 确 凉 、 尼 龙 四 种 衣 料 内 棉 花 吸 附十 硼 氢 量 。 每 种 衣 料 做 五 次 测 量 ， 所 得 数 据 如 下 。 试 检 验 各 种 衣 料

18、 见 棉 花吸 附 十 硼 氢 量 有 没 有 显 著 差 别 ？棉布 府绸 的确凉 尼龙 2.33 2.48 3.06 4.00 2.00 2.34 3.06 5.13 2.93 2.68 3.00 4.61 2.73 2.34 2.66 2.80 2.33 2.22 3.06 3.60 24 单 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 的 输 入 ：循环语句删除变量 CLASS和MODEL语句是必需的，CLASS必须出现在MODEL语句前。 25组间占总的比例 单 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 输 出 结 果 ：结论：在CLASS语句中指出的P值。P0.003, 可得出各衣料组间有非

19、常显著差异。 26 2、 两 因 素 方 差 分 析例 ： 用 4种 不 同 方 法 治 疗 8名 病 者 ， 其 血 浆 凝 固 时 间 的 资 料 如 表 ， 试 分 析 影 响 血 浆 凝 固 的 因 素 。受试者编号（区组）处理组 1 2 3 41 8.4 9.4 9.8 12.22 12.8 15.2 12.9 14.43 9.6 9.1 11.2 9.84 9.8 8.8 9.9 12.05 8.4 8.2 8.5 8.5 6 8.6 9.9 9.8 10.97 8.9 9.0 9.2 10.48 7.9 8.1 8.2 10.0 27 两 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 的

20、 输 入 ： 28 两 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 输 出 结 果 ： 结论：总误差：F=14.04，P0.0001，故总体有非常显著差异。 A因素：F=6.62，P0.0025，故认为因素A（治疗方法）对血浆凝固时间影响很大。 B因素：F=17.2，P0.0001，故认为因素B（不同病者）对血浆凝固时间影响很大。 29 3、 三 因 素 方 差 分 析 （ 交 互 作 用 不 存 在 ）例：五种防护服，由五人各在不同的五天中穿着测定脉搏数，如表。 试比较五种防护服对脉搏数有无不同。试验日期受试者甲 乙 丙 丁 戊1 A129.8 B116.2 C114.8 D104.0 E100.

21、62 B144.4 C119.2 D113.2 E132.8 A115.23 C143.0 D118.0 E115.8 A123.0 B103.84 D133.4 E110.8 A114.0 B 98.0 C110.6 5 E142.8 A110.6 B105.8 C120.0 D109.8 30 三 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 的 输 入 ： 31 三 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 输 出 结 果 ：结论：因F=6.80,P0.0011,故总体有非常显著差异。其中K因素影响极大F=16.27,P0.001。 因素P、C都无显著差异。 32 4、 有 交 互 因 素 的 方

22、差 分 析 例 ： 治 疗 缺 铁 性 贫 血 病 人 12例 ， 分 为 4组 给 予 不 同 治 疗 ， 一 个 月后 观 察 红 细 胞 增 加 （ 百 万 /mm） ， 资 料 如 表 。 试 分 析 两 种 药 物 对红 细 胞 增 加 的 影 响 。甲药（A）不用（A0） 用（A1）乙药（B）不用B0用 B1 0.8 0.9 0.7 1.3 1.2 1.10.9 1.1 1.0 2.1 2.2 2.0 33 有 交 互 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 的 输 入 ： 34 有 交 互 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 输 出 结 果 ：结论：因F=98.75,P=0.00

23、010.01,故总体有非常显著的差异，因素A、B、A*B都对红细胞增加数有非常大的影响。 35 非 平 衡 数 据 的 方 差 分 析 （ GLM过 程 ）在 SAS/STAT中 GLM（ General Linear Models)过 程 分 析 功 能 最 多 。 包 括 ：1、 简 单 回 归 （ 一 元 ）2、 加 权 回 归3、 多 重 回 归 及 多 元 回 归4、 多 项 式 回 归5、 方 差 分 析 （ 尤 其 不 平 衡 分 析 ）6、 偏 相 关 分 析7、 协 方 差 分 析8、 多 元 方 差 分 析 9、 反 应 面 模 型 分 析10、 重 复 测 量 方 差 分

24、 析 36 GLM过程在方差分析中的应用：MODEL语句反映因变量与自变量的模型，其形式： 模型说明 模型类型MODEL Y=A B；主效应ODEL Y=A B A*B；交互效应MODEL Y=A B A(B)； 嵌套效应ODEL Y1 Y2=A B； 多元方差分析MODEL Y=A X； 协方差分析 ，是分类变量，是连续型变量。 37 、 不 平 衡 单 因 素 方 差 分 析例 ： 健 康 男 子 各 年 龄 组 淋 巴 细 胞 转 化 率 （ ） 如 表 ， 问各 组 淋 巴 细 胞 转 化 率 的 均 数 之 间 的 差 异 是 否 显 著 ？健康男子各年龄组淋巴细胞转化率（）11-2

25、0岁58 61 61 62 63 68 70 70 74 7841-50岁54 57 57 58 60 60 63 64 6661-75岁 43 52 55 56 60 38 不 平 衡 单 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 的 输 入 ： 39 不 平 衡 单 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 输 出 结 果 ： 40 2、 不 平 衡 二 因 素 方 差 别 分 析假 设 如 下 数 据 作 二 因 素 方 差 分 析因素 b1 b2 b3因素a1a2 3.3 2.6 1.5 3.6 3.1 1.9 0.8 1.6 3.2 2.6 5.2 4.72.2 1.3 4.2 4.3 5.3 2.8 2.0 2.9 4.4 3.8 4.4 5.13.9 2.9 3.1 2.9 3.5 4.9 2.5 4.8 4.6 5.6 3.9 3.0 41 不 平 衡 二 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 的 输 入 ： 42 不 平 衡 二 因 素 方 差 分 析 SAS程 序 输 出 结 果 ：结论：GLM按两种方法输出1、按有交互作用输出2、按主效应输出。