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1、第 四 编 平 面 向 量 4.1 平 面 向 量 的 概 念 及 线 性 运 算基 础 知 识 自 主 学 习要 点 梳 理1.向 量 的 有 关 概 念 （ 1） 向 量 ： 既 有 又 有 的 量 称 为 向 量 ， 向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 （ 或 ） . （ 2） 零 向 量 ： 的 向 量 称 为 零 向 量 ， 其 方 向 是 . （ 3） 单 位 向 量 ： 长 度 等 于 的 向 量 .大 小 方 向长 度长 度 为 0任 意 的 1个 单 位 长 度模 (4)平 行 向 量 ： 方 向 或 的 向 量 .平 行 向 量 又 称 为 ， 任 意 一 组 平 行
2、向 量 都 可 以 平 移 到 同 一 条 直 线 上 . 规 定 ： 0与 任 一 向 量 . （ 5） 相 等 向 量 ： 长 度 且 方 向 的 向 量 . (6)相 反 向 量 ： 长 度 且 方 向 的 向 量 .相 同 相 反 非 零共 线 向 量平 行相 等 相 同相 反相 等 2.向 量 的 加 法 和 减 法 （ 1） 加 法 法 则 ： 服 从 三 角 形 法 则 ， 平 行 四 边 形 法 则 . 运 算 性 质 ： a+b= (交 换 律 ） ； (a+b)+c= （ 结 合 律 ） ； a+0= = . (2)减 法 减 法 与 加 法 互 为 逆 运 算 ； 法 则
3、 ： 服 从 三 角 形 法 则 .b+aa+(b+c)0+a a 3.实 数 与 向 量 的 积 （ 1） 长 度 与 方 向 规 定 如 下 |a|= ; 当 时 ， a与 a方 向 相 同 ； 当 时 ， a 与 a方 向 相 反 ； 当 =0时 ， a= . (2)运 算 律 ： 设 、 R， 则 ( a)= ; (+ )a= ; (a+b)= .4.两 个 向 量 共 线 定 理 向 量 b与 a(a 0)共 线 的 充 要 条 件 是 . |a|0 ” ,“ 0,b 5.（ 2009 江 苏 南 京 二 模 ） 设 OB=xOA+yOC， 且 A、 B、 C三 点 共 线 （ 该
4、直 线 不 过 端 点 O） ,则 x+y= . 解 析 A、 B、 C三 点 共 线 , 存 在 一 个 实 数 , 使 AB=AC， 即 OB-OA=（ OC-OA） . OB=（ 1-） OA+OC. 又 OB=xOA+yOC， x+y=（ 1-） +=1. 1 6.（ 2009 广 东 茂 名 一 模 ） 在 ABC中 ， 已 知 D是 AB边 上 的 一 点 ， 若 AD=2DB,CD= CA+CB, 则 = . 解 析 由 图 知 CD=CA+AD CD=CB+BD 且 AD+2BD=0. + 2得 3CD=CA+2CB, CD= CA+ CB, = .31 32 313232 7
5、.（ 2009 浙 江 改 编 ） 设 向 量 a,b满 足 ： |a|=3， |b|=4,a b=0,以 a， b,a-b的 模 为 边 长 构 成 三 角 形 ， 则 它 的 边 与 半 径 为 1的 圆 的 公 共 点 个 数 最 多 为 . 解 析 由 |a|=3,|b|=4及 a b=0知 a b， 故 a， b,a-b构 成 直 角 三 角 形 ， 且 |a-b|=5. 又 其 内 切 圆 半 径 为 =1.如 图 所 示 . 将 内 切 圆 向 上 或 向 下 平 移 可 知 该 圆 与 该 直 角 三 角 形 最 多 有 4个 交 点 .4 2 543 8.（ 2009 北 京
6、 改 编 ） 设 D是 正 P1P2P3及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合 ， 点 P0是 P1P2P3的 中 心 .若 集 合 S=P|P D,|PP0| |PPi|,i=1,2,3， 则 集 合 S表 示 的 平 面 区 域 是 . 解 析 如 图 所 示 ， AB、 CD、 EF分 别 为 P0P1、 P0P2、 P0P3的 垂 直 平 分 线 ， 且 AB、 CD、 EF分 别 交 P1P2、 P 2P3、 P3P1于 点 A、 C、 D、 E、 F、 B.若 |PP0|=|PP1|， 则 点 P在 线 段 AB上 ， 若 |PP0| |PP1|,则 点 P在 梯 形 ABP3
7、P2中 . 同 理 ， 若 |PP0| |PP2|， 则 点 P在 梯 形 CDP3P1 中 . 答 案 六 边 形 区 域若 |PP0| |PP3|， 则 点 P在 梯 形 EFP1P2中 .综 上 可知 ， 若 |PP0| |PPi|,i=1,2,3,则 点 P在 六 边 形ABFEDC中 . 9.（ 2009 山 东 改 编 ） 设 P是 ABC所 在 平 面 内 的 一 点 ， BC+BA=2BP， 则 PC+PA= . 解 析 因 为 BC+BA=2BP， 所 以 点 P为 线 段 AC的 中 点 ， 即 PC+PA=0. 0 二 、 解 答 题10.（ 2010 南 京 调 研 ）
8、 在 OAB中 ， 延 长 BA到 C， 使 AC =BA， 在 OB上 取 点 D， 使 DB= OB. DC与 OA交 于 E， 设 OA =a， OB=b， 用 a,b表 示 向 量 OC， DC. 解 因 为 A是 BC的 中 点 ， 所 以 OA= （ OB+OC） ， 即 OC=2OA-OB=2a-b； DC=OC-OD=OC- OB=2a-b- b=2a- b.31 21 32 3532 11.（ 2010 江 苏 苏 州 调 研 ） 已 知 ： 任 意 四 边 形 ABCD中 ， E、 F分 别 是 AD、 BC的 中 点 ， 求 证 ： EF= （ AB+DC） . 证 明
9、方 法 一 如 图 ， E、 F分 别 是 AD、 BC的 中 点 ， EA+ED=0， FB+FC=0， 又 AB+BF+FE+EA=0， EF=AB+BF+EA 同 理 EF=ED+DC+CF 由 + 得 ， 2EF=AB+DC+（ EA+ED） +（ BF+CF） =AB+DC. EF= （ AB+DC） .21 21 方 法 二 连 结 EB， EC，则 EC=ED+DC，EB=EA+AB， EF= （ EC+EB）= （ ED+DC+EA+AB）= （ AB+DC） .212121 12.（ 2009 上 海 宝 山 模 拟 ） 已 知 点 G为 ABC的 重 心 ， 过 点 G作
10、直 线 与 AB、 AC两 边 分 别 交 于 M、 N两 点 ， 且 AM=xAB， AN=yAC， 求 的 值 . 解 根 据 题 意 G为 三 角 形 的 重 心 ， 故 AG= （ AB+AC） ， MG=AG-AM= （ AB+AC） -xAB = ( -x)AB+ AC, GN=AN-AG=yAC-AG =yAC- (AB+AC) =(y- )AC- AB, yx 11 3131 3131 31 3131 由 于 MG与 GN共 线 ， 根 据 共 线 向 量 基 本 定 理 知 ，存 在 实 数 ， 使 得 MG=GN，即 ( -x)AB+ AC =(y- ) AC- AB， 即 x+y-3xy=0两 边 同 除 以 xy整 理 得 =3.31 3131 31 yx 11 31313131,)31(31 3131 yxyx 因 此即 返 回
平面向量的概念及线性运算
