数量积和向量积

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1、第 二 节 数 量 积 和 向 量 积 一 、 两 向 量 的 数 量 积 二 、 两 向 量 的 向 量 积 三 、 小 结 一 物 体 在 常 力 F作 用 下 沿 直 线 从 点 1M 移 动到 点 2M ， 以 s表 示 位 移 ， 则 力 F所 作 的 功 为cos| sFW (其 中 为 F与 s的 夹 角 )启 示 向 量 a与 b的 数 量 积 为 ba cos| baba (其 中 为 a与 b的 夹 角 ) 实 例 两 向 量 作 这 样 的 运 算 , 结 果 是 一 个 数 量 .定 义一 、 两 向 量 的 数 量 积 ab cos| baba ,Prcos| bjb

2、 a ,Prcos| aja b ajbba b Pr| .Pr| bja a数 量 积 也 称 为 “ 点 积 ” 、 “ 内 积 ” .结 论 两 向 量 的 数 量 积 等 于 其 中 一 个 向 量 的模 和 另 一 个 向 量 在 这 向 量 的 方 向 上 的 投 影 的乘 积 . 关 于 数 量 积 的 说 明 ：0)2( ba .ba )( ,0ba ,0| a ,0| b,0cos .ba .|)1( 2aaa )( ,ba ,0cos .0cos| baba ,0 .|cos| 2aaaaa 证证 ,2,2 数 量 积 符 合 下 列 运 算 规 律 ：（ 1） 交 换 律

3、 ： ;abba （ 2） 分 配 律 ： ;)( cbcacba （ 3） 若 为 数 ： ),()()( bababa 若 、 为 数 ： ).()()( baba ,kajaiaa zyx kbjbibb zyx 设 ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx ,kji ,0 ikkjji ,1| kji .1 kkjjii zzyyxx babababa 数 量 积 的 坐 标 表 达 式 cos| baba ,|cos ba ba 222222cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa 两 向 量 夹 角 余 弦 的 坐 标 表 示 式ba 0

4、zzyyxx bababa由 此 可 知 两 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 为 例 1 已 知 4,1,1 a ， 2,2,1 b ， 求 （ 1）ba ； （ 2） a与 b的 夹 角 ； （ 3） a在 b 上 的 投 影 . 解 ba )1( 2)4()2(111 .9 222222cos)2( zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa ,21 ajbba b Pr|)3( .3|Pr bbaajb .43 例 2 证 明 向 量 c与 向 量 acbbca )()( 垂 直 .证 cacbbca )()( )()( cacbcbca )( cacabc 0 cacb

5、bca )()( 设 O为 一 根 杠 杆 L的 支 点 ， 有 一 力 F作 用于 这 杠 杆 上 P点 处 力 F与 OP的 夹 角 为 ， 力F 对 支 点 O的 力 矩 是 一 向 量 M ， 它 的 模 | FOQM sin| FOP M 的 方 向 垂 直 于 OP与 F所 决定 的 平 面 , 指 向 符 合 右 手 系 . 实 例二 、 两 向 量 的 向 量 积LFPQO 向 量 a与 b的 向 量 积 为 bac sin| bac (其 中 为 a与 b的 夹 角 )定 义c 的 方 向 既 垂 直 于 a， 又 垂 直 于 b， 指 向 符 合右 手 系 .关 于 向 量

6、 积 的 说 明 ：.0)1( aa )0sin0( ba )2( / .0 ba )0,0( ba向 量 积 也 称 为 “ 叉 积 ” 、 “ 外 积 ” . 向 量 积 符 合 下 列 运 算 规 律 ：（ 1） .abba （ 2） 分 配 律 ： .)( cbcacba （ 3） 若 为 数 ： ).()()( bababa )( ,0 ba ,0| a ,0| b,0sin 或0)( 0sin .0sin| baba 证 ba / 或0ba / ,kajaiaa zyx kbjbibb zyx 设 ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx ,kji ,0 kkj

7、jii ,jik ,ikj ,kij .jki ,ijk kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()( 向 量 积 的 坐 标 表 达 式 向 量 积 还 可 用 三 阶 行 列 式 表 示zyx zyx bbb aaa kjiba zzyyxx bababa 由 上 式 可 推 出ba / zzyx baaa 00 0,0 yx aa补 充 | ba 表 示 以 a和 b为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 . xb 、 yb 、 zb 不 能 同 时 为 零 ， 但 允 许 两 个 为 零 ，例 如 ， a bbac 例 3 求 与 kjia 423 ，

8、 kjib 2 都 垂 直 的 单 位 向 量 . 解 zyx zyx bbb aaa kjibac 211 423 kji ,510 kj ,55510| 22 c |0 ccc .5152 kj 例 4 在 顶 点 为 )2,1,1( A 、 )2,6,5( B 和)1,3,1( C 的 三 角 形 中 ， 求 AC边 上 的 高 BD. 解 A B CD3,4,0 AC 0,5,4 AB三 角 形 ABC的 面 积 为|21 ABACS 222 16121521 ,225| AC ,5)3(4 22 |21 BDS | AC|521225 BD .5| BD 例 5 设 向 量 pnm

9、, 两 两 垂 直 ， 符 合 右 手 规 则 ， 且4| m ， 2| n ， 3| p ， 计 算 pnm )( .解 ),sin(| nmnmnm ,8124 0),( pnm pnm )( cos| pnm .2438 依 题 意 知 nm 与 p同 向 ， 向 量 的 数 量 积向 量 的 向 量 积 （ 结 果 是 一 个 数 量 ）（ 结 果 是 一 个 向 量 ）三 、 小 结 思 考 题 已 知 向 量 0 a ， 0 b ， 证 明 2222 )(| bababa . 思 考 题 解 答 )(sin| ,2222 bababa )(cos1| ,222 baba 22 |

10、ba )(cos| ,222 baba 22 | ba .)( 2ba 一 、 填 空 题 ： 1、 已 知 a=3， b=26， ba =72,则 ba =_； 2、 已 知 （ ba , ） = 32， 且 a=1， b=2， 则 2)( ba =_； 3、 ba 的 几 何 意 义 是 以 ba , 为 其 邻 边 的 _； 4、 三 向 量 cba , 的 混 合 积 cba 的 几 何 意 义 是 _； 5、 两 向 量 的 的 内 积 为 零 的 充 分 必 要 条 件 是 至 少 其 中 有 一 个 向 量 为 _， 或 它 们 互 相 _； 6、 两 向 量 的 外 积 为 零

11、 的 充 分 必 要 条 件 是 至 少 其 中 有 一 个 向 量 为 _， 或 它 们 互 相 _； 练 习 题 7、 设 kjia 23 ， kjib 2 , 则 ba = _， ba = _ , ba 3)2( = _, ba 2 = _， ),cos( ba = _ ； 8、 设 a= kji 32 , kjib 3 和 ,2jic 则 bcacba )()( =_ , )()( cbba _ , cba )( = _ . 二 、 已 知 cba , 为 单 位 向 量 ， 且 满 足0 cba ， 计 算 accbba . 三 、 设 质 量 为 100 千 克 的 物 体 从 点

12、 )8,1,3(1M 沿 直 线 移 动 到 点 )2,4,1(2M 计 算 重 力 所 作 的 功 （ 长 度 单 位 为 米 ， 重 力 方 向 为 Z轴 负 方 向 ） . 四 、 设 4,1,2,2,5,3 ba ， 问 与 怎 样 的 关 系能 使 行 zba 与 轴 垂 直 . 五 、 应 用 向 量 证 明 ：1、 三 角 形 的 余 弦 定 理 ； 2、 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 .六 、 已 知 cba , 两 两 垂 直 ， 且 cbascba 求,3,2,1 的 长 度 与 它 和 cba , 的 夹 角 .七 、 计 算 以 向 量 212 eep 和

13、 21 2eeq 为 边 的 三 角 形 的 面 积 ， 其 中 1e 和 2e 是 相 互 垂 直 的 单 位 向 量 . 练 习 题 答 案一 、 1、 30 ； 2、 3； 3、 平 行 四 边 形 的 面 积 ； 4、 以 cba , 为 邻 边 的 平 行 六 面 体 的 体 积 ； 5、 零 向 量 ,垂 直 ； 6、 零 向 量 ,平 行 ； 7、 3, 212 3,14210,18,75 kjikji ； 8、 2,248 kjkj . 二 、 23 . 三 、 5880焦 耳 . 四 、 2 . 六 、 141arccos),(,14 ass ,141arccos),( bs , ),( cs 143arccos . 七 、 25.