圆与圆的位置关系

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1、精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系教学目 标1. 掌握直线与圆的三种位置关系及其相应数量关系的特征，通过分析 将直线与圆的各种位置关系转化为相应的数量关系，体会数量分析的 研究方法以及量变引起质变的观点.2. 掌握圆的切线的判定定理.3. 理解圆与圆的位置关系及其有关概念，初步掌握圆与圆各种位置关 系相应的数量关系的特征，会进行“圆与圆的位置关系” “两圆圆心 距与这两圆半径长之和或差的大小关系”这两者之间的相互转化，并 能初步运用这些知识解决有关问题.4. 掌握两圆相切和相交的连心线性质定理.教学重 点1. 直线和圆的位置关系的判定方法和性质.2. 两圆的五种位置关系中的圆心

2、距与两圆的半径之间的数量关系.3. 相交、相切两圆的性质及应用.教学难 点1. 探索直线与圆的位置关系中圆心到直线的距离与半径的大小关系 并运用相关结论解决有关问题.2. 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系并运 用相关结论解决有关问题.教学方 法建议总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化.第一部分知识梳理一.直线与圆的位置关系1. 直线与圆的三种位置关系精心整理如图，设00的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,得出直线和圆的三种位置关系：(1) 直线1和00相离o dr此时：直线和圆没有公共点(2) 直线1和00相切o d二r此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线

3、，唯一的公共点叫做切点.(3) 直线1和00相交o 0d r(3此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线.2. 切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质：(1) 与圆只有一个公共点；(2) 圆心到切线的距离等于半径；(3) 圆的切线垂直于过切点的半径.切线的识别：1) 如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线2) 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.3) 经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线证明直线是圆的切线的两种情况:(1) 当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径精心整理精心整理长”来判定直线与圆

4、相切.(2) 当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于 半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”.二.圆与圆的位置关系1. 圆与圆的五种位置关系在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含.圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距.设两圆的圆心距为OO二d，半径为0 r R + r(2) 外切：有唯一的公共点，两圆外切O d二R + r(3) 相交：有两个公共点，两圆相交O |r-d R + r(4) 内切：有唯一的公共点，两圆内切O d =|R-r(5) 内含：没有公共点，两圆内含O d |R - r(1) (2) (3) (

5、4) (5)2. 相切两圆的性质连心线：经过两个圆的圆心之间的直线.相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点.注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.3. 相交两圆的性质相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧.第二部分例题精讲精心整理例 1 如图，已知RtAABC 中，ZC=90, AC=3, BC=4(1) 圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？(2) 圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？(3) 如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求0C的半径R的取值范围.出题意图

6、：考查直线与圆的位置关系.解析：利用圆心到直线的距离与半径比较即可彳得出圆与直线的位置关系. 答案：CA解：在RtAABC 中，ZC=90, AC=3, BC=4.由勾股定理，得AB=5.设点C到AB的距离为d,贝U1 1 x 3 x 4 =x 5d即22解得d=2.4.(1)2.42，即dR半径长R为2的0C与直线AB相离.(2)2.4V4,即dVR,：半径长R为4的0C与直线AB相交.(3) 如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，那么0C与直线AB相切或相交.当R22.4时，0C与直线AB有公共点.针对训练1 已知RtMBC 中，ZABC=90, AB=3, BC=4,以 B 为圆心作B

7、.(1)若0B与斜边AC只有唯一一个公共点，求0B的半径长R的取值范围.(2)若。B与斜边AC没有公共点，求。B的半径长R的取值范围.精心整理求证：直线AB是00的切线.出题意图：考查切线的判定定理.解析:欲证AB是00的切线，由于AB过圆上点C,若连结0C,则AB过半径0C的外端, 只需证明0C丄AB即可.答案：证明：连结0CV0A=0B, CA=CB0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.AB 丄 0C.直线AB经过半径0C的外端C,并且垂直于半径0CAB是00的切线.针对训练2如图，AC是00的弦，AC=BC=0C.求证：AB是00的切线.例3如图，已知0A、0B、0C两两外切，且AB=

8、3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长.亠、 厂、 出题意图：考查圆与圆的位置关系.AC解析：利用外切两圆的圆心距等于半径之丿和即可.答案：解：设0A、0B、0C的半径长分别为x厘米、y厘米、z厘米.0A、0B、0C两两外切，AB = x + y，BC = y+z，CA=z+x.根据题意，得关于 x、 y、 z 的方程组z + x = 6 解得 Iz = 10A、0B、0C的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米.针对训练3 如图，00的半径为5厘米，点P是00外一点，0P=8厘米.求：(1)以P为圆心作0P与00外切，小圆0P的半径是多少？(2)以P为圆心作0P与00内切，大圆

9、0P的半径是多少？例4相交两圆的公共弦长为6,若两圆半径分别为8和5,求两圆的圆心距.出题意图：考查相交两圆的性质.解析：两圆相交要考虑两种情况：(1)圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条 弦心距之和；(2)圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值. 答案：解：圆心在公共弦的两侧00为AB的垂直平分线1 2：AB丄 00， AC=CB1 2圆心在公共弦的同侧由可得：oc =，o c = 41 2针对训练4已知O和O相交于A、B两点，P是连心线00与O的交点，PA、PB的延长线分1 2 1 2 2别交口 O于点c、D.1求证：AC = BD例5如图，n O与，O内切于点P，经过

10、n O上点Q的切线与。O相交于A、B两点，1 2 1 2直线PQ交O于点R.2求证：RA = RB出题意图：考查相切两圆的性质.解析：利用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点.本题中过两个圆心作一条直线，则这条之间直线必过点P,然后利用圆中的相关知识即可解答.答案：证明：联结OQ、OR，作直线OO 1 2 1 2门O与O内切于点P1 2.OO经过点P1 2OP = OQ， O P = O R11 2 2 OQ O R1 2AB 与口 o相切与点Q1针对训练5如图，n O与厂O外切于点P,经过n O上点Q的切线与 O相交于A、B两点，直线1 2 1 2PQ交o于点R2求证：RA = RB例6在

11、AABC中，AB = AC = 6，ZB = 30。，点O、O在BC上，O、戸O外切于点P- O1 2 1 2 1与AB相切于点D，与AC相离；门o与AC相切于点E，与AB相离.2(1) 求证：DPAC(2) 设o的半径长为x， o的半径长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出1 2定义域出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用解析：利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结 合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临 界位置问题，这是个难点，需要多加注意精心整理精心整理答案：解：（1）联结 O D1O与AB相切于点DiDP AC（2）联结O

12、 E，贝U O E丄AC，作AH丄BC于H.22同理BD = 3 x当O与H重合时，n O与AC相切，此时x = - 31 i2当O与H重合时，O与AB相切，此时x = 32 2 2针对训练6在AABC中，ZBAC = 90。， AB = AC = 2迈，圆A的半径长为1，若点0在BC边上运动（与点B、C不重合），设B0二x，AAOC的面积为y.（1）求y关于x的函数解析式，并写岀函数的定义域.（2）以点0为圆心、B0为半径作圆0,求当圆0与圆A相切时，AAOC的面积.第三部分优化作业基础训练题（A）1下列直线中，不能判定为圆的切线的是（）A与圆仅有一个公共点的直线；B. 与圆心的距离等于半径

13、长的直线；C. 过半径的端点且与该半径垂直的直线；D. 过直径的端点且与该直径垂直的直线.2. 已知口 o的直径等于12cm，圆心0到直线1的距离为5cm,则直线1与口 o的交点个数为（）A.0B.1C.2D. 无法确定3口 q的半径为3厘米，口匕的半径为2厘米，圆心距OiO2 =5厘米，这两圆的位置关系是（）精心整理A.内含B.内切C.相交D.外切4已知两圆的直径分别为6cm和10cm，当两圆外切时，它们的圆心距d的大小是（）A. d = 8cm B 4cm d 8cm D d = 4cm5.已知线段AB=3cm, 口 A的半径为4cm，若口 A与口 B相切，则口 B的半径为cm.6如图，A

14、B与口 o相切于点C，OA=OB，若口 o的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长 是cm.7设口 O的半径为r，圆心0到直线a的距离为d，若d=r，则直线a与。o的位置关 系是8. 两圆的直径分别为3+r和3-r，若它们的圆心距为r,则两圆的位置关系为.9. 已知o、 O的半径长分别是3cm、5cm，如果o与O内含，那么圆心距d的1 2 1 2取值范围为.10. 两圆的半径之比为5:3,如果当它们外切时，圆心距长为16,那么当它们内切时, 圆心距长为.11. 已知n O和口 O的半径为方程x2-4x + 2 = 0的两个根，若OO = 2.5，试判断O和 O1 P 21 212的位置关系

15、.12. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC, CD丄AD，AD+BC=AB.求证：以AB为直径的与CD相切.13. 如图，OA=OB=8, OA丄0B，以0为圆心、OA为半径作AB , o与以OA为直径的o2 1 相切于点E,与AB相切于F,与OB相切于。，求。o的半径长.214如图，已知A是o、 O的一个交点，点P是OO的中点过点A的直线MN垂直1 2 1 2于PA,交o、门O于M、N.1 2精心整理求证：AM二AN.15.已知o和O相交于A、B两点，公共弦与连心线oo相交于点G,若AB=48, o1 2 1 2 1的半径r = 30， n O的半径r = 401 2 2求AAOO的

16、面积.12提高训练题（B）1已知口 O的半径为2,直线1上有一点P满足PO=2，则直线与口 O的位置关系是（）A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交2已知AABC三边分别是a、b c，两圆的半径=a，r2 = b，圆心距d = c，则这两个圆的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.内含3两圆的半径长度分别为R和r两圆心间的距离为d,如果将长度分别为R、r、d三线段首尾相接可以围成一个三角形，则两圆的位置关系是.4两个半径都等于2cm的n O和nO的圆心距OO = 6cm，则与这两个圆都相切，且半 1 2 1 2径为3cm的圆有个.5. RtAABC中，ZB=90，ZA的平分线交BC于

17、D，E为AB上一点，DE=DC,以D为圆心、DB为半径作圆D.（1）求证：AC是圆D的切线；（2）求证:AB+EB二AC.6如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，求tanZEAB的值.7如图，点D在0O的直径AB的延长线上，点C在0O上，AC = CD， ZD = 30.（1）求证：CD是G）O的切线；（2）若o的半径为3,求BC的长（结果保留n）8如图，已知ABC中，ZC=90，AC=12, BC=8，以AC为直径作口 o，以B为圆心， 精心整理精心整理4为半径作口 B.求证：口 O与口 B相外切.9如图，已知評与口 A交于

18、B、C两点，A在口0上，AD是口0的直径，AD交BC于M,AE 是口 o 的弦，AE 交 BC 于 N.若 AM=4cm, AN=6cm, AE=24cm,求口 o 的半径.10. 如图， AB 为半圆 O 的直径， P 是 AB 延长线上一点，将线段 PA 绕点 P 旋转到与半 圆0相切的位置PC,这时切点为E，AC与半圆相交于点D.（1）求证:sin ZP =竺；CD（2）若 CD=2AD，求 CE:EP 的值；（3）若E是PC的中点，求AD： DC的值.综合迁移题（C）1如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，（ab），以C为圆心，CD的长为半径作圆弧交 BC于E，以B为圆心、BE长为

19、半径作圆弧交AB于F，以A为圆心、AF为半径作圆弧 恰与弧DE相切求a的值.b2已知，如图所示，圆0与圆0相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、D，1 2弦CE/DB，连结EB，试判断EB与圆0的位置关系，并证明你的结论.23在AABC中，ABAC = 90，AC=3, AB=4, 0是BC上的一点，以0为圆心，0C为半径O作圆交AC于点D,交BC于点F,过D作。的切线交AB边于点E,连BD,设0C=x,ABED的面积为y.求y与x之间的函数关系式.4在直角坐标平面内，o为原点，点A的坐标为（1, 0）,点C的坐标为（0，4）,直 线CM x轴（如图7所示）点B与点A关于原点对称，直线y

20、 = x + b （ b为常数） 经过点B，且与直线CM相交于点D,联结0D.（1）求b的值和点D的坐标；(2) 设点P在x轴的正半轴上，若APOD是等腰三角形，求点p的坐标；(3) 在(2)的条件下，如果以PD为半径的Gp与Go外切，求Go的半径.M参考答案：针对训练1. (1)R =12或3 R 4 (2) 12 R 3552. 通过等边对等角和三角形的内角和定理可以推出ZOAB=90即可得出答案.3. (1)P1的半径是3cm (2)P2的半径是13cm4. 利用相交两圆公共弦的定理以及同圆弦心距相等则弦所对的劣弧相等即可得出答案.5. 利用两圆相切连心线过切点的定理即可解答.6. (1

21、) y = -x + 4(0 x 4)(2) S =17或1 (提示：第二问要考虑圆A和圆O外切、内切两种情况)AAOC 62基础训练题(A)1. C2. C3. D4. A5.1cm 或 7cm6. 斯7. 相切8. 内切9 0cm d 2cm10.411. 两圆内含.（提示：算出半径之和和半径之差的绝对值，然后与圆心距比较即可）12. 证明略.（提示：过点0做0E丄CD于点E,证得OE等于圆的半径OA即可）13. 半径长为2.（提示：联结各个圆心距，利用相切两圆的性质和勾股定理即可）14. 证明过程略.（提示：过两个圆心分别向MN作垂线，再利用圆中的知识即可）15.600或168.（提示：

22、分圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧两种情况）提高训练题（B）1. D2. A3相交4.45. 证明过程略（提示：（1）向AC作垂线，用圆心到直线的距离等于半径来判定直线 与圆相切.（2）通过证三角形全等，将边转化，从而可以得出结论.）36. tanZEAB =460k x 37. （1）证明略（2） BC =兀180,&证明过程略（提示：联结B0,利用直角三角形勾股定理算出0B的长度，正好等于两个圆的半径之和，从而可 以得出结论）9.18cm（提示：由于 AMNsAED,列出比例式，从而可以求出AD的长，即可算出答案）10. (1)证明略(2)3v3 -1 (3) 5综合迁移题（C）41. （提示：两圆外切圆心距等于半径之和，矩形的两边和对角线都为两个圆的半径之和，因此可通过勾股定理求出 a、b 的关系）2. EB与圆O2相切，证明过程略精心整理2732153. y = - x2 + x +(0 x O的半径为0,即此圆不存在6